能得見計算的拼圖

陳凱

“計算”一詞在不同語境下有不同的含義，即便是將范圍嚴格限定于“用機器進行自動計算”這樣狹窄的場景之中，其含義也是豐富多彩、變化多樣的。考慮這樣一個簡單的需求，計算第一項為1，且第二項為1的斐波那契數(shù)列第n項的值，如用戶輸入的是數(shù)字6，而機器給出的是對應(yīng)的第6項斐波那契數(shù)列的值8，顯然，機器的確進行了計算，可要是深究其“計算”的含義，卻有如下不同。例如，機器可能只是預存了整個斐波那契數(shù)列，對于輸入的n，它實施了一個查找數(shù)據(jù)的工作。考慮人類在做8加7得15，或做8乘以7得56的計算的時候，人的頭腦事實上所做的也是這種查找數(shù)據(jù)的工作，毫無疑問這是一種計算，然而對于這個計算機器的使用者來說，它是如何查找和匹配數(shù)據(jù)的，其過程是一個黑盒，是不可見的。又如，機器可能是根據(jù)斐波那契數(shù)列的通項公式來進行計算的，而通項公式的由來，是經(jīng)由觀察、歸納、假設(shè)、證明、演繹等一系列數(shù)學工作的結(jié)果，在具體使用通項公式時，數(shù)學計算本身仍然是一個黑盒，使用者還是不知道，機器是如何實現(xiàn)對5開方等一系列具體計算步驟的。再如，機器可能是通過一個循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序來實現(xiàn)計算的，它首先計算了第一項和第二項的和，并將計算結(jié)果賦予第三項，然后再計算第二項和第三項的和，再將計算結(jié)果賦予第四項，在這個過程中，除了具體的加法計算過程是黑盒，循環(huán)結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)本身也是一種黑盒，顯然，對于程序的編寫者來說，他不知道循環(huán)語句和結(jié)構(gòu)何以能發(fā)揮作用，他只是借助這些語句和算法結(jié)構(gòu)發(fā)揮了作用而已。在上述所有的例子中，對于使用計算機器的人而言，“計算”要么是全部不可見的，要么是局部不可見的。

當然，無論是為了教學，還是為了某個實際的用途，將計算機器所有的計算過程都展現(xiàn)出來，是不現(xiàn)實的，也是不必要的。例如，在用循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序計算某個斐波那契數(shù)列項的時候，人們的頭腦尚能跟蹤高級語言環(huán)境中，每個變量或數(shù)組變量中值的變化，但若要在寄存器的級別上，跟蹤用以實現(xiàn)循環(huán)和賦值操作的每個電信號的變化，就是相當困難的事了，更何況，求得斐波那契數(shù)列項的值只是一個很簡單的程序。若要使得解決某個具體任務(wù)的整個計算過程清晰可見，不可避免要做到以下步驟：首先，需要知道編譯程序是如何將這個高級語言程序代碼轉(zhuǎn)化成二進制機器語言的;接著，跟蹤這個二進制機器語言的執(zhí)行過程，繼續(xù)往下深入，跟蹤普林斯頓結(jié)構(gòu)或其他結(jié)構(gòu)的計算機器中的各個部件是如何協(xié)調(diào)工作，執(zhí)行這些可實現(xiàn)循環(huán)功能的機器代碼的;然后在更底層，了解數(shù)字電路是如何實現(xiàn)邏輯運算和數(shù)學運算的……如果能將整個藍圖展現(xiàn)出來，計算便是可見的，但顯然，即便是將很簡單的高級語言程序按上述過程全部展開，其規(guī)模也龐大到讓人的頭腦無法進行跟蹤，所以就結(jié)果而言，計算過程仍然是部分不可見的。

在工業(yè)設(shè)計上，人們采用的是模塊化和層層封裝的方式，來構(gòu)造具有特定功能的計算機器。但在教學上，人們面對的是盒子里套盒子層層疊疊一時無法窮盡到底層的窘境。然而，為了理解某個問題，人的頭腦并不需要真的像機器那樣，去跟蹤所有的電信號或機械狀態(tài)的變化。因為從直觀上說，當人們發(fā)現(xiàn)一個小型的系統(tǒng)是以某種模式進行計算的之后，就能直觀推斷，一個以類似結(jié)構(gòu)搭建的更大型的系統(tǒng)，也應(yīng)該能以同樣的模式進行更大規(guī)模的計算。舉例說，計算28加7，人的思維過程是從記憶里找出8加7所對應(yīng)的15，然后低位寫5，高位進1，很容易判斷，對于更大的數(shù)字，如280+70，采用的方法也是類似的，這其實就是一種模式的識別和匹配。人的頭腦能夠直觀地認識到，一個較小數(shù)字的可行的計算模式，是可以套用到更大數(shù)字上的（這里暫不討論用小規(guī)模的計算系統(tǒng)實現(xiàn)普適計算的問題，因為那涉及用一種計算模型去模擬另一種計算模型的問題）。要想讓學生理解計算之所以可行，就需要通過一個小型的計算系統(tǒng)的運作過程，建立起關(guān)于“計算”的直觀概念。

因此，當前的任務(wù)，就是找到一個可以進行計算的小型系統(tǒng)。這個系統(tǒng)需要滿足以下特征：一、能演示自動化的工作流程，或者稍加改造就能演示自動化的工作流程;二、運行過程能體現(xiàn)出計算思維的特征，如抽象化、形式化、模塊化等思想;三、運作過程是完全可見的;四、能完成某個具體任務(wù)，并且，從直觀上看，它具有經(jīng)由改造后完成其他任務(wù)的潛力;五、考慮到教學資源、課時等因素，對其的講解和操作不需要依賴太多其他專業(yè)方面的知識。為了滿足以上五點要求，可供選擇的小型的計算系統(tǒng)范圍被大大縮小。雖然說一個小型的電子電路系統(tǒng)基本上也能契合上述大部分要求，但以信息技術(shù)學科“過程與控制”模塊中有限的電子電路內(nèi)容看，是難以用來展現(xiàn)稍微復雜一些的具有計算思維特征的運作過程（如迭代、遞歸等）的。圖靈機雖然極為符合以上一到四點的要求，但若要讓學生們對其工作過程真正理解，需要耗費較多時間進行講解和操作訓練。

這就促使筆者設(shè)計出一種拼圖游戲來充當這樣一個小型的計算系統(tǒng)。游戲有很多種變化形式，下面是一個可計算斐波那契數(shù)列項的拼圖游戲，拼圖是一些不同長度的條狀紙片，紙片上分出格子并按自然數(shù)順序標上數(shù)字。每個拼圖就好像太空站一樣，在最大數(shù)字的格子的下方兩個格子上各留出了兩個對接接口，用于拼接那些最大數(shù)字和格子號碼相同的拼圖。拼圖的最大數(shù)字是n，則接口的位置在n-1和n-2處。例如，對有6個格子的拼圖，接口位置在5號格子和4號格子的位置，5號格子可以拼5個格子的拼圖，4號格子可以拼4個格子的拼圖。如果按這樣的模式匹配，則計算過程一直能進行下去，直到所有的“空間艙”都無法滿足繼續(xù)拼接的要求，也就是說，不再能找到可匹配的模式，計算過程自然而然就停止了。顯然，拼接工作終止于最大數(shù)字是2或者1的拼圖。圖1顯示了拼圖的第一步，圖2顯示了完成后的整個拼圖。

當每次使用到最大數(shù)字是2或是1的拼圖時，可以用作標記的方法計數(shù)一次，可以看到，如果最初使用的拼圖的最大數(shù)字是6，則整個拼圖完成后，計數(shù)值是8。這其實就是計算了第6項的斐波那契數(shù)列的值為8。整個過程對應(yīng)用遞歸的方法來計算斐波那契數(shù)列的過程：為了計算第n項的斐波那契數(shù)列的值，則需要先計算第n-1項和第n-2項的斐波那契數(shù)列的值，此過程一直持續(xù)下去直到遇見第二項和第一項的斐波那契數(shù)列的值為1。可以看出，拼圖游戲能體現(xiàn)出解決具體問題中計算思維的特征，整個運作過程是完全可見的，拼接過程中并不涉及其他專業(yè)知識。雖然說拼圖過程并不是全自動化進行的，但一旦規(guī)則設(shè)定好，即便是手工操作，其結(jié)果也是必然的。這里可以鼓勵學生對拼圖進行改進，如留出特定寬度的拼接凹凸接口，這樣，即便不對照數(shù)字的大小，也能將拼接過程進行下去。

拼圖游戲的一個很重要的優(yōu)勢是，拼接規(guī)則是可以方便地進行擴充和改造的。不妨思考這樣的問題，如果設(shè)計一臺計算機器，那么它將如何自動完成圖形的拼接，并由此實現(xiàn)斐波那契數(shù)列項的計算？關(guān)于自動機器實現(xiàn)拼接過程中可能遇到的麻煩，以及如何使得自動拼接成為可能，可以開展一次頭腦風暴活動。關(guān)于機器實現(xiàn)自動拼接中的困難，這里試舉一項：計算機中比較容易實現(xiàn)的數(shù)據(jù)存儲方式，是一系列前后相鄰的存儲單元，于是就產(chǎn)生出問題，即二維空間上的拼圖，如何轉(zhuǎn)化為一維的數(shù)據(jù)存儲方式。

顯然，在一維的數(shù)據(jù)存儲空間中，拼接過程要通過符號模擬來達成。具體方案很多，如用“#”代表拼圖，“*”代表等待拼接，“^”代表拼接完成，一種可能的操作規(guī)則和操作過程如下表所示。

下表表示了6個格子的拼圖拼接上5個格子和4個格子的拼圖的過程，每次拼接完成后，“*”變?yōu)椤癪”符號，表示處理完成。整個拼接過程中，總是按遇見n個格子則在最后拼接n-1個格子和n-2個格子的規(guī)則進行，如果遇見的是2個格子和1個格子的拼圖，則只是簡單拼接上和自己相同數(shù)量的格子的拼圖（為了簡化問題，這個匹配過程沒有考慮停機問題，可以引入新的符號來實現(xiàn)停機的匹配規(guī)則），整個變化過程用字符串描述如圖3所示。

第9步之后，拼圖中“*”的數(shù)量不會再發(fā)生變化，而“*”的個數(shù)則對應(yīng)著相應(yīng)第6項斐波那契數(shù)列的值。并且，還能有辦法看出不同拼圖之間的關(guān)系：第1塊拼圖拼接的是第2和第3塊，第2塊拼接的是第4和第5塊，第3塊拼接的是第6和第7塊，以此類推。當然，這樣的表示方法很不直觀，如果以樹的形狀將拼圖之間的關(guān)系呈現(xiàn)出來，則要清晰得多，圖4是第4步拼接操作完成時所顯示出的拼圖之間的關(guān)系。于是這里又引出了新的問題，如何能更合理地借助一維的存儲空間，使得機器能方便地識別出拼圖之間的關(guān)系，同時，也能讓人更容易將存儲空間里的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成人更能理解的圖示？這就很自然地從如何實現(xiàn)自動計算的問題，指向了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的研究。

至此我們可以看出，借助拼圖游戲，不僅使得計算的過程變成可見的，而且也使得自動計算中，解決問題的思維方式成為可見的。關(guān)于如何使計算過程可見，進而如何使計算思維可見，方法必然有很多種，本文權(quán)當拋轉(zhuǎn)引玉，希望能激發(fā)出大家的思考欲望。