精研命題方向 助力高考備考
——基于“八省(市)聯考”數學試題的分析與解讀

河北 徐 丹

2021年1月23日，由教育部統一命題進行了2021年新高考八省(市)模擬演練的聯考，聯考試題堅持以核心素養為導向，傳承高考改革理念，突出以簡致繁能力，聚焦開放命題趨勢，具體而言，在引入新鮮元素的同時更多地秉承了新高考素養導向、能力為重的命題思路，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養.突出考查學生的理性思維和探究創新能力.試題從基礎性、綜合性、應用性和創新性的角度進行了精心的設計，彰顯了綜合運用數學思想方法發展“四能”的意識.試卷充分體現了穩中有變、穩中有新的命題特點，助力課改突破應試教育.

一、試題總體分析

八省聯考試題在題型變化上延續了對試卷內容和形式的優化，結構微創新.具體表現為兩方面：一方面，與現有多選題相比，少選漏選的分值由3分變為2分，區分度更加明顯；另一方面，雖然沒有結構不良試題，但是第3題是邏輯推理題、第14題是一題兩空、第15題是開放性試題、第16題是跨學科的推斷試題；至此，新題型已全部出現.

在考查設問上，試題語言簡潔，特色鮮明，言簡意賅，回味無窮，以全新的角度引出問題，重點考查學生對問題的理解能力，且滲透創新應用意識和探究理解能力.多選題第10題,各選項關系并列，匯總了共軛復數和模的性質,知識覆蓋面是單選題遠遠達不到的，意在考查復數四則運算和模的性質與實數的聯系和區別，在思維定式帶來的負遷移處設計干擾項；多選題第12題，同一個大背景下對多個結論進行判斷，函數結構呈分式結構，啟發構造幾何意義和求最值；填空題第15題，開放性問題，考查學生對高中階段函數模型的性質理解，由傳統的輸入變為輸出；填空題第16題是探究性問題，要求學生在準確理解正態分布和設計者意圖的基礎上，綜合運用數學思維方法分析和解決問題.

二、命題維度分析

(一)知識組合角度

試卷注重對高中基礎內容的全面覆蓋，主干模塊的概念、公式、定理等在選擇題、填空題中得到了有效的考查,其中第1題考查集合補集、包含關系和子集性質；第6題考查二項式定理和組合數公式；第10題考查共軛復數、模的性質和推演；第11題考查圓臺體積公式.可以看出我們要全面把握知識，深入概念；要重視冷點知識，加強學生對抽象知識的理解，沒講透的不能避重就輕，避而不談，將雙向知識和能力細目表運用起來，加快知識循環.

(二)情境選擇角度

延續了高考于情境處考查深刻、精準地反映學生分析問題、解決問題能力的風格，但略有差異，相比于2020年全國卷Ⅰ理科真題(3個)、新高考Ⅰ卷(供山東省使用)(6個)，聯考試題社會實踐情境(2個)減少，增加了探索創新情境和課程學習情境的比例，這是目前情境題目過熱的一種冷處理，也啟示教師對于新高考試題不能內容大于形式，內在重于外在.

(三)能力立意角度

高考評價體系構建的三個學科素養群，學科素養是考查理念和總體要求，關鍵能力是學科素養的細化和具體體現，在命題中，關鍵能力是具體的考查目標，是實現學科素養考查目標的手段和媒介.

聯考試題延續了高考從解決常規問題轉變為考查五大關鍵能力的風格，全面體現了評價體系的各項能力要求，運算求解能力貫穿試卷始終，邏輯思維能力(推理論證能力、抽象概括能力、語言表達能力)依然是考查的重點，直觀想象能力、創新能力考查具有一定深度，在區分考生時起到重要作用.

1.邏輯思維能力

對邏輯思維能力考查的更加全面、深入.邏輯思維能力可以通過學生能否選擇合適的論證方法和途徑，能否用準確、嚴謹的數學語言表述論證的方式進行考查.如2020年全國卷Ⅰ理科12題，考查考生通過構造函數來實現恒等變形；11題，通過直觀感受或是嚴謹推理來找到最值條件，由此實現對批判性思維能力的深入考查.全國卷Ⅲ考查的比較大小問題，突破的方向就是指對互化，要求學生進行聯想，依據解題經驗，在具體情境中去運用對數運算、基本不等式.可以看出命題加強了對邏輯思維能力的考查，對論證方法的適切性、嚴謹性、簡潔性提出了更高的要求.

八省聯考試題對邏輯推理能力進行了全面深入的考查，體現在第3題邏輯推理、第17題數列、第20題立體幾何.第3題相互矛盾或聯系點是以邏輯推理為切入點，試題面向全體考生,體現公平，與2016年全國卷Ⅱ和2017年全國卷Ⅱ相似，說明邏輯推理已經放到非常突出的位置,并且難度逐漸上升；第17題數列問題，可以利用二階線性遞推求通項公式，利用構造方程組，或是數學歸納，或是化為一階線性遞推求通項公式，為不同層次的考生提供多種途徑，與2020年全國卷Ⅲ第17題一致；第20題立體幾何，學生從實物圖抽象為幾何圖形，從特殊情況上升為一般結論(歸納推理)，從直觀感受上升為理性推理，從正四面體、四棱錐類比入手幫助考生理解多維圖形.這是研究數學對象的基本之道，而破解此題的關鍵在于找到“棱數、面數”之間的關系,觀察就會發現每條棱被兩個平面占用.可以看出命題一方面對知識的本質理解提出了更高要求，讓學生建立起知識間的內在關聯，達到觸類旁通，另一方面，培養學生的推理能力，提升創新思維水平.

2.抽象概括能力

在抽象概括方面，聯考對抽象符號理解與表達考查的更加豐富、多維.第10題復數，嘗試用代數化方法解決并不簡潔，用共軛復數和復數的模的性質解決起來較為方便；第16題考查對正態分布符號的理解；第20題立體幾何問題，考生通過引入變量，正確運用抽象的數學語言和求和符號進行表達.可以看出命題要求考生對問題進行實質性分析，有較強的即時獲取新概念、信息轉譯能力和嚴密表達的能力，由輸入變為輸出.

3.空間想象能力

空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，能根據條件做出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質.高考命題加強了對空間想象能力的考查，對學生畫圖，識圖，析圖，用圖提出了較高要求.第11題是正方體的平面展開圖，需要我們折圖還原圖；第20題，用大興機場的實物圖引出彎曲空間和曲率；除此之外學生仍至少需要自己動手完成16個圖：如第1題venn圖；第4題、第21題橢圓焦點三角形、雙曲線中三角形圖；第5題向量分解圖；第7題圓和拋物線斜率加和為0圖；第8題、第9題、第12題、第22題構造函數圖象；第13題畫出球和圓臺圖；第14題、第20題正方體圖、三棱錐、四棱錐、多面體示意圖；第16題正態分布密度曲線圖；第18題平行四邊形和圓的圖.可以看出我們要教會學生做圖，做圖比識圖更需要重點培養.

三、命題理念分析

本次考試從考查專題的套路模式化轉變為核心理念和通性通法，知識只是能力的載體，專題怎么考查都可以.再來看這幾個題目的考查范式：17題數列，以構造性問題為載體，考查一階、二階線性遞推數列通項公式；20題立體幾何，以探究性問題為載體，考查線面關系、立體圖形平面化；21題解析幾何，以雙曲線為載體，考查代數化思想、角度關系轉化為斜率關系的轉化能力.12、22題導數，以指數、三角函數為載體，考查函數與三角函數圖象和性質、導數基本研究方法的理解.

從變化最大的圓錐曲線來看，課程標準對雙曲線的定位是了解，但并不代表不考.本題并不超綱，因為代數化思想就是解析幾何這一學科的核心思想，坐標化表示幾何問題，用斜率關系表達角度關系的轉化就是解決問題的關鍵，一是我們應該淡化技巧，賦予數學運算以合理優化之生命，提升數學思維的活力；二是在幾何和代數雙重視角下看“圓錐曲線”，數形結合，多管齊下；三是觀念轉變，圓錐曲線作為高考的主干內容，它的考查注定是靈活的、綜合的，這就意味著我們不可能看過一切結論，也不可能依靠題海戰術窮盡一切題型，只有把握它的本質，深入進行剖析，在扎實的理解算理和解題工具的基礎上，提升運算素養，用有限的數學思想方法去應對無窮的題目，才能以不變應萬變！

1.解答題順序發生調整

本次考試17題數列難度起點較大，18題解三角形,19題概率統計難度下降回歸傳統，20題立體幾何,21題圓錐曲線,22題導數，接連三個壓軸大題，難度上升，對解答題大家的反應比較大，談得比較多的是17題難度大的放在前面了；立體幾何不是想象的那種，解析幾何考查的是雙曲線.其實這種跡象早有預兆，因為19年高考已經有了這樣變革，心理已經有了預期，是可以接受的.要打破對六個解答題的出題位置、難度、綜合程度的固定的傳統的看法，不再區分保分和壓軸，命題人通過調整難度比例和組合順序，可以達到任何位置、任何模塊都足以壓軸的目標.但關鍵看專家想怎么考查，專家賦予本模塊什么樣的測評價值，專家認為學生對于這個模塊的學習必須掌握到什么層次，以及該模塊在整個試卷的比重.可見，切忌押順序押難度，正確全面對待每一個模塊復習.

2.解答題專題載體發生變化

本次考試17題數列，以構造性問題為載體；20題立體幾何，以探究性問題為載體；21題解析，以雙曲線為載體；12，22題以導數，指數、三角為載體.不為表面現象所羈絆，核心觀念是關鍵.后面這三個題目釋放了較強的反套路反押題信號，只要高中學過的，能用高中方法解決的都可能考查，是對高三備考盲目化、套路化、學生思維水平較低的局面的沖擊.可見，切忌押內容押套路，高觀點從數學的角度引領備考.難度上輪換模塊出題，有意識地進行循環和利用周測細目表滾動順序，讓學生更加適應，解決學生畏難心理.

3.解答題區分合理呈梯度

解答題20題，用具體的正四面體舉例將概念具體化，通過第一小問的搭建層層遞進，由易到難，考查探索和換序重組求和.這題啟示我們在探究能力和創新能力的培養上，不能太急功近利.教師以基礎知識為載體的訓練，目的在于培養學生的數學思維方式.應該是用四基四能的逐步夯實引發數學核心素養的提升，這才是根本路徑.而探究能力的培養同樣如此，本應該讓學生經歷的過程、自主探究出來的結論、探索出來的火花、暴露出來的問題，現在直接包辦被二級結論、套路所替代，且造成了對老師的依賴，無法達到訓練思維的效果，自然探究能力達不到要求.所以探究性能力的培養不能急功近利.實施探究案例的教學還要加強研究.

解答題22題，證明恒成立.指數函數結合兩個三角函數，考查學生整體構造、合理放縮兩大解題利器的理解運用.第一問考查學生如何優化解題結構、為何分段、怎么分段.充分運用三角函數有界性，選取證明方向，接下來第二段從導數突破，先看符號能否確定，若不能，再看單調性情況，推出導數的符號，再來得到函數的單調性和值域.分段的方法各有不同，言之有理即可；第二問有層次、有深度、有內涵，求的是a的值，兩種途徑，一種分類討論，做出正確結果，另一種必要性探路，結合充分性證明，環環相扣，邏輯清晰.復雜在結構，突破在三角.需要培養學生具有較強的抽象概括、推理論證以及分析問題、解決問題能力.

通過這三個導數問題的演變可以發現，函數更加簡單，由函數有參變為無參問題，本質都是函數最基本研究的方法.對高考研究分類不再是知識載體分類，而應該按照能力和思維方式分類.

我們要培養有數學靈魂的人，決定勝負的不在于題目的數量，而在于題目的質量和處理題目的水平，題不在多，有方法就行；題不在難，有思想就行.即使以后出現沒學過的任意的一個曲線都可以研究，對高考題的研究不再是統計知識的載體模塊，而應該分析處理問題的關鍵概念和學科理念.

綜上發現，越是難題新題，越回歸基礎，大道至簡，于平凡中見真功夫.在試題命題上注重解題思路起點低，入口寬，更加強調“通性通法”在解題中的運用，要求考生利用模塊基本數學思想方法尋找解題思路，無論外化的載體是什么，其核心觀念不變.

四、備考建議

2020年高考和八省聯考給教學帶來的不僅僅是題型改變，更重要的是理念全面革新，倡導以學生為主體，以問題為主軸，以能力提升為抓手，以素養提升為主線這樣的育人觀念，這在2020年高考已經逐步體現出來，這次考試也是對這一理念的繼續貫徹落實和加深，堅定了我們復習備考的決心，就是思維引領課堂教學，學生思維點的生成，讓學生自發思考和創新.

傳統高三備考的套路和刷題正在與高考背馳，以往的機械模擬、盲目模仿將風光不再.這是對傳統高考備考做法的提前預警，說明國家正在大刀闊斧地改變目前題海式的高考備考狀況.新高考更注重考查考生的能力和其自身的綜合素養.只要是課標要求的，都在考查范圍之內.對學校來說，面對新高考，落實課程標準要求將是唯一正確的路徑.

1.重視四基，需將基礎夯實到位

復習中要安排回顧概念，緊扣教材，深挖概念的工作.保證學生并要求學生完全掌握，是什么就是什么，一清二楚，不存疑慮，應用準確.集合包含子集、極值點和最值、復合函數單調性、抽象函數定義域、概率統計模塊的均值、方差、隨機變量、超幾何分布、二項分布、條件概率、貝葉斯公式、獨立對立互斥、相關指數與相關系數、隨機數模擬、K2統計意義、立體幾何的截面、向量中的模和零向量、共軛復數和模.概念源自教材，復習過程中要回歸教材.

2.重視四能，需將方法掌握到位

高考命題更加重視本原本法，強調概念和問題解決于本來面目，突出重點，狠抓通性通法，不斷提高思維品質，也就抓住了高效復習的關鍵點.數學思想方法的領會和掌握與數學核心素養的形成有緊密的聯系，數學抽象、數學推理、數學建模是數學核心素養的三個重要方面，而這三個方面同時又是數學三大基本思想.掌握了數學思想方法，并能自覺運用其解決數學問題，成為一種習慣，內化為個人知識結構的一部分，就成為了個人數學素養的一個有機組成部分.變化的題目在于其創新度，背景材料和設問角度有微型突破，但都可以通過自主分析用高中所學的知識進行解決，對主干知識的考查標新而不立異，對生活熱點和數學文化的考查交叉但不過度.學生三觀正、腦子活、方法多、重思維、能夠在具體情境下提取出數學問題，進而從數學角度分析和解決.

3.重視理解，需將過程體驗到位

教師要將學生歸于中位.無論是對四基能力，還是思維、應用意識和創新意識的考查，都是在解決問題中考查的.這就需要學生具有限時訓練下的理性分析能力、獨立解決問題能力、快速檢索大腦認知中與題目關鍵線索高度符合的經驗鏈條能力、選擇簡便解題方法的辨別能力，邏輯嚴謹的表達能力，一切都靠自己，也只有自己，分析、判斷、選擇、更正、突圍、調整、確認、實施、反檢.這些能力都需要在解題過程中去學習、訓練、鞏固和提升，在教師的引導下進行自我反思感悟，學生要有自己的認識和理解.而我們要在考試中展示這些素養和良好心態、不屈不撓的品質，教學要將這樣的機會還給學生，讓學生每天都經歷這樣的過程，這就要真正落實“學生中心”，促進探究課案例的教學水平.

4.把思維教學歸于本位

基礎的極致是思維，回到母題、追根溯源、站在出題人角度來理解.課堂教學要關注思維的共性，提升思維能力，不在于數量，在于通過解題的思維活動去不斷概括思維的方法，將思維的共性東西內化到自己的思維模式之中；要跳出講題模式，要放在具體解法上、規范上、思維上是否師生一致，但更要分析題目背景的呈現，對題目深意進行深入理解和分析，對解決問題思維方法的選擇判斷進行解讀，對學生非標準答案的合理性分析要到位，要講出解決問題的思維過程.