概念為本，觀念導(dǎo)向
——例談解析幾何客觀題的應(yīng)試觀念

安徽 李永昌 祝 峰

高考中，解析幾何部分常以兩“小”一“大”的形式考查，即兩道客觀題(選擇題、填空題)、一道主觀題.兩道客觀題主要考查直線、圓錐曲線的基本概念和原理，概念原理所蘊(yùn)含的基本思想方法，以及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).客觀題解答有別于主觀題，對(duì)求解的詳盡邏輯過(guò)程要求不高，所謂“小題小做”“小題巧做”，側(cè)重于快速準(zhǔn)確地獲得結(jié)果.回到概念、原理，用學(xué)科一般觀念導(dǎo)向，是“小、巧、快、準(zhǔn)”地突破解析幾何客觀題的有效之舉.

高考中解析幾何客觀題千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，這個(gè)“宗”就是解析幾何中的核心概念以及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法.回到基本概念，用概念思考問(wèn)題，是解析幾何客觀題求解的“根本大法”.對(duì)于特定知識(shí)下固定題型的求解，解析幾何一般觀念具有鮮明的導(dǎo)向作用.一般觀念是指對(duì)此類問(wèn)題解決具有持續(xù)、穩(wěn)定、有效影響的策略性知識(shí).這些知識(shí)源于對(duì)問(wèn)題所涉及的概念、原理本質(zhì)的深度理解，通過(guò)核心概念相互結(jié)構(gòu)關(guān)系的構(gòu)建，對(duì)它們所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.經(jīng)過(guò)解析幾何的完整學(xué)習(xí)后，學(xué)生能從解析幾何視角看具體問(wèn)題，會(huì)用解析幾何的思維方式思考問(wèn)題，會(huì)用解析幾何特有的語(yǔ)言形式描述問(wèn)題，是學(xué)生具備學(xué)科一般觀念的行為表現(xiàn).本文以典型的高考試題為例，彰顯解析幾何客觀題求解過(guò)程“概念、原理”的強(qiáng)大力量，提出問(wèn)題切入的常見一般觀念，包括概念觀、原理觀、構(gòu)圖觀、轉(zhuǎn)化觀和解析觀，希望為解析幾何的高考備考提供一個(gè)獨(dú)特復(fù)習(xí)維度.

1.概念觀

概念、命題是經(jīng)推理組成的邏輯體系.概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中概念是邏輯思維的最小單位，是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式.在解析幾何客觀題的求解過(guò)程中，應(yīng)秉承回到概念的基本理念，即不斷回到概念，從概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維習(xí)慣.解析幾何中的很多概念具有鮮明的直觀背景，簡(jiǎn)單、易懂且威力無(wú)窮，是問(wèn)題解答的金鑰匙.恰如李邦河院士所言：“數(shù)學(xué)基本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧微不足道也！”解析幾何中的核心概念是相互聯(lián)系、由簡(jiǎn)到繁的學(xué)科體系，其不僅是解析幾何理論系統(tǒng)中的主要組成部分，也是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ).

例1(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·4)已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=

( )

A.2 B.3

C.6 D.9

【點(diǎn)評(píng)】回到拋物線的概念，問(wèn)題即可解答.問(wèn)題解決過(guò)程中，拋物線的概念起到了關(guān)鍵作用，是用概念思考問(wèn)題的鮮明體現(xiàn).

( )

A.1 B.2

C.4 D.8

【點(diǎn)評(píng)】由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=2a是問(wèn)題求解的突破口，在問(wèn)題情境中，雙曲線定義有明確的直觀意義，為問(wèn)題的解決提供了切入點(diǎn).

2.原理觀

概念、命題是解析幾何客觀題求解的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)靠基本原理連接.基本原理主要包括圖形的基本性質(zhì)，以及這些性質(zhì)的代數(shù)體現(xiàn)，比如橢圓的范圍、對(duì)稱性、離心率，拋物線的對(duì)稱性、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，雙曲線的對(duì)稱性、漸近線等.基本原理還包括曲線對(duì)應(yīng)基本量之間的關(guān)系，如橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距之間的關(guān)系，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距之間的關(guān)系，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程之間的關(guān)聯(lián)等.解析幾何的客觀題特別注重對(duì)這些基本量和關(guān)系的考查，求解過(guò)程中要對(duì)這些基本原理給予足夠重視.

例3(2020·高考全國(guó)卷Ⅲ理·5)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

( )

C.(1,0) D.(2,0)

【點(diǎn)評(píng)】拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用.由對(duì)稱性獲得D(2,2)，進(jìn)而求得p.

( )

【點(diǎn)評(píng)】拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，均屬于基本原理的范疇.

3.構(gòu)圖觀

幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是解析幾何研究的對(duì)象.誠(chéng)然，通過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，建立圖形的代數(shù)表達(dá)式，如方程、不等式等，用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)是解析幾何的根本方法.但歐式幾何中的概念、定理、原理以及圖形的基本性質(zhì)，在解析幾何問(wèn)題的求解中依然起到基礎(chǔ)性作用.特別是解析幾何客觀題的求解過(guò)程中，一般不會(huì)有過(guò)于繁雜的解析運(yùn)算，一般隨手作出圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)推理，可直接“看”問(wèn)題的結(jié)果.在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”或者“算”出來(lái)的，這種“看”需借助能夠揭示問(wèn)題本質(zhì)的幾何圖形.所以“作圖、識(shí)圖、用圖”也應(yīng)是解析幾何客觀題求解的最基本觀念.

【點(diǎn)評(píng)】問(wèn)題探究的先行概念包括直線的斜率、傾斜角、直線方程、圓的方程.解答過(guò)程中并沒(méi)側(cè)重于解析運(yùn)算，而是作出簡(jiǎn)圖，分析圖形性質(zhì)，通過(guò)圓中的垂徑定理、勾股定理，直接“看”出圓的半徑.

例6(2020·北京卷·5)已知半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)距離的最小值為

( )

A.4 B.5

C.6 D.7

【解析】如圖所示，半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)M(3,4)，則圓的圓心的軌跡方程為(x-3)2+(y-4)2=1，由圖可見，動(dòng)圓圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為|OM|-1=4，故選A.

【點(diǎn)評(píng)】借助幾何直觀圖，充分分析圖形的幾何特征，挖掘問(wèn)題本質(zhì)，關(guān)注歐式幾何中相關(guān)定理的應(yīng)用，基本上可直接看出問(wèn)題的結(jié)果，達(dá)到避開冗長(zhǎng)的解析運(yùn)算的目的，真正做到小題求解中的“小、巧、快、準(zhǔn)”.

4.轉(zhuǎn)化觀

結(jié)合問(wèn)題的幾何直觀圖，從不同視角分析問(wèn)題與條件之間的邏輯關(guān)系，利用問(wèn)題的多元表征，將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問(wèn)題，是求解解析幾何客觀題的基本觀念之一.在這樣的觀念下，能夠迅速定位問(wèn)題求解所需的知識(shí)、方法和思想.

例7(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為

( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P(-1,0)，作⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程.(后續(xù)求解在解析中呈現(xiàn))

【點(diǎn)評(píng)】圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線方程、直線和圓的位置關(guān)系是上述轉(zhuǎn)化的必備知識(shí).“數(shù)形結(jié)合”思想和“解析法”的滲透，體現(xiàn)了解析幾何問(wèn)題的幾何特征和代數(shù)求解的一般思路.通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化，抓住了問(wèn)題的關(guān)鍵及求解的切入點(diǎn).

5.解析觀

解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，方法是坐標(biāo)法.坐標(biāo)法是解析幾何的基本思想，亦是解析幾何問(wèn)題求解的一般觀念.在解析觀引領(lǐng)下，通過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，建立圖形的代數(shù)表達(dá)式，如方程、不等式等，用代數(shù)表達(dá)式研究圖形的幾何性質(zhì).因此，解析幾何問(wèn)題必須首先將題目條件或者結(jié)論中的幾何特征(角、線段長(zhǎng)度、斜率、面積等)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.轉(zhuǎn)化的策略主要有：幾何特征直接代數(shù)化，即“直譯”；或者先把幾何條件用幾何方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤纸饣蛱幚恚俅鷶?shù)化，即對(duì)難以“直譯”的條件先利用平面幾何知識(shí)“轉(zhuǎn)化”為“簡(jiǎn)單、易翻譯”的條件后再進(jìn)行“直譯”.這種轉(zhuǎn)化在幾何與代數(shù)之間架起了一座溝通的橋梁，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何性質(zhì)從定性到定量的研究，達(dá)到對(duì)圖形性質(zhì)更精細(xì)的把握.

在轉(zhuǎn)化觀基礎(chǔ)上，在解析觀的引領(lǐng)下，例7可從下述不同角度予以解答.

【解析一】注意到x=-1為⊙M的切線，此時(shí)切點(diǎn)為A(-1,1).當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則切線方程為y=k(x+1).

【點(diǎn)評(píng)】考慮直線方程的兩點(diǎn)式，設(shè)法求解兩切點(diǎn)的坐標(biāo).圓的切線過(guò)點(diǎn)P(-1,0)，結(jié)合圓心到其距離等于半徑，求出斜率，即可求得兩切線的方程，聯(lián)立圓的方程求出兩切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得過(guò)切點(diǎn)的直線方程.

【解析二】注意到x=-1為⊙M的切線，此時(shí)切點(diǎn)為A(-1,1).當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則切線方程為y=k(x+1).

故直線AB的方程為2x+y+1=0,故選D.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)直線與圓錐曲線相切時(shí)，對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根.圖形位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程根的特征，體現(xiàn)了解析法的基本套路，即幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.直線和圓相切的這種問(wèn)題的解決方法適用于其它類型的圓錐曲線，具有一般性.

【點(diǎn)評(píng)】圓的參數(shù)方程能夠把圓的幾何特征用三角表達(dá)式予以表述.借助豐富的三角變換工具和參數(shù)的幾何意義，能夠便捷的解決圓相關(guān)的問(wèn)題.此種求解方法依然是通過(guò)求解兩切點(diǎn)的坐標(biāo)，達(dá)到求解兩切點(diǎn)確定直線方程的目的.

【解析五】已知P(-1,0)，M(1,1)，則以PM為直徑的圓的方程為x2+y2-y-1=0.注意到直線AB是⊙M與以PM為直徑的圓的公共弦所在直線，所以直線AB方程為(x2+y2-2x-2y-2)-(x2+y2-y-1)=0，即2x+y+1=0，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】從圓與圓位置關(guān)系的視角看問(wèn)題，視直線AB為兩圓公共弦，兩圓方程相減，即可求得直線AB的方程，思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)潔.圓的方程、圓與圓的位置關(guān)系是此法求解的必備知識(shí).思路源于點(diǎn)A，B的幾何特征，即兩圓的公共點(diǎn)分別符合兩圓方程，同時(shí)符合兩圓方程相減所得方程2x+y+1=0，結(jié)合公理“兩點(diǎn)確定唯一一條直線”，可知直線AB上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均符合此方程，所以直線AB的方程為2x+y+1=0.

【點(diǎn)評(píng)】A(x1,y1)，B(x2,y2)分別滿足方程2x1+y1+1=0，2x2+y2+1=0，抽象出直線AB上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均符合2x+y+1=0，達(dá)到求解直線AB方程的目的.