凸顯數學本質：構建具有深度學習特質的數學課堂

黃麗冷

【摘要】找準認知起點，激活已有經驗，是深度學習的關鍵;直逼數學本質，親歷知識的形成過程，是深度學習的核心;注重數學思考，觸動思維內核，是深度學習的歸宿。教學中，教師要基于學生原有的認知起點，緊扣知識本質，激活數學思維，發展核心素養，使學習向深處漫溯，構建具有深度學習特質的數學課堂。

【關鍵詞】認知起點;數學本質;數學思考;深度學習;數學課堂

小學數學深度學習是以數學學科的核心內容為載體，以提升學生的學科素養為目的，把握數學本質，通過精心設計問題情境，引發學生認知沖突，組織學生全身心參與學習活動，圍繞具有挑戰性的學習主題進行深度探究，從而使學生獲得成功體驗和發展的有意義的學習過程。因此，在教學中，教師要堅持以“學為中心”的理念，尊重學生已有的認知經驗，凸顯數學本質，挖掘、拓寬學生思維的深度與廣度，培育數學核心素養，才能構建具有深度學習特質的數學課堂。

一、探尋認知起點，觸摸數學本質

奧蘇伯爾認為：“影響學習最重要的因素是已知的內容和已有的認知結構。”教學中，教師要立足學情，探尋學生的認知起點，使學生的學習落在支撐點上，讓深度學習有著力點，基于原有的認知起點，以其所知，喻其不知，憤悱求知，新知自然生成。

師：這個長方形的面積是多少？（如圖1）你是怎么想的？

生1：這個長方形的面積是6cm2。我是這樣想的，這個長方形的長是3cm，寬是2cm，長方形的面積等于長乘寬，所以面積是3×2=6cm2。

師：為什么長方形的面積等于長乘寬？誰會講道理？

生2：這個長方形有2行，每行有3個方格。3×2=6，面積就是6cm2。

師：每個方格就是一個單位面積。計算長方形的面積就是算一算它一共有多少個單位面積。長看的是什么？寬看的又是什么？

生2：長看的是每行有幾個單位面積，寬看的是有幾行。每行個數乘以行數，一共有幾個單位面積，面積就是多少。

長方形面積知識是平行四邊形面積知識的生長點。通過對長方形面積推導過程的回顧，調動學生原有認知，喚起學生對面積本質的回憶，理解面積是通過計數單位面積數來刻畫的。長方形的面積就是用每行單位面積數乘行數來計算的，對應的就是長和寬這兩個維度的量，聚焦度量本質，喚醒學生對“長”和“寬”的深度理解，觸摸數學本質。

二、親歷整體架構，直擊數學本質

新課標指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。教師在課堂教學實踐中應創設開放式的探究空間，引領學生深度探究學習，深入思辨，通過辨析、溝通、建立聯系，直擊數學本質，摒棄非本質的干擾，親歷知識的整體建構與形成過程。

探究活動一：這個平行四邊形的面積是多少？（如圖2）在方格圖中數一數，并把數的過程在圖上表示出來，讓大家能看明白你是怎么數的。

生1：我是先數中間整格的，有4格，再把不是整格的移過來數一數（上下移），有2個。合起來一共有6格，就是6cm2。

生2：我把不滿一格的移成整格后，有2行，每行有3個方格，面積是3×2=6cm2。

生3：每行有3格，也就是每行有3個單位面積，有2行，用每行的個數乘行數，一共有6個單位面積，平行四邊形的面積就有6cm2。

生4：我有疑問。這樣一移，形狀變了，數出來的面積和原來的平行四邊形的面積一樣嗎？

生3：雖然移動了，但是所占的格子的總數是不變的，所以數出來的面積和原來平行四邊形的面積是一樣的。

生4：我明白了，用湊整的方法，把不滿整格的部分平移湊成整格來數，一共有幾個單位面積，面積就有多少。

探究活動二：這個平行四邊形的面積是多少？（如圖3）在方格圖上數一數，并把數的過程在圖上表示出來，讓大家能看明白你是怎么數的。

生1：我先把不滿整格的部分，平移湊成整格（左右移）。移動3次后，每行有4個方格，有3行。面積是就是4×3=12cm2。

生2：我有補充，我直接從左邊分出一個三角形，然后整個三角形平移，拼在圖形右邊，變成一個長方形，每行有4個方格，有3行，面積是4×3=12cm2。

生3：第一種方法得移動3次，第二種方法直接把左邊多出來的這個三角形，平移補到圖形右邊，只要移動一次，更簡潔。

生4：第二種方法把左邊的三角形移動到右邊后，變成了長方形。每行有4個方格，有3行，面積是4×3=12cm2。可以直接根據長方形的面積公式來計算。

探究活動三：這個平行四邊形的面積是多少？（如圖4）

師：現在不動手移了，能不能告訴大家，這個平行四邊形有幾個單位面積？小組同學說說自己的想法。

生1：這個平行四邊形有20個單位面積，面積是20cm2。

生2：這個平行四邊形一行有5個單位面積，有4行。5×4=20cm2。

生3：我發現平行四邊形的面積和長方形的面積一樣，也是用每行單位面積的個數乘行數來計算的。

師：一行有幾個看哪里？有幾行又是看哪里？

生2：一行有幾個看的是底，有幾行看的是高。

生3：每行單位面積的個數看的就是平行四邊形的底，行數看的就是平行四邊形的高，平行四邊形的面積等于底乘高。

生4：為什么幾行看的是這條（高），而不看這條（鄰邊）？

生2：這條（指著鄰邊）移過去了，看不到了。

生3：鄰邊移過去后，鄰邊藏起來了，而高露出來了。

師：同學們眼睛里看到的是平行四邊形，腦子里想的卻是長方形。這樣的方法在數學上稱為“轉化法”。

“數方格”是測量本質的直觀體現。活動一，從“數方格”切入，緊扣面積本質。學生在數方格的過程中，本能地把不是整格的部分移補成整格來計數，在移補和計數方格的過程中滲透轉化法，深刻體會了“等積變形”。活動二，關注知識本質，優化解決方法。在不同方法的對比中，體會移補、轉化成長方形的優勢，溝通兩種圖形面積之間的本質聯系，繼續滲透測量本質和轉化法，為平行四邊形面積公式的推導埋下伏筆。活動三，脫離實物操作，發展空間想象。“眼睛里看到的是平行四邊形，腦子里想的卻是長方形”“鄰邊移過去后，鄰邊藏起來了，而高露出來了”“平行四邊形面積等于底乘高”的道理也就躍然紙上了。

“水嘗無華，相蕩乃成漣漪;石本無火，相擊而發靈光。”基于“數方格”與“轉化法”之間的聯系，學生由“動手移”到“動腦移”，由“數方格”到“看長度”直接計算，由具體操作到抽象感知，既積累了數學活動經驗，又發展了數學思維能力和空間想象能力，親身經歷了知識的整體架構，知識的本質深深烙進心里。

三、基于深度學習，內化數學本質

深度學習是一種基于理解的學習，是一種進行深入思考和深入探究的學習，它不僅關注學生學習的結果，而且重視學生的學習狀態和學習過程。圍繞具有挑戰性的、觸及數學本質的學習主題，能夠有效快速地激活學生的數學思考，觸動學生思維內核，真正實現認知上的超越，深化學生對數學本質的理解，使學習向深處漫溯。

（一）緊扣本質，突破盲點

師：這個平行四邊形停車位的面積是多少？

生1：5×2.4=12（平方米）。

生2：3×2.4=7.2（平方米）。

生1：3×2.4是錯誤的，因為3米和2.4米不對應。

生1：（上臺邊畫圖邊解釋）把左邊的三角形平移到右邊后，得到的長方形長5米，寬2.4米，所以停車位的面積應該是5×2.4=12（平方米）。

生2：如果要用3米的底來計算，怎么辦？

生1：如果要用3米的底來計算，那得測量出3米這條底邊上的高。（課件順勢出示另一組對邊上的高4米。）

生1：現在計算平行四邊形的面積也可以用3×4=12（平方米），兩種計算方法結果相同。

師：關于平行四邊形面積的計算，你要提醒大家注意什么？

生1：計算平行四邊形的面積，必須用對應的底乘高。

心理學家赫茨伯格認為：“有挑戰性的素材能更好地激勵學生學習，能給學生帶來樂趣。”教師以停車位為載體，給出多余條件，選擇合適數據，強化對應關系，有效突破“對應的底和高相乘”這個認知難點和易錯點，同時創設了靜下心來反思的時間和空間，深化了學生對知識本質的理解。

（二）深入本質，走出誤區

師：（幾何畫板演示將長方形框架拉動成平行四邊形的過程）你有什么發現？

生1：拉動長方形框架后變成了平行四邊形，越往下拉，這個平行四邊形越扁。

生2：平行四邊形變扁了，面積變小了。

生3：平行四邊形變扁了，也就是高變矮了。

生4：拉動過程中，底都不變，也就是每行的單位面積的個數不變，但高變矮了，也就是行數變少了，所以面積變小了。

生5：拉動長方形框架后，面積變小的原因在于高變矮了。

生6：拉動框架后，底邊和鄰邊不變，面積卻變小了，這也說明了平行四邊形的面積不能用底邊乘鄰邊。

弗賴登塔爾認為：“反思是數學思維活動的核心和動力。”教師借助長方形框架，引導學生深度思考辨析，深入說理表達，進一步理解平行四邊形的面積不能用鄰邊相乘的道理，內化知識本質，實現知識的深度建構。

凸顯數學本質是在新知生成和數學學習的基礎上進行數學思想方法的滲透，并在教學實踐中通過找準學生的認知起點，打破原有的認知結構，溝通知識的內在聯系的策略，深化學生對數學本質意義的理解，掌握重要的思想方法，提升數學的核心素養，使學生數學學習走向深度，向更深處、更遠處漫溯，從而構建起具有深度學習特質的數學課堂。

【參考文獻】

俞正強.種子課[M].北京：教育科學出版社，2013.