小學生度量思維的本質、表現與認知基礎

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

數學教育中常說的“度量”與著名歷史事件——“統一度量衡”中的“度（dù）”“量（liànɡ）”二字以及人們在日常生活中所說的“測量”，既有聯系又有區別。這里的度、量、衡分別指測量物體長度、容積、輕重三個方面屬性的工具（標準）。測量主要指量的活動及過程。當下數學教育所說的“度量”（讀作“duó liánɡ”）更能反映這個詞匯的真正內涵：對事物某種屬性進行比較與量化表達的學問。這個詞強調通過測量或計算活動，不但能獲知“量的大小（結果）”，更要理解“如何確定合適的測量單位或標準”。基于此，學生在測量過程中感悟數學思想方法、領悟數學原理的思考過程，就稱為度量思維。

那么，度量思維的本質是什么？小學生的度量思維有哪些行為表現？度量的核心概念是“計量單位”，小學階段所學“計量單位”的邏輯結構、邏輯起點是什么，是否有不同的進階？為了回答這些問題，我們需要對“度量”一詞追根溯源，分析課程標準要求并研究學生學習度量領域內容時的難點與思維路徑。

一、度量思維的本質是確定測量單位與標準

從發生學角度看，度量源于比較，即事物某種可測屬性與事先確定的單位或標準進行比較。被測量的事物里面包含的“單位”個數就是測量值。基于此，度量思維的本質是確定測量單位與評價標準。從語義學角度看，“度”的數學意義大于“量”的數學意義，即“度”蘊含著豐富的數學思想，“量”主要指測量的活動，是操作層面的內容。

1.追溯“度”的內涵演變，明晰度量思維的本質

通過查閱古漢語字典、現代漢語詞典可知：“度（dù）”作為名詞，其本義是“伸張兩臂量的長短”，其長度叫作“一庹”。度也是尺丈的總稱，即用來“齊物之短長”的工具，也被引申為“經過商談后所得到的‘標準”。度（duó）作為動詞，本義指用“庹”測量的過程，又進一步引申為“研討、商量‘標準的過程”，例如謀度、揣度。

因此，數學教育中的“度量”一詞應該讀作“duó liánɡ”而不是“dù liánɡ”（量，作為動詞讀作“liánɡ”，作為名詞讀作“liànɡ”），與“度量衡”中的“度量”含義不同、讀法也不同。度量思維的本質是“經過商量，確定‘標準”的過程，這是針對可度量的屬性而言。例如，面積的大小、聲音的強弱、跑得快慢、視力的好壞等。任何一個待測量的量一定與一個確定的數（測量值）具備一一對應關系。

日常生活中，事物的某些屬性不能被確定測量單位或標準，也就是說，不是任何屬性都可度量。也有能夠找到“標準”而不能用數值來表示“測量值”的事物，例如衡量軍階大小的上將、中將、少將、大校等。

2.人文科學中很多事物的屬性不可度量

一般說來，自然科學領域的事物屬性是可測量、可評價的。例如，人的視力是可度量的，是否近視、遠視有相應的標準。然而，人文科學領域中的事物屬性幾乎都不好確定測量單位與衡量標準。例如，人的責任心、愛、忠誠、胸懷等屬性，難以確定其測量單位或標準，是不可度量的。正如英國開爾文爵士所說：假如你能測量你所說的事物，并且把它用數值表示出來，那么你已了解該事物;假如你不能把該事物用數值表示，即表示你對該事物并不太了解，不管事物是什么，在思想上你已無法走上科學舞臺。有了度量，這個世界才可被精確表達、被結構化（例如坐標系思想）。

二、小學生度量思維的行為表現及水平

小學生的度量思維主要體現在以下三個方面。

1.判斷事物的某種屬性是否可測量

從理論上看，度量思維首先應該體現在能夠判斷事物的哪些屬性可度，哪些不可度，即是否有明確的測量單位或標準。這個問題過于深奧，是評判科學與非科學的一個指標，屬于哲學層面的問題，不適合小學生尤其是低年級學生思考。如果學生到了高年級，尤其是學完所有關于量的內容之后，教師可以引導學生思考這個問題。例如，俞正強老師在執教六年級數學拓展課“度量天下”時，學生問“什么都可測量嗎”，有一名學生說“我媽媽說，人心不可測”，由此引發學生進一步思考并舉出現實生活中很多“不可測”的事物。思考可測與不可測問題是度量思維的最高級表現。

2.感悟測量單位的多樣化與統一性

度量思維第二個方面的表現是商量并確定測量單位或評價標準的過程與創造、靈活選擇測量工具進行測量。體驗測量單位的多樣性、統一性以及靈活選擇合適的單位解決問題是度量思維的高階表現。從歷史上看，測量物體的長度時，可以自創單位;為了便于溝通交流，才定義標準單位——米;為了提升測量精度以及方便表達，人們又創造了厘米、分米、毫米及千米等單位。

值得注意的是，學生已經知道了測量長度的工具——各種尺子，以及國際標準單位——米、厘米等。那么，教學長度單元的第一課時，是否需要刻意讓學生自創單位來量一量課桌有多長、教室有多長呢？筆者認為，第一課時不適合開展用自創測量單位進行測量的活動，而應該尊重學生的已有經驗，教學認識直尺（認識厘米）并用直尺測量的內容。用身體上的尺子（如庹、拃、咫尺、步等）或自創其他單位測量物品長度的內容應該在拓展課上進行教學，引導學生根據測量需要靈活選擇測量單位或標準。這樣設計有助于提升學生的度量思維水平。

3.如何數、測或算出測量單位的個數

度量思維第三個方面的表現是如何數、測或算出測量單位的個數，能夠評判數、測、算這三種方法的同與異，并根據現實需要靈活選擇某種方法。后兩者也是度量思維的高階表現。例如，學生能判斷有的問題用估測、估算即可解決，無需求出精確結果;會從數數、用工具測量或用公式計算中選擇合適的方法、利用合適的單位獲得測量值，以解決問題。

事實上，度量思維的每個方面的表現都有不同的層次水平，教學中不要求所有學生都達到“最高水平”。但由于義務教育課程標準沒有清晰界定各層次水平的表現以及達到哪個水平算合格，即沒有學習質量的評價標準;此外，各地區考試內容的難度系數與水平要求也不同。這兩方面原因使教師的教學都是按照“最高標準”定位目標，導致學與教的負擔加重。

三、小學階段的量的類別、結構及認知基礎

“常見的量”與“測量”是培養小學生度量思維的重要載體。課程標準對這些量的學習要求不同，其所承載的培養學生度量思維的價值也不同。

1.小學階段的量的類別

小學階段所涉及的量主要有三類：第一類是課程標準中所稱的“常見的量（人民幣、時間、質量）”。學習這個內容時，度量思維主要體現在第三個方面——如何數、測或算出測量單位的個數。比如，“時間”這個量的教學，課程標準只要求認識時間單位、掌握單位之間的進率關系和簡單換算，并不需要學生討論、商量時間單位的問題。

第二類是五種常用、常見的幾何量，包括長度、面積、體積、容積、角度。度量思維的第二個、第三個方面的表現在這五種量的學習中都有相應要求。這五種幾何量的度量結構相似，均以長度為基礎。學習與對比分析這五種量的相同與不同都是培養學生度量思維的重要載體。

第三類是“導出的”量，例如密度、速度、單價、工效、濃度等。學習這類量時不強調培養學生的度量思維，重在掌握“三個量”之間的數量關系，以解決實際問題。

2.五種常見幾何量的度量結構

小學階段主要通過學習常見的幾何量培養學生的度量思維。這類量的度量結構基本相同，如下圖所示。

在小學階段不討論長度、面積、體積等是否可測，而是默認其可測。所以這些量都有計量單位，并且計量單位可以根據需要自定。為了表達與交流，需要創造標準的計量單位;為了表達方便、測量更準，需要創造更大或更小的單位。這促使標準單位體系的形成，以滿足人們傳播和交流度量結果的實際需求。

獲知量的大小有四種方法：數計量單位的個數、用工具測量、用公式計算，以及將不規則物體轉化為規則的可測量物體。通常我們所測量的都是連續的量，在測量過程中為了使測量結果更精準，需要不斷地用更小的單位（將較大單位平均分成若干份以獲得更小的測量單位）來測量，因此，沒有最小的計量單位。基于此，度量的結果理應用分數表示，但由于分數既不是十進制的、也不是位值制的，不便于比較大小和計算，所以現實生活中我們基本都用有限小數表示測量結果。

3.長度是形成度量思維的認知基礎

對多少的感知和對距離遠近的感知這兩種本能，是人能夠度量的認知基礎。也就是說，對“長度”的抽象與想象，即對一維空間的度量是形成度量思維的前提和基礎。

度量物體的長度是建立前述度量結構的基礎，是培養學生度量思維的源頭。長度度量單位的產生和發展經歷了漫長的時間，承載著度量單位由多元到統一、由粗略（自創單位）到精細（國際通用單位）的發展過程。求長度的方法主要是數單位個數與用尺子測量，沒有計算公式。在長度的基礎上“定義”面積、體積單位，這樣在學習面積、體積內容時，就不需要讓學生經歷由“不統一單位”到“統一單位”的過程，直接用公式計算圖形的面積、體積最方便快捷。

學習度量具有重要的現實意義和數學意義，有助于培養學生的創新意識和能力。例如，學生可以自制測量面積的工具，感悟面積計算公式與自創測量工具之間的本質聯系，體會現實生活中沒有測量面積的工具的合理性等。正如史寧中教授所說：度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具。大數學家龐加萊也有過類似的論述：如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。因此，培養學生的度量思維非常重要。

責任編輯? 劉佳