重視解題教學,善于變式訓練,探究通解通法
——以2020年全國卷Ⅰ導數題為例

安徽 劉海濤

數學離不開解題,數學研究的過程就是解決問題的過程,掌握數學的一個重要標志就是善于解題.可見,解題是一名教者的必備技能,技能的形成并非一朝一夕,而在于日積月累.數學解題是鞏固基礎知識、落實基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統活動,所以對一道典型問題進行多角度的分析與解答是非常必要的.羅增儒教授曾說:“分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑”,并鼓勵廣大數學教師“重視解題教學、善于變式訓練”.筆者以2020年全國卷Ⅰ的導數壓軸題為例進行探究,淺談對解題教學的認識與思考.

1.試題呈現

(2020·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(Ⅰ)當a=1時,討論f(x)的單調性；

分析:第(Ⅰ)問屬于常規問題,本文不再贅述,重點論述第(Ⅱ)問,此問是含有參數的不等式恒成立問題,本小題綜合性強、解法靈活、難度較大,主要考查了利用導數研究函數的單調性,含參不等式恒成立求參數范圍等知識,考查了學生分析問題、解決問題的能力及化歸與轉化、分類與整合的數學思想,體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養,作為壓軸題,看似熟悉,實則具有一定的迷惑性,稍不留意就會落入窠臼.該類問題的常規解法有兩種:①參變分離,轉化為求分離后函數的最值問題；②將不等式合理變形,轉化為容易處理的函數恒大于等于零的問題,通過參數討論得出變形所得函數的最值.本文嘗試對第(Ⅱ)問從不同的角度予以探究,給出不同的解法.

2.解法探究

評析:對于含參不等式問題,參變分離之后轉化為函數的最值問題,這是一種傳統解法,實際解題時需要注意:①“分參”時要注意不等號是否需要變號,必要時需分類討論；②“分參”后,要弄清是求函數的最大值還是最小值,必要時需利用洛必達法則或導數的定義求極限值.

思路2:將不等式朝著利于參數討論的方向適當變形,化為e-x(x3-2ax2+2x+2)≤2,構造函數h(x)=e-x·(x3-2ax2+2x+2),問題轉化為h(x)max≤2.

方法2:(參數討論法)不等式變形為e-x(x3-2ax2+2x+2)≤2,設h(x)=e-x(x3-2ax2+2x+2)(x>0),問題轉化為h(x)max≤2,求導得h′(x)=-x(x-2)(x-2a-1)e-x.

3.變式探究

高考試題凝聚著命題人的心血與智慧,是命題者反復考量與打磨才成型的,對教師的教學具有導向性與啟示性.對高考題進行解法探究與變式推廣,也是教師日常教研的一項基本任務,反映了教師本身的業務能力與素養.

3.1逆向變式

3.2類比變式

變式2已知函數f(x)=(x-1)ex-ax2(e是自然對數的底數)

(Ⅰ)判斷函數f(x)極值點的個數,并說明理由；

(Ⅱ)若對?x≥0,f(x)+ex≥x3+x,求a的取值范圍.

評析:變式2是安徽省合肥市2018年4月的高三二模題,該題與2020年的高考題設置和背景幾乎是一樣的,在a=e-2時,不等式在x=1處也可以取等號,從而由數形結合得命題成立的充要條件是g(1)≥0.

4.命題背景

4.1泰勒公式

4.2追本溯源,總結通法

(2)解方程組,消去參數a,整理得到一元(x)方程(x-x0)en(x)=0(x0=n-1,n≥2)；

(3)解該不等式f(n-1)≥0得到參數a的取值范圍.

5.變式訓練

筆者根據上述研究,編制了如下習題,供讀者參考、練習、交流.

6.反思總結

6.1通過一題多解來鍛煉數學思維、提高解題能力

通過對2020年全國卷Ⅰ導數題的多角度思考,得到以上不同解法,不同的解答形式體現出不同的思維方式,給考生極大的思考與解答空間,在運算量和解答時間上出現差別,篩選出不同層次的考生,具有很好的信度與區分度.一題多解不僅增加了問題涉及的知識廣度,而且以一帶多,可以減少考查相同知識的題量.在日常解題過程中,我們要善于通過解題發現知識間的內在聯系,體會知識間的化歸與轉化,構建知識間的網絡體系.這樣,我們在學習基礎知識,掌握基本技能的同時,可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性,達到舉一反三、融會貫通的解題水平和能力,提高自身的數學思維和核心素養.

6.2看清問題本源,總結歸納一類問題的通解通法