汽車多材料控制臂拓撲優化方法*

陳瀟凱，李 超，白影春，楊子發

（1.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2.北京汽車新能源汽車股份有限公司，北京 100176）

前言

隨著新能源汽車的不斷發展，提高汽車續駛里程和操縱性能成為新能源汽車產品有效競爭手段?？刂票圩鳛槠嚨妆P結構的主要組成部分，其輕量化設計的重要性不言而喻。鋼和鋁合金等金屬類型控制臂的設計潛力已挖掘殆盡，新材料和新結構成為進一步減輕質量和提高性能的重要途徑。

在尋求新的結構形式方面，可以從生物界得到很多啟發。大自然億萬年的進化孕育了眾多比模量、比強度高的結構，例如蠶絲、動物骨骼和植物桿莖等。與傳統材料（如金屬、陶瓷等）不同，天然生物材料大多具有分級結構。例如，骨骼由骨密質、骨松質、骨髓以及包覆的骨膜組成，是一種具有多種填充材料的殼結構。骨骼具有較大的剛度、強度，能有效吸收外部沖擊，且質量較輕。隨著對輕量化結構的需求日益突顯，具有殼特征的結構已經被廣泛應用于航空航天以及建筑中。具有殼結構特征的控制臂成為了新可能，特斯拉Model 3和Model X的上控制臂使用沖壓鋼包覆PA6+GF50%工程塑料，實現了輕量并提高性能的目的；理想ONE的下擺臂則使用復合材料包覆高強鋼，這種結構如同韌帶附著在骨骼上，增加了整體強度。這兩種形式的控制臂都可以看作具有殼/填充結構，控制臂內部復合材料加強筋的設計是通過巴斯夫專用CAE工具Ultrasim所開發。然而，這種將加強筋與其他結構分開單獨設計的方式不可避免地縮小了整體優化問題的可行域。為了尋求更具有普適性的優化設計方法，殼/填充結構拓撲優化的發展將起到關鍵作用。

殼/填充結構拓撲優化是近年來逐漸發展的拓撲優化方法，具有廣闊的應用前景。Clausen等提出了殼/填充結構拓撲優化的概念，通過密度空間梯度對結構界面進行識別，并產生均勻厚度的殼結構［1］。密度空間梯度也被應用于多相材料間的界面識別［2］和均勻填充［1］與非均勻填充結構［3］中。除此之外，布爾運算［4-5］、水平集法［6］和形態學算子［7］都開始應用于求解殼/單材料填充拓撲優化問題。為了將單材料填充問題向多材料轉化，并考慮殼/填充多材料控制臂的整體化設計，本文中提出了一種具有局部體積約束的殼/多材料填充拓撲優化設計方法，并將其應用于汽車復合型控制臂概念設計中，為汽車控制臂或其他類型多材料復合結構的設計提供借鑒。

1 殼/多材料填充結構材料插值

1.1 結構介紹

殼/多材料填充結構是由均勻厚度的殼體和內部多材料填充物構成，如圖1所示。

圖1 殼/多材料填充結構

設定殼特征的材料為C，內部填充材料為材料A和材料B。考慮制造上的可行性，所有殼特征應具有相同的厚度。填充材料為各向同性復合材料、金屬材料或空材料，填充材料的結構特征可以通過局部體積約束進行限制，使得材料分布均勻，從而適用于多種工況。填充材料占有較大結構體積，具有設計自由度大的特點。填充材料一般采用較為輕質的材料，例如特斯拉和理想ONE采用的PA6+GF50%工程塑料。

1.2 多材料拓撲優化實現

1.2.1 Helmholtz濾波

在拓撲優化中，標準密度濾波可有效抑制棋盤格現象的產生，以及降低網格依賴性。而基于Helmholtz偏微分方程的濾波方法［8］，既具有標準濾波器的作用，還能夠實現并行計算［9］。對于各向同性材料而言，濾波后的變量x可以表示為Helmholtz型偏微分方程的解：

式中：x和x分別為濾波前后的變量；n為設計域邊界外法線單位向量；r為濾波尺度參數。其中，r的值與標準濾波半徑的值R具有如下等價關系：

1.2.2 Heaviside映射函數

用Heaviside映射函數將灰度單元映射為黑/白單元，濾波后的單元密度x通過如下映射函數進行轉換［10］：

式中：i代表第i個單元；β為銳度；η為閾值。可將式（3）記為xˉi=H(xi，η，β)，H表示Heaviside函數。

1.2.3 多材料插值模型

為了得到殼特征以及多材料填充，采用兩組設計變量μ1和μ2來建立材料插值模型，如圖2所示。第1組設計變量μ1經過兩步濾波［1］，將填充區域與殼區域分離開來，第2組設計變量μ2則是用于決定填充材料的種類。

圖2 材料插值模型示意圖

第1步濾波與映射是為了降低網格依賴性并得到0/1設計結果，也即填充結構的材料分布。第2步濾波使填充結構界面處產生密度梯度，進而利用歸一化密度梯度范數和Heaviside映射，識別出填充結構邊界。歸一化密度梯度范數可以通過式（4）計算［1］：

式中α為歸一化系數，它是最大可能梯度范數的倒數，其值只與第2步濾波的濾波半徑相關：

殼結構厚度由第2步濾波的濾波半徑決定：

將單材料殼/填充結構插值公式拓展為多材料插值，可得密度、彈性模量和泊松比插值公式：

式中：p為懲罰因子；ρ3、E3、ν3分別為殼材料C的密度、彈性模量和泊松比；λm1、λE1、λν1為材料A的比例系數；λm2、λE2、λν2為材料B的比例系數。各比例系數與材料A和材料B的模量和泊松比具有如下關系：

式中：ρ1、E1、ν1分別為填充材料A的密度、彈性模量和泊松比；ρ2、E2、ν2分別為填充材料B的密度、彈性模量和泊松比。

由式（7）～式（11）可以看出，最終的材料插值模型由變量φ1、φ2和確定，極限情況下材料插值規律由表1所示?？紤]3種等于0的情況，設懲罰因子p為3，λE1為0.4，λE2為0.6，可得填充材料彈性模量中間密度插值，如圖3所示。

表1 極限情況下材料插值規律

圖3 填充材料彈性模量

2 多材料局部體積約束方法

為了使得材料分布較為均勻，可以通過局部體積約束來實現。Wu等將局部體積約束應用于單材料殼-非均勻填充拓撲優化中，通過p范數將局部體積約束整合為拓撲優化問題的外加約束［3］。為了避免p范數近似代替無窮范數帶來的誤差，并結合Dou提出的隱式局部約束方法［11］，提出了一種改進的多材料殼-填充結構局部體積約束方法。

局部體積約束通過限制各個體積單元附近填充材料區域占比，避免了填充材料過度聚集的情況。假設對填充材料B的結構特征進行最大體積約束，以每個填充材料B單元i附近圓形區域為研究對象，如圖4所示。

圖4 填充材料B單元i的局部約束區域

設半徑為R的圓形區域為Ωi，則圓形區域內填充材料B所占體積分數計算表達式為

式中：Vi為第i個單元所屬圓形區域填充材料B所占體積分數；vj為第j個單元的體積為第j個單元材料B的相對密度。

多材料拓撲優化局部體積分數約束要求填充材料B單元i所屬的圓形區域內填充材料B占比少于某一比重ε，即

設修正參數域ψ為

式中：H為映射函數；βc為銳度；ηc為閾值。其中，ηc=ε。當銳度βc→ ∞時，修正參數域ψ可以表示為

由此可知，當βc的值很大時，修正參數域ψ中的值可視為邏輯變量。它將對變量φ2進行修正，從而將局部體積約束嵌入插值公式中，避免了在求解器中另外增加約束條件。修正方法為使用修正后的變量φs代替式（7）～式（9）中的φ2：

3 多材料控制臂算例分析

3.1 多工況優化問題

控制臂作為底盤部件，其受載工況復雜，控制臂拓撲優化問題應包括多種工況。采用理想點法對控制臂進行多工況拓撲優化設計，首先分別求出各個單工況下拓撲優化目標的最優值，以各單工況最優值為理想點，在多工況優化時使各個目標盡可能接近各自的極小值來獲得它們的解。以各工況下柔度最小為優化目標，多工況拓撲優化問題的描述如下：

式中：m為工況數目；ck為第k個工況中控制臂的柔度；ck*為第k個工況的單目標拓撲優化的最優解；g為控制臂總質量約束條件；M為控制臂設計域總質量 為控制臂設計域質量上限。其中柔度c可以通過下式計算：

式中k i為第i個單元的單元剛度矩陣，它是關于彈性模量Ei和泊松比νi的函數。

3.2 控制臂問題簡化

以某新能源車型為例，其下控制臂原型是由鋼板沖壓拼焊而成，如圖5所示。為了進一步減輕控制臂質量、提高強度，使用殼-填充多材料拓撲優化方法對控制臂進行重新設計，其設計域和非設計域如圖6所示。

圖5 鋼制控制臂原型

圖6 殼-復合材料填充控制臂設計域和非設計域

非設計域將使用鋼制材料，設計域使用鋼、各向同性復合材料和無材料3種單元。其中，鋼和復合材料分別選用熱軋雙相鋼BR650和PA6.6-GF50［12］，其材料屬性如表2所示。殼材料C設為熱軋雙相鋼BR650，填充材料A設為無材料，由此得材料A的彈性模量相對系數λE1、質量相對系數λm1和泊松比相對系數λν1均為0。將填充材料B設為PA6.6-GF50，其彈性模量相對系數λE為0.15，質量相對系數λm為0.23，泊松比相對系數λν為0.57。

表2 控制臂材料屬性

為簡明起見，在算法有效性示例過程中將三維控制臂設計域簡化為二維模型，工況條件僅選擇2種典型工況進行示例，簡化后的控制臂設計域和工況邊界條件如圖7所示。兩個工況都將控制臂前點A的X和Y兩個方向位移完全約束，并約束控制臂后點B的X方向位移。工況1和2分別為側向剛度工況和縱向剛度工況，工況1在控制臂外點C處施加Y方向的力Fy，工況2在控制臂外點C處施加X方向的力Fx。為了提高數值計算效率，將所有材料的彈性模量進行如下無量綱化處理：E2=Esteel/Esteel，E1=Ecomposite/Esteel。將側向力Fy和縱向力Fx都設置為1。優化的質量分數設置為11%，即控制臂設計域質量的最大值為完全鋼材料填充的11%。設置有限元單元為2.5 mm×2.5 mm的正方形單元，濾波半徑R1、R2和R3分別為25、12.5和12.5 mm，由式（8）可知，控制臂殼特征的厚度為5 mm。

圖7 二維控制臂模型多工況和邊界條件設置

3.3 拓撲優化結果

根據多工況優化問題的求解步驟，首先對各個單工況下的控制臂進行拓撲優化，各工況下拓撲優化結果如圖8所示，黑色區域為鋼材，灰色區域為復合材料。其中，工況1下的柔度為24.41，工況2下的柔度為588.90。工況1由于只受Y方向的力，因此，材料主要集中于圖8中工況1左側區域。而工況2受X方向的力，在3個硬點附近均有材料分布。

圖8 單工況條件拓撲優化結果

綜合兩種工況，采用理想點法再次對控制臂進行拓撲優化設計，所得結果如圖9所示。其中，工況1的柔度結果為42.11，工況2的柔度結果為597.81，兩種工況結果均與理想點較為接近，相比較而言，工況2更為接近理想情況。而對于工況1而言，其理想情況的材料分布較為集中，因此與多工況情況下柔度相差較大。整體而言，兩種工況的柔度都處于較為理想的水平。

圖9 多工況拓撲優化結果

由圖9可以看出，多工況結果更多偏向于縱向剛度，但與縱向剛度單工況分析相比，其中間空白部分增加了承受側向力的結構，用于適應側向剛度工況。

拓撲優化為概念設計，將拓撲優化結果轉換為實體三維模型時應根據實際情況進行調整，例如適當增加結構圓角以減少應力集中，并且在結構未連接的斜梁之間添加連接等。以多工況優化結果為基準，參考工程經驗，將拓撲優化結果轉換為三維結構模型，如圖10所示。

圖10 殼-填充型多材料控制臂

由于殼-填充型多材料控制臂拓撲優化僅對控制臂主體部分進行設計，因此在進行質量對比時僅對比主體部分的質量。原鋼制控制臂主體部分質量為2.19 kg，殼-填充型多材料控制臂主體部分為1.90 kg，相比于鋼制結構輕量13.2%。

3.4 強度校核

整車多體動力學分析得到轉向和制動兩種工況下的控制臂所受載荷如表3所示，據此對控制臂進行強度校核。在ANSYS軟件中進行靜力學分析，分別對殼-填充型多材料控制臂以及原鋼制控制臂進行有限元分析，Von Mises應力結果如圖11和圖12所示，單位為MPa。兩種工況下最大應力和最大變形對比結果如表4所示，對照表1中屈服強度可知，殼-填充型多材料控制臂在轉向和制動兩種工況下具有足夠強度。轉向工況下，殼-填充型多材料控制臂相較于原鋼制控制臂應力水平降低55%，最大變形量降低40%；而制動工況下殼-填充型多材料控制臂相較于原鋼制控制臂應力水平降低40%，最大變形量降低29%。因此，所提出的殼-填充型多材料控制臂概念及設計方法能夠在減輕質量的同時，還具有更高的剛度和強度，具有較大輕量化潛力。

表4 多材料與原型控制臂對比分析

圖12 制動工況應力云圖

表3 控制臂轉向和制動工況受力

圖11 轉向工況應力云圖

3.5 模態分析

控制臂作為底盤部件，承受振動沖擊，其模態對整車NVH性能起到關鍵作用，分別對所得殼-復合材料填充控制臂和原型控制臂進行自由模態分析，其1階模態分別如圖13和圖14所示。多材料控制臂頻率為393 Hz，原型控制臂頻率為673 Hz。由于新能源汽車無發動機共振，因而僅需考慮路面激振頻率的影響。根據工程實踐經驗和有關企業技術標準，要求本車型控制臂1階模態大于200 Hz。由于采用了更為輕質的材料，多材料控制臂1階頻率與原鋼制控制臂相比較小，但仍能避開路面激振頻率，滿足汽車NVH性能需求。

圖13 多材料控制臂1階模態振型

圖14 原型控制臂1階模態振型

4 結論

新近出現的復合型多材料控制臂具有良好的輕量效果和性能水平，但其整體化設計方法仍在探索階段。本文中提出了一種基于局部體積約束的殼/填充多材料拓撲優化方法。

該方法通過密度空間梯度來識別結構殼特征，通過兩步濾波方法和新增變量來實現殼/多材料填充拓撲優化。以3種不同材料為例，建立了多材料密度、彈性模量和泊松比的插值模型，并對材料插值模型中變量的邏輯關系進行分析。采用隱式局部體積約束施加于材料控制變量，解決了多材料問題場景下局部體積約束無法通過p范數施加的問題，并避免了在優化求解器中增加額外約束條件。

為驗證優化方法的有效性，以具體車型的復合型控制臂開發為例，進行多工況多材料拓撲優化設計。優化設計結果表明，相較于原鋼制控制臂，所優化得到的殼-填充型多材料控制臂質量減輕13.2%。對所得殼-填充型多材料控制臂進行強度和模態校核，結果表明其強度滿足要求，且應力水平大幅降低，轉向和制動工況下應力降幅分別達55.0%和39.7%。所提出殼-填充型多材料控制臂具有較好的輕量化潛力和應用前景，并能夠為其它類型的多材料輕量化結構設計優化提供理論參考。