概率高考重點題型及解題策略

江蘇 陳 敏 張啟兆

近年來，概率部分年年考查，常考常新，根據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》，考查內容包括:概率的意義、古典概型、互斥事件、獨立事件、條件概率、離散型隨機變量及其分布、二項分布、超幾何分布、正態分布、期望與方差等.現將概率高考重點題型及解題策略總結如下，以期拋磚引玉.

1.用計數方法解決古典概型問題

例1小波以游戲方式決定是去打球、唱歌還是去下棋，游戲規則:以O為起點，再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)，這6個點中任取兩個點為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0，就去下棋.

(Ⅰ)寫出數量積X的所有可能取值；

(Ⅱ)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解(Ⅰ)X的所有可能取值為-2，-1，0，1.

故共有15種可能的情況，

評注(1)如果所求事件對應的基本事件規律性不強，不易計數，那么我們一般通過逐一列舉計數，再求概率，列舉的關鍵是要有序，從而確保不重復、不遺漏.另外要注意對立事件概率公式的應用；

(2)對于基本事件數比較復雜的問題，可以借助排列組合知識去處理，具體問題中要分清是否有順序，有序的和無序的是有區別的；是否允許重復，即有放回的和不放回的，有放回的取元素是允許重復的，而不放回的取元素是不允許重復的.

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(1)古典概型的重要特征是等可能性，在計算基本事件總數和事件包含的基本事件個數時，一定要注意它們是否是等可能的；

(2)對于較復雜的古典概型問題，在計算基本事件總數時若涉及排列組合知識，要先判斷事件是否與順序有關，以確定用排列還是用組合來解決.

2.用概率的加法公式、乘法公式求事件的概率

對于一些復雜的古典概型，可以利用概率的加法公式、乘法公式等，將復雜事件用簡單事件的運算表示，再求復雜事件的概率或求分布列.涉及的知識有古典概型、概率的基本性質、互斥事件、事件的獨立性、條件概率等.

例2甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下:

累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.

(Ⅰ)求甲連勝四場的概率；

(Ⅱ)求需要進行第五場比賽的概率；

(Ⅲ)求丙最終獲勝的概率.

分析比賽最少要進行幾場？(三場比賽是不能結束比賽的，最少要四場)比賽最多要進行幾場？(如果六場，那么三個人都淘汰掉了，因此最多5場比賽)

(Ⅰ)甲連勝四場是什么情況？可以采取列表的方法，例如:

甲連勝四場

(Ⅱ)由于需要進行第五場比賽的情況比較復雜，可以轉化為考慮其對立事件，即比賽四場就結束比賽的情況:

甲四場獲勝的情況如上表；

乙四場獲勝

比賽四場丙獲勝(連勝三場)(1)

比賽四場丙獲勝(連勝三場)(2)

(Ⅲ)丙最終獲勝，怎么理解？根據規則，對于丙參加的比賽要么丙全勝，要么丙僅負1場，根據丙的負場情況分為4類，可以一一列舉(請讀者自己列表).

解根據規則，3場比賽至多會淘汰1個人，不可能結束比賽，至少比賽4場(各負兩場的兩人被淘汰，另一人全勝勝出)，至多比賽5場(各負兩場的兩人淘汰，只負一場的人勝出)，分別用事件Ai，Bi，Ci表示甲，乙，丙第i場比賽獲勝(i=1，2，3，4，5).

根據事件的互斥性與獨立性知

根據事件的互斥性與獨立性知

評注(1)弄清事件的構成是解決概率問題的關鍵步驟;

(2)要重視用字母或隨機變量表達隨機事件，使解答過程清晰簡潔.對于復雜事件，可以先考查它的對立事件.

易錯提醒

注意互斥事件與對立事件的區別:

對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.

3.用概率分布模型研究概率問題

概率問題求解的關鍵是辨別它的概率模型，只要模型找到，問題便迎刃而解.常見的概率分布模型有兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布.

例3從某批產品中，有放回地抽取產品二次，每次隨機抽取1件，假設事件A:“取出的2件產品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(Ⅰ)求從該批產品中任取1件是二等品的概率p；

(Ⅱ)若該批產品共100件，從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產品中二等品的件數，求ξ的分布列.

分析(Ⅰ)“取出的2件產品中至多有1件是二等品”說明什么？說明取出的2件產品中沒有或只有1件是二等品，即概率模型是“二項分布”；

(Ⅱ)“若該批產品共100件，從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產品中二等品的件數”，說明什么？明確概率模型是“超幾何分布”.

解(Ⅰ)記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件二等品”.

則A0，A1互斥，且A=A0+A1，故

P(A)=P(A0+A1)

=P(A0)+P(A1)

=1-p2.

由0.96=1-p2，

解得p=0.2或-0.2(舍).

(Ⅱ)ξ的所有可能取值為0，1，2.

若該批產品共100件，由(Ⅰ)知其二等品有100×0.2=20(件)，故

所以ξ的分布列為

ξ012P31649516049519495

評注超幾何分布是一種重要的分布模型，要深入理解概念:

從包含M件次品的N件產品中選取n件，設取到的次品數為X，則X服從超幾何分布,且

( )

(1)模型識別:①任意兩個試驗相互獨立，不互相影響；

②每次成功的概率是相同的；

③服從二項分布的變量X(成功次數)，不是隨機實驗.

超幾何分布與二項分布是兩種重要的分布模型，要明晰它們的區別，不要混淆.

(2)模型特征

超幾何分布模型特征:

①做n次試驗；

②每次試驗只有兩個結果:“次品”和“正品”；

③每次取到“次品”的概率相同(因為抽簽的結果與抽簽順序無關).

二項分布模型特征:

①做n次獨立試驗；

②每次試驗只有兩個結果:“成功”和“失敗”；

③每次試驗，“成功”的概率相同.

區別:每次抽取，二項分布是相互獨立的，超幾何分布不是.

4.用概率知識或函數、數列等作概率推斷，進行決策

隨著大數據時代的來臨，高考試題對概率統計內容愈加重視，凸顯創新性與靈活性，試題位置(難度)也不再固定，后移趨勢明顯，能力要求漸高.

常見考査方式:比較不同方案下的隨機變量的期望或方差的大小作概率推斷，進而作出概率決策，此類考題多是統計概率內部的綜合問題，難度相對不大，熟知公式及期望或方差的統計概率意義就可以了.

與傳統的數學內容(比如函數、數列、不等式等)交匯的綜合性問題，解決此類問題，建模是關鍵，建模過程就是對統計概率綜合素養的考査，從統計概率中抽象出數學問題，借助傳統的數學工具(如導數、不等式等)，分析處理進行優化分析.

例5(2016·全國卷Ⅰ理·19)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖:

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若要求P(x≤n)≥0.5，確定n的最小值；

(Ⅲ)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？

分析(Ⅰ)第一遍讀不懂，再讀一遍，同時要理解每一句話要告訴我們的含義.如:

“某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰”明確研究對象；

“機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元”明確研究背景；

“以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率”明確概率規則；

“以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據”明確決策依據.

(Ⅱ)閱讀題時要明晰每句話的作用，盡量用圖表將問題直觀化.

(Ⅲ)概率統計問題一般是有套路的，它的套路主要分四步:

收集數據:收集并整理100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數；

處理數據:得柱狀圖；

分析數據:以1臺機器更換的易損零件數發生的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，求X的分布列；

應用數據:將柱狀圖的表格數據化:

表1 1臺機器更換零件數

表2 2臺機器更換零件數

解(Ⅰ)每臺機器更換的易損零件數為8，9，10，11，

記事件Ai為第一臺機器3年內換掉i+7個零件(i=1,2,3,4)，

記事件Bi為第二臺機器3年內換掉i+7個零件(i=1,2,3,4)，

由題知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2，P(A2)=P(B2)=0.4.

設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為X，則X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22，

P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04，

P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16，

P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24，

P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.2×0.4+0.4×0.2+0.2×0.2=0.24，

P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2，

P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08，

P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04，

則X的分布列為

X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

(Ⅱ)因為0.04+0.16+0.24<0.5，0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5，

則若P(x≤n)≥0.5，n的最小值為19.

(Ⅲ)購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用.

當n=19時，費用的期望為19×200+500×0.2+1 000×0.08+1 500×0.04=4 040，

當n=20時，費用的期望為20×200+500×0.08+1 000×0.04=4 080，

4 040<4 080，

所以應選用n=19.

評注(1)概率統計問題的套路是:①確定任務；②收集數據；③處理數據；④分析數據；⑤應用數據.

(2)對于復雜的概率統計可以遵循套路，將文字和要求進行分解，以有效理解題意；

對于依據數據特征的決策，在問題解決中要思考以下問題:

①常用數字特征有哪些？

②各種數字特征產生的背景(產生在統計活動中的哪個環節)；

③利用哪一個(哪幾個)數字特征作決策；