高考“圓錐曲線”考向預測

安徽 李昭平 王 芳

縱觀近幾年的高考題,無論是全國卷還是省市自主命題卷,圓錐曲線主要考查三種圓錐曲線的基本知識、直線與圓錐曲線的位置關系、參數范圍、定點、定值和對稱關系等問題,一般穩定在一選一填一解答,分值大約占總分的14.7%左右.雙曲線問題往往在客觀題中出現,解答題考查橢圓或拋物線,圓錐曲線客觀題也往往處于靠后的位置.由于圓錐曲線問題涉及面廣、運算量大、綜合性強、高考考查的維度較多,下面做一個預測歸納,供參考.

考向1.考查定義

橢圓、雙曲線和拋物線的定義反映了三種圓錐曲線的本質特征.對于高考或?？贾心承﹫A錐曲線客觀題,若從定義入手,往往能快速實現解題目標.

解析:對于橢圓上的點A,利用橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=6.

設|AF1|=m,|AF2|=n,則m+n=6.

對于雙曲線上的點A,利用雙曲線的定義得n-m=2a,

評析:由雙曲線的定義可以做正反兩個方面的推理:一是雙曲線上任意一點到兩個焦點的距離之差等于定值±2a;二是到兩個定點的距離之差等于定值±2a的點,在以兩個定點為焦點,a為實半軸長的雙曲線上.靈活運用這兩個結論解雙曲線題,往往事半功倍.橢圓和拋物線也完全類似.

考向2.考查點差法

所謂點差法,一般是指由圓錐曲線上若干個點的坐標滿足圓錐曲線的方程而得到若干個方程,將這若干個方程實施整體相減,以實現解題目標的方法.對于圓錐曲線的弦、弦的中點、弦所在的直線、弦的中垂線等問題,若能靈活運用點差法,往往簡單快捷.

例2.橢圓x2+3y2=1中斜率為2的平行弦中點的軌跡方程是________.

評析:橢圓弦的中點應該在橢圓內部,其軌跡直線x+6y=0上不在橢圓內的均為暇點(有無數多個),必須去掉這些暇點,否則軌跡方程錯誤.對于拋物線和雙曲線也是如此.

考向3.考查分類討論

平面解析幾何主要包括運用“代數方法研究幾何問題”和“用幾何方法研究代數問題”兩大類,既有代數計算又有幾何直觀,其中涉及分類討論的問題不少.分類討論通常由以下幾個方面的原因引起:一是數學概念、法則、公式、定理、性質有適應性范圍或限制性條件;二是幾何位置關系的變化;三是參數的變化.所以解題時我們要弄清原因,根據對象確定統一的分類標準,適時分層展開討論,做到不重不漏.

例3.平面內與兩定點A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積等于常數m(m≠0)的點的軌跡,連同A1,A2兩點所形成的曲線為C.求曲線C的方程,并說明C的形狀,

解析:設動點M的坐標為(x,y)，

若m<0,(1)當a2<-ma2,即m<-1時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓.

(2)當a2=-ma2,即m=-1時,曲線C的方程為x2+y2=a2,曲線C是圓心在原點,半徑為a的圓;

(3)當a2>-ma2,即-1

考向4.考查離心率公式

解析:在焦點三角形△PF1F2中,

考向5.考查存在性

由于圓錐曲線主要研究圖形,圖形有大有小,也有定圖形和動圖形之別,這就自然會出現一些圖形是否存在的問題.比如,點是否存在,線是否存在,圓是否存在,三角形是否存在,橢圓、雙曲線和拋物線是否存在等等.假設相關圖形存在,由此出發,結合已知條件推出可行性或不可行性,進而得到存在或不存在的結論.

1(a>b>0)的長軸長為6,A為左頂點,B,C在橢圓E上.若四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=30°.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設F1,F2是橢圓的左、右焦點,在橢圓上是否存在點S,使∠F1SF2=150°?若存在,請求出S點的坐標;若不存在,請說明理由.

解析:(Ⅰ)因為四邊形OABC為平行四邊形,

所以BC∥OA.由橢圓的對稱性知,B,C兩點關于y軸對稱.由題意知,a=|OA|=|CB|=3.

(Ⅱ)假設滿足條件的點S存在.

設|SF1|=m,|SF2|=n,則由余弦定理得

注意:對于橢圓的頂點三角形,有下列結論,證明略.

考向6.考查定值

圓錐曲線就像平面幾何一樣,在動態圖形中也存在著許多不變量,其中定值就是重要的一類,而且是近幾年高考和?？贾械母哳l考點.這種問題常常與動點、動弦、動角、動曲線、對稱性等融為一體,能有效考查考生的數學水平和綜合能力.

例6.已知動圓過定點M(0,4),且在x軸上截得的弦AB的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ)過軌跡C上一個定點P(m,n)(m≠0)引它的兩條弦PS,PT,直線PS,PT的斜率存在且傾斜角互為補角.證明:直線ST的斜率為定值.

解析:(Ⅰ)設動圓圓心C的坐標為(x,y),則(x-0)2+(y-4)2=42+y2.整理得x2=8y,故所求動圓圓心的軌跡C的方程為x2=8y.

所以x1+x2=-2m.

評析:本題利用傾斜角互為補角得到kPS+kPT=0,建立方程得到x1,x2,m之間的關系,再列出直線ST的斜率表達式化簡整理即可.

考向7.考查參數范圍

直線與橢圓、拋物線的位置關系是高考大題考查的重點,這種問題往往與參數、方程、向量、不等式、幾何關系等融為一體,設點設線,聯立消元,韋達定理,根的判別式,條件轉換,建立函數、方程與不等式等是解題的基本方法.

例7.已知定圓A:(x+1)2+y2=8,動圓M過點B(1,0),且和圓A相切.

(Ⅰ)求動圓圓心M的軌跡E的方程;

x2+2(kx+m)2-2=0,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

由Δ=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)>0得1+2k2>m2.

評析:本題充分體現了上面陳述的解題的基本方法,具有分析的難度、思維的難度和運算的難度.易錯點在運算、思維轉換、忽視隱含條件上.比如,最后求實數m的取值范圍時,僅考慮k,m應滿足的不等式1+2k2>m2,而忽視k,m應滿足的方程2m=1+2k2這一個重要隱含條件導致解題錯誤.

考向8.考查對稱性

近幾年的高考和模考圓錐曲線大題中,出現了不少關于軸對稱、中心對稱、平行、垂直、特殊幾何圖形或特殊幾何圖形內接于圓錐曲線等問題,用解析幾何呈現出來的形式往往是角相等或互補、斜率相等或互為相反數或互為負倒數、過定點或為定值等等.這種題型能有效考查直觀想象、數學運算和邏輯推理等數學核心素養,倍受命題者青睞.

所以kAM+kBM=0.

故∠PMA=∠PMB.