設計思維視角下高中數學“問題鏈”的建構

王飛 王 翔

摘? ? 要：設計思維具有綜合處理問題能力的性質，有助于理解問題產生的背景、催生洞察力及解決方法，并理性地分析和找出最合適的解決方案.以設計思維為視角建構高中數學“問題鏈”，需要根據高中數學學科特點，堅持以同理心為核心、以核心知識為主體、以學生認知能力為基礎等原則，整合類別，精準建構.如此，可以引領學生主動發現問題、設計問題、構建問題、解決問題，從而有效達成預設的教學目標和教學任務.

關鍵詞：設計思維;“問題鏈”;高中數學

設計思維具有綜合處理問題能力的性質，有助于理解問題產生的背景、催生洞察力及解決方法，并理性地分析和找出最合適的解決方案[1].設計思維為21世紀的教育創新提供了一種具有可操作性的實踐框架，它主張面向全員、以生為本，引導學生踴躍探索知識和知識之間的聯系，激發學生綜合運用多元知識解決問題，高度關注形象與抽象的平衡、斂聚與發散的交替、分析與綜合的統一、邏輯與直觀的辯證.那么，在高中數學教學過程中，如何在設計思維視角下建構數學“問題鏈”，根據學生已有的數學知識素養和數學問題解析能力，將若干相關數學問題經過比較、提煉、打磨、整合、建構，形成一系列具有內在聯系的問題鏈條，引領學生主動發現問題、設計問題、構建問題、解決問題，從而有效達成預設的教學目標和教學任務呢？

一、堅持原則，科學建構“問題鏈”

高中數學教師建構“問題鏈”，要同學生的數學知識素養、思維發展水平和發展趨勢相契合，要堅持科學的建構原則，激發學生探究數學問題的積極性、主動性和創造性.建構數學“問題鏈”一般需要遵循以下原則：

（一）堅持以同理心為核心原則

同理心是以人為中心的設計思維的核心環節，它是定義和解決問題的基礎.同理心是“和諧發展的一般基礎”，要求教師換位思考，將自己設想成學生，從學生的角度建構“問題鏈”.因此，授課教師需深入研究學生認知特性的同理、學困生行為的同理，培育學生的同理心，注重促進學生知識、思維和情感的統一，促進學生全面發展.

（二）堅持以核心知識為主體原則

高中數學每節課都有教學重點，教師在建構“問題鏈”時，要根據教學目標對教學內容進行全面的分析、比較、篩選，確立教學核心知識，引導學生掌握數學核心原理、規律、思維策略、解決問題的對策等.因此，教師在建構“問題鏈”以前，必須充分吃透教材內容、認真備課、深入研究.在確定每節課的教學重難點，明晰學生學習的核心知識點后，再將這些知識點整合為系統式問題，注意必須確保相關數學問題能夠環環相套、鏈式連接，以便進一步引導學生思考、合作、探究.實驗證明，以問題為導向、以核心知識為主體建構的“問題鏈”，能更有效地提高學生的學習效率，提升學生的數學核心素養.

（三）堅持以學生認知能力為基礎原則

認知能力是每個人成功完成活動最重要的心理條件.高中數學“問題鏈”不是系列數學問題的簡單拼湊或疊加，而是根據學生已有的認知水平和知識結構，從大多數學生的認知能力出發，對數學問題進行的系統性、整體性建構.其目的是激發學生的內在潛能，調動學生的學習興趣和動機，提升學生的學習期望值，幫助學生在解決實際問題的過程中，不斷實現個人數學學習的預設目標.然后再以此為基礎，進一步深入理解和熟練破解數學“問題鏈”，不斷發展學生的數學核心素養.

（四）堅持喚醒學生“認知沖突”原則

認知沖突是指學生在認知發展的過程中，因原有認知結構與現實情境不相符而導致的心理矛盾或沖突.面對新知識或新問題，學生能夠利用已有知識經驗去解決時，心理上就處于一種平衡狀態;一旦學生發現用已有的知識經驗無法解決，或新知識與已有知識經驗不一致，就會產生認知沖突.在教學過程中，最好運用直觀的數學實驗、現實生活中的實例來建構“問題鏈”.對學生來說，真實的情境有一種熟悉感、現實感和親切感，能有效地激發他們的學習欲望，讓他們產生解決問題的興趣.因此，教師應盡量創造喚醒學生“認知沖突”的“問題鏈”學習情境，讓他們大膽質疑并提問，以此引發深層思考，使其對質疑的問題進行探索、推理、論證，讓他們真正體驗從生疑到解疑再到獲得能力的經驗過程，從而實現建構“問題鏈”所要達成的教學目的.

（五）堅持啟發性原則

高中數學教學的根本目的是要發展學生的學習能力，而不是僅僅讓學生學會做題，在各類考試中取得理想的成績.正因為此，基于設計思維的“問題鏈”，其建構的目的也不僅僅是讓學生學會分析問題和解決問題，而是要提升學生的邏輯推理能力，拓寬學生的思維視角，發展學生的創新思維能力，形成更高層次的理性思維.因此，教師在建構“問題鏈”前應參悟《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，深入研讀教學參考章節，把握教學目標和重難點，深刻認識問題的意義和價值，精準提煉問題、區分梯度，要問在關鍵節點上.教師高度關注系列問題的簡和繁、松和緊、深和廣、散和聚等區別與聯系，按照數學思維運動的規律啟發學生，就會使“問題鏈”的建構具有啟發性.簡言之，建構“問題鏈”要順應知識形成和發展的規律，不應局限于簡單的描述性、記憶性問題，而應更多關注思考性、挑戰性和啟發性問題，使學生能夠在發現問題、探究問題中得到啟發，在思維沖突中激起智慧的火花.

（六）堅持開放性原則

毋庸置疑，應該建構具有開放性的高中數學“問題鏈”.因為它既是教學內容的載體，又是推進教學任務完成的手段;既是展開教學活動的重要環節，又是體現信息傳輸與信息加工的過程.建構的開放性的“問題鏈”有時會偏離預設的教學軌道，導致偏差產生的原因是多元的：師生對話與參悟的不精準，學生對知識的理解和運用不全面，學生解題或思維的謬誤，學生對信息加工的紕漏，教師的教學失誤等.面對可能出現的教學突發事件，教師在建構“問題鏈”時就必須考慮“問題鏈”的開放性，運用教學智慧和應變能力，根據實際情況靈活調整預設問題，完善或者重新建構“問題鏈”，并在保持主要教學目標不變的前提下，調整教學內容、問題和方法，靈活多變地提高學生的數學思維品質.

二、整合類別，精準建構“問題鏈”

高中數學教師建構“問題鏈”，需要基于教學內容、教學目標、教學任務、教學手段等，對不同的教學問題按照不同的類別加以系統整合.這樣才能精準建構不同類別的“問題鏈”.

（一）建構引入型“問題鏈”

引入型“問題鏈”是以數學的核心知識為基礎，遵循教學規律，依據學生的認知水平，利用生活實例或情景建構的.它能夠建立模型，使知識點之間的銜接更加流暢自然，增強學生的認知能力，激活并拓展學生的數學思維，從而有效地引導教學的高效推進.

【案例1】三角函數起始課“任意角”的教學

問題1：經過小學和初中對角的學習，你們是怎樣理解角的？你們學過哪些角？請舉例說明.

問題2：從旋轉角度去刻畫角的過程中，會新出現什么角？用不等式能表示這些角的范圍嗎？

問題3：現在我有兩塊手表不知什么原因時間出現了誤差，與北京時間相比，分別快、慢10分鐘，你會校正嗎？

問題4：在現實生活中，我們經常會遇到這樣的情景：腳踏動感單車轉了100圈，摩天輪在空中轉了20圈，機器的齒輪轉動，擰動螺絲的扳手轉動等.從數學建模的角度看，如何用角去刻畫表征？

問題5：圓周運動是一種常見的周期性變化現象.假如“圓O：x2+y2=r2”上的點P以A（r，0）為起點做逆時針方向的旋轉，如何刻畫點P的位置變化？

引入型“問題鏈”需要設計出學生耳熟能詳的情境，并層層鋪墊與遞進，讓學生體會提煉新知識的過程，從而理解新知識、新概念、新模型的建立背景和適用范圍.

（二）建構探究型“問題鏈”

探究型“問題鏈”是為引導學生自主探索數學解題規律、揭示數學本質原理，而精心建構的富有挑戰性的、蘊含創新思維的系列問題.建構探究型“問題鏈”，能提升學生的思維素養，培養學生的探索精神與探究能力.

【案例2】“直線與圓錐曲線的位置關系”的復習教學

已知橢圓[C ： x23+y22=1]，直線[l ： y=kx+b（k， b∈R）].

問題1：我們知道直線和橢圓的位置關系有相離、相切和相交.你能具體給出k，b一組對應值，使直線[l]與橢圓[C]相交嗎？

問題2：當直線[l]和橢圓[C]相交時，探究k，b應滿足什么關系式？

問題3：若[k+b=1]，直線[l]與橢圓[C]的位置關系能判斷嗎？

問題4：在問題3的前提下，你能否再添加一個合適的條件，求出直線[l]的方程.

問題5：在問題4的條件下，設直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，你能求出線段[AB]的長嗎？

問題6：問題5中線段[AB]中點與原點連線的斜率與直線[AB]斜率的積是定值嗎？

探究型“問題鏈”的設計目的：一是為了培養學生的創新思維能力;二是為了解決那些難度較大或靈活性較強的問題.案例2中，把直線與圓錐曲線的核心問題分解成6個相互獨立，又存在一定交集的問題鏈，能更好地培養學生思維的廣度、深度、高度和遠度，進而拓寬學生做人的胸懷、眼界、意識與格局。

（三）建構遷移型“問題鏈”

建構遷移型“問題鏈”必須關注兩個關鍵因素：一是數學語言表達的內在思維遷移;二是數學與其他學科融合的跨學科思維遷移.教師建構并實施遷移型“問題鏈”，能為學生創設運用所學知識的應用環境，引導學生從橫向和縱向兩方面解決問題，從而提升學生的知識遷移能力.

【案例3】以案例2為基礎進行變式設問及追問[2]

問題7：在[△ABC]中，[B（-6， 0）， C（6， 0）]，直線[AB， AC]的斜率之積為[-49]，求頂點[A]的軌跡方程.

問題8：設[B（-a， 0）， C（a， 0）， a>0]，直線[AB， AC]相交于點[A]，且它們的斜率之積為

問題9：設[B（-a， 0）， C（a， 0） ， a>0]，直線[AB， AC]相交于點[A]，且它們的斜率之積為[λ（λ≠0）]，求點[A]的軌跡方程.

問題10：若[B，C]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]長軸的兩個頂點，點[A]是橢圓上異于[B， C]兩點的任意一點，直線[AB]與[AC]的斜率分別為[kAB， kAC]，求[kAB?kAC]的值.（待學生求出[kAB?kAC]的值后，再追問其與橢圓的離心率有何關系.）

問題11：橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若過原點的一條直線與橢圓交于[B， C]兩點，點[A]為橢圓上異于[B， C]兩點的任意一點，直線[AB]與[AC]的斜率分別為[kAB，kAC]，求[kAB?kAC]的值.

問題12：點[A， B， C]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意的三個點，若[kAB?kAC=-b2a2]（追問時改成[e2-1， e]為橢圓的離心率），問直線[BC]是否恒經過坐標原點？

問題13：已知橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，過原點的直線與橢圓交于[B， C]兩點，其中點[B]在第一象限，過點[B]作[x]軸的垂線，垂足為[D]，連結[CD]并延長交橢圓于點[A]，求[kAB?kBC]的值，并指出它與問題10，11中的[kAB?kAC]的大小關系？

問題14：你知道圓錐曲線的光學性質嗎？請課后分組研究，從是什么、為什么、生活中的應用這三個維度展開自己的研究.

直線與圓錐曲線的位置關系是高考必考內容，也是一個重難點內容，它既能考查學生對直線與圓錐曲線位置關系的理解層次，又能考查學生的計算能力，還能發展學生的思維遷移能力.范例中構建的“問題鏈”立足基礎，步步遷移加深：由直線方程遷移到斜率積，再遷移至離心率等諸多數學內部知識規律，最后遷移至生活實踐應用.

（四）建構歸納型“問題鏈”

歸納型“問題鏈”主要是為喚醒學生的知識記憶、形成系統知識結構而建構的“問題鏈”，目的是幫助學生梳理和整合各章節中零散的知識點，讓學生對所學知識進行過程性或階段性的重新組合、歸類和總結，從而建構出一個更加完善的系統化知識網絡.

【案例4】“三角形”復習課（第一課時）

問題1：三角形三條邊有怎樣的關系？

問題2：三角形三個角之間有怎樣的關系？

問題3：三角形的邊與角有怎樣的關系？

問題4：正弦定理是如何敘述的？你能證明嗎？

問題5：什么類型的斜三角形適合用正弦定理去解？試舉例說明.

[追問]在[△ABC]中，[AD]是[∠BAC]的平分線，你能得到什么樣的等量關系？

問題6：余弦定理是如何敘述的？你能證明嗎？

問題7：什么類型的斜三角形適合用余弦定理去解？試舉例說明.

[追問] 1.你能用余弦定理推導三角形中線長度公式嗎？2.你能敘述并證明三角形中的射影定理嗎？

問題8：你能用正余弦定理推導三角形面積公式嗎？

問題9：你了解數學家秦九韶發現的“三斜求積”和古希臘數學家海倫的求三角形面積公式嗎？

問題10：完成本章的思維導圖.

正余弦定理是解決三角形問題的核心知識，是整個三角函數模塊的重要內容，其定理有很多應用，且各定理之間密切相關.如果能把這類問題梳理清楚，重新建構各知識點之間的相互關系，學生就可以系統、全面地理解知識之間的關系，提高分析、歸納、整合、建構知識網絡的能力，形成解決數學問題的能力.

德國數學家希爾伯特說：“問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂.”思想源于思維，“設計思維走進校園”是由斯坦福大學提出的基礎教育倡議項目，目前國內外對于設計思維在教育領域的應用研究尚處于起步階段.基于設計思維的高中數學“問題鏈”的建構，需要堅持“問題鏈”的建構原則，強化“問題鏈”類型的研究和剖析，高效整合數學課程資源，拓展數學課堂教學的容量，提高學生明辨、慎思、探究、應用等學習的質量，努力讓每個學生都成為心智自由的學習者，實現高中數學教學持續、健康、高質的發展.

參考文獻：

[1]代潔娜，凌詩嘉，孔晶.設計思維支持的STEAM教育教學實踐研究[J].中國信息技術教育，2019（1）：80.

[2]姜先亮，殷長征.高考復習中要借“題”發揮——一節橢圓復習課教學設計與思考[J].中學數學研究，2013（11）：16.