從一道“八省(市)聯考”數學試題看二輪復習備考方向

云南 唐明超 廣東 潘敬貞

隨著新一輪高考改革步伐的深入推進,近年高考數學試題在傳統命題特點的基礎上更加注重試題結構、考查方式、命題背景等方面的創新.2020年高考數學試題中的同構試題還余溫未散,2021年1月由教育部考試中心命制的八省聯考模擬試題中再次出現以函數與導數為背景考查同構思想的試題,命題原理以及試題的呈現方式與2020年高考部分試題相似度很高.高考中函數與導數試題多以壓軸題的形式呈現,具有較強的靈活性,重在考查學生的數學抽象、邏輯推理與數學建模等核心素養,檢測學生的四基與四能發展水平,突出考查學生在實際問題情境中尋找解題方法的核心能力,試題具有較好的區分度.

一、試題呈現

試題1(2021年1月八省聯考第8題)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則

( )

A.c

C.a

(一)試題解析

(二)試題情景

試題以含參等式的形式呈現,從方程出發設置問題情景,基于學生的元認知發展水平容易得出a=5,b=4,c=3是滿足已知等式的,但試題通過設置參數的取值范圍構建認知矛盾,引發學生駐足思考滿足等式的其他情況,從而引導學生去觀察式子結構特點,尋找其內在的一般規律,進而合理構造函數模型,通過研究函數的圖象性質得出試題的結論,既突出了試題的探究性,也強調了所學基礎知識的應用價值,考查學生運用已有知識儲備解決實際問題的關鍵能力.

(三)試題的生成邏輯

1.考什么

2.怎么考

如果簡單考查利用導數研究復合函數的單調性,這體現不出試題的區分度,畢竟利用導數研究函數的單調性、極值、求切線方程等屬于課標要求的基礎知識;另外,對“四能”的考查如果停留在初級階段或者較淺顯的層面勢必對高中數學的教學起到一定的誤導作用,因為高考是教學的指揮棒和方向標,考試不僅僅具有選拔功能,也是教學活動的目標導向.

3.為什么這樣考

黨的十八大指出教育的根本任務是立德樹人,而立德樹人的目標分解之后在高中數學新課標中的體現就是要求我國公民通過接受高中數學的教育發展適應社會發展和自身需要的學科關鍵能力和必備品格,具體概括為六個核心素養.基于這些理念設計的試題具有一定的靈活性和抽象性,能夠很好地檢測學生的數學抽象、數學建模和邏輯推理等數學核心素養發展水平,考查學生的“四基”與“四能”發展層次,為黨和國家的建設選拔人才.

(四)命題特點

該類試題在整套試卷中的難度值往往處于中等偏上水平,多以選擇題或填空題的形式出現,具有一定的把關作用;當然也經常與函數與方程、不等式、導數等綜合呈現為解答題的形式出現,如2020年全國新高考卷第21題,2020年浙江卷第22題等.

(五)解題策略

解決此類問題的基本思想方法就是認真觀察已知條件中的式子結構特點,通過適當的變形之后挖掘其基本模型和一般規律,通過合理構造函數并利用導數研究函數的性質,結合函數圖象的特點解決實際問題.在挖掘基本模型和尋找一般規律的過程中具備同構的思想和意識是很重要的,從某種程度上體現的是化歸的數學思想,就是將復雜的問題進行梳理與重組,將其整合并轉化為熟悉的、簡潔的數學模型,再利用已有知識經驗在運算和推理的基礎上實現對具體問題的解答.

二、與2020年高考同構試題相比較

(一)重溫2020年高考同構試題

試題2(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,則

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

試題解析:將式子適當變形得2a+log2a=22b+log22b-1,觀察式子結構特點,容易找到符合條件的函數f(x)=2x+log2x,且f(2b)-f(a)=1>0.又因為函數f(x)是增函數,所以2b>a,故選B.

試題3(2020·全國卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y,則

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

試題解析:從未知數統一的角度將式子轉化為2x-3-x<2y-3-y,發現不等式兩邊的結構相同而且符合函數f(t)=2t-3-t的基本形式,成功找到了關聯函數.容易判斷關聯函數f(t)=2t-3-t為增函數,所以由f(x)

(二)一致性分析

試題2呈現的是一個等式,要求判斷未知數的大小關系,如果考慮用特殊值法來判斷則不容易找到符合條件的特殊值,所以解決該問題的基本思路首先還是考慮同構,即觀察式子的結構特點,尋找符合式子結構特點的函數,進而研究函數的性質.試題3是一個經典的不等式比較大小的問題,解決該類試題的關鍵在于抽象出不等式背后所隱藏的函數,重點考查轉化與化歸的數學思想.處理的基本方法是先觀察式子的結構特點,將不等式進行適當整理化歸,尋找一個符合式子結構特點的特殊函數,通過研究關聯函數的單調性、最值等基本性質進而實現對原問題的解答.

(三)創新性解讀

試題1在試題2與試題3的基礎上改變了已知條件的呈現方式,適當加深了變形的難度,將加減運算拓展為乘除運算,所構造出的函數自然也較試題2與試題3復雜,需要利用導數來研究新函數的單調性,思維量和運算量都較大.

三、備考策略

(一)夯實“四基”與發展“四能”并行

注重基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗的積累是我們一直強調的話題,所謂萬變不離其宗,試題的生成一定離不開定義、性質、定理等基礎知識,所以在平時的學習和復習備考過程中要注意循序漸進的構建知識網絡體系,不僅要解決是什么的問題,關鍵還要在怎么來的、為什么是這樣、怎么用等問題上下工夫.發現并提出問題、思考并解決問題是“四能”的內涵與要求,能否有效提高“四能”取決于在學習的過程中對待具體問題的態度.要改變以往靠刷題來豐富解題經驗、拓寬解題視野的單一方式,雖然解題是學習數學的必備環節,但是僅靠大量的解題訓練謀求能力的提升甚至是考試分數的提高,現在看來已經不太現實了.因為試題的呈現越來越突出情景化,對學生在具體問題情景中分析并尋找恰當的方法解決實際問題的能力要求逐步凸顯.

(二)以問題解決為導向的深度教學