專題突破展思維 考前沖刺提分數
——以2020年全國卷Ⅰ解析幾何中的定點問題為例

江西 黃邦活

解析幾何中的定點問題一直是近幾年來高考題中的一個熱點,也是一個重點,更是一個難點.由于此類問題涉及面廣、綜合性強,對運算求解能力和推理論證能力要求較高,因而使很多考生“望而卻步”、“望題興嘆”,甚至出現部分基礎不錯的考生經過一些探索與思考后,也半途而廢、不了了之.為提高高三考前沖刺復習效率,本文以2020年全國卷Ⅰ解析幾何中的定點問題(即文科第21題,理科第20題)為例,進行課堂教學設計,總結解題規律和策略,希望對高考沖刺提分有所幫助.

1 問題引領,啟迪思維

當代美國數學家哈爾莫斯說過:“問題是數學的心臟”,使學生有疑問才是成功的教學.鮮活而有生命的高考試題,所有試題中的精品,是命題專家們智慧的結晶,它對高中的數學復習有一定的方向性和指引性.因此,在考前沖刺復習中,教師可以直接精選高考試題,提出問題,指引思維的方向,啟發學生思維生長.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)證明:直線CD過定點.

(Ⅱ)結合學情,立足于學生現有認知水平,設計以下問題,通過教師的引導、啟發,幫助學生克服解題盲目性,點亮思維碰撞的火花,提高學生課堂注意力,激發學生學習熱情,尋找打開知識殿堂的金鑰匙,努力尋找解題思路.

問題1:認真審題,直線CD是由什么引起變化的？

問題2:畫出圖形,觀察直線CD有什么特點？能找到定點嗎？

問題3:確定直線方程需要哪些要素？結合圖形特點,直線CD的方程可選什么要素？

問題4:運用直線方程如何證明直線CD過定點？說說你的解題思路,展示你的證明步驟.

2 展示過程,盤活思維

《新課標》明確指出:數學教學是以數學思維活動為核心的教學,教學過程也是學生的認識過程.數學教學不僅是數學活動的教學,更是數學思維過程的教學.引導學生從“學會”到“會學”,其根本的途徑是在傳授知識的過程中,讓學生參與探求的思維過程,經歷數學知識的發生和形成過程,經歷發現問題、解決問題的形式和過程,從而引領學生走向“深度”的數學學習,培養和發展學生的科學精神和創新思維能力.教師在考前沖刺復習中,同樣可以通過數學問題分析,展示學生解題思維過程,引發學生積極思考,揭示數學本質,完善認知結構,創新思維,提能提分.

給學生較多的時間,先讓學生思考、分析、討論、交流,然后讓學生說解題思路,并展示其證明過程;若學生沒有思路,則可引導其“先猜后證”,即由特殊情況入手,畫出圖象,然后觀察試驗,探求出定點,再證明該點符合題意.

學生1:直線CD的變化,是由動點P所引起的,一是根據題設條件設其坐標為P(6,y0),由直線方程的點斜式表示直線AP的方程,與橢圓方程聯立,解得點C的橫坐標,進而得到點C的坐標;同理求得點D的坐標;二是要優先考慮直線CD的斜率不存在的情形,再進一步由直線方程的點斜式表示直線CD的方程,通過代數變形,將直線方程化成點斜式,則可以求出定點坐標,即證明直線CD過定點.

展示1:(證法1)依據題意,作出圖象如下:

(ⅰ)當直線CD的斜率存在時,

直線CD的方程為

教師點評:學生1的解答是通過找到引起變化的根源,選其為參數,然后根據條件直接求出C,D的坐標,進一步得到直線CD的方程,通過變形整理成直線系,求出定點坐標,這是解決定點問題的一般策略.值得提醒的是,只要是求直線方程,就要考慮斜率不存在的情形.

學生2:設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,n),由于直線CD是動直線,且斜率不為0,優先考慮斜率不存在的情況,然后設直線CD的方程為y=kx+m,代入橢圓方程消去y得關于x的一元二次方程,運用根與系數之間的關系,列出相應參數的關系式;然后由P,A,C三點共線、P,B,D三點共線、點C(或D)在橢圓上列出相應參數的關系式;最后,消去x1,x2,y1,y2,n相關參數,得到參數m與k的線性關系,可以證明.

展示2:(證法2)設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,n),

同理由P,B,D三點共線,得3y2=n(x2-3).

消去n得9y1(x2-3)=3y2(x1+3),①

代入①式得

即(x2-3)(x1-3)=-3y1y2，

整理,得x1x2-3(x1+x2)+9=-3y1y2,②

(ⅱ)當直線CD的斜率存在時,設直線CD的方程為y=kx+m.

當m=-3k時,直線CD的方程為y=k(x-3),所以直線CD過點(3,0),但根據題意直線不可能過點(3,0),故舍去.

教師點評:學生2的思路主要有兩個方面:一是設出動點C,D的坐標,結合條件建立坐標之間的關系,合理配湊,利用根與系數之間的關系,達到整體消元之效;二是由直線系方程設出直線CD的方程,與橢圓方程聯立組成方程組,消元后,運用一元二次方程根與系數之間的關系,得到直線系參數之間關系,進而求得定點.

學生3:由于動直線CD的斜率不為0,可設直線CD的方程為x=ty+m,代入橢圓方程消去x得(t2+9)y2+2tmy+m2-9=0,利用根與系數之間的關系列式;然后,根據P,A,C三點共線、P,B,D三點共線,以及點C或D在橢圓上,設法轉化成能利用根與系數之間的關系,列出等式,解得m,即證.

展示3:(證法3)設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,n),

同證法2,得x1x2-3(x1+x2)+9=-3y1y2,

設直線CD的方程為x=ty+m,代入橢圓方程整理得(t2+9)y2+2tmy+m2-9=0,

教師點評:學生3的解答,與學生2的解答思路是一致的,不同的是動直線方程的假設,但過程變得更簡捷.

學生4:根據橢圓的對稱性,再結合幾何直觀圖,如果直線CD過定點,那么該定點必在x軸上.我們不妨取一條特殊直線來找到這個定點Q,然后利用向量共線的條件證明C,Q,D三點共線.

令x=6,得P(6,3).

教師點評:學生4的解答是根據圖形特點,由直線的特殊性進行猜想定點,目標明確,然后就一般的情況進行推理、計算、證明.

3 整合結果,優化思維

一位著名的學者說過:善于讀書的人,能把一本厚書讀成一本薄書.同樣,一類問題解題方法的獲得,不僅需要積極探索,與同伴交流,更需要善于歸納、總結規律,優化路徑,減少運算,進而提升思維品質,提升學科能力與核心素養,將高考解答失誤減到最低.

(1)教師引導學生共同歸納總結解決“未知直線系方程,如何判定或證明直線過定點”問題的兩種典型思路與解法,即

(2)教師引導學生比較以上證明方法及相應過程,不難發現:運用設參數法解決定點的問題,參數選擇至關重要,解題的關鍵在于尋找題中用來聯系已知量、未知量的關系,解題的難點在于運算、變形轉化.相對而言,正向設參法運算量較大,逆向設參法運算量較小,“設而不求+韋達定理”、“代入消參+整體消元”的運用可有效簡化運算、優化過程,如證法4,既避免了分類討論的麻煩,縮短了解題路徑,又在變形中減少運算,簡潔明了.

4 變式運用,發散思維

我們知道思維能力的提高,不是看教師講了多少,而是看學生是否參與思維,充分有效地進行思維訓練,是數學教學的核心.在高三的復習課堂中,就需要教師對學生暴露的問題,有針對性地將試題進行挖掘、引申、類推,讓學生從“變”的現象中發現“不變”的本質,從“不變”的本質中探索“變”的規律,體驗過程,收獲成功,增強信心,為高考“加油”,爭奪“滿分”.

(Ⅰ)當直線l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(Ⅱ)證明:直線AM過定點.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設橢圓的左、右頂點分別為A,B,M是橢圓上異于A,B的任意一點,直線MF交橢圓C于另一點N,直線MB交直線x=4于Q點,求證:A,N,Q三點在同一條直線上.