重在直觀，貴在通法

李秀娟

【摘要】本文通過一則案例解讀初中數學學習中的通法，并借助表格，幫助學生分析數據，找出數量關系，從而列出方程并解決問題.實現教學過程中教師“授之以漁”，學生領悟方法，融會貫通的目的.

【關鍵詞】通法;表格;一元二次方程;課程目標;利潤問題

在輔導學困生學習的過程中，我發現在他們身上存在一個普遍的問題——數學方法理解不透.看到一道題，通讀后沒有思路，便要放棄或去尋找答案.尋找問題的本質，劃歸為一，這就是數學解題中的通法.

以北師大版九年級上冊第二單元“應用一元二次方程解決利潤問題”為例，向學生滲透解決這類問題的方法.明確解應用題的關鍵六步：審—設—列—解—驗—答.下面以表格為載體，明確解題方向、構建知識框架.

教學過程：

教師以母親節期間鮮花店的銷售情況為例，由淺入深，設計一連串的問題.

環節一：知識儲備

1.母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，定價為36元/盒銷售，每盒利潤是多少？

2.母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，定價為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.每天的利潤是多少？

設計意圖 提取數量關系，單利潤=售價-進價（成本），總利潤=單利潤×數量.

3.母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，定價為35元/盒銷售，這樣每天可售出50盒.每天的利潤是多少？

4.母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，定價為34元/盒銷售，這樣每天可售出60盒.每天的利潤是多少？

（注意引導學生分析，在進價不變的前提下，其銷售量與定價呈現一種函數對應關系）列一元二次方程的關鍵在于用含有未知數x的代數式表達題目中的文字關系，嘗試引導學生將題中的文字條件轉化為含有未知數x的數學式子，然后再根據題目中的文字關系找出一一對應關系（相等、倍數等數理關系）.

環節二：合作探究

例1 母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，在市場參考價28-38元的范圍內定價為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經市場調查發現，若每盒降價1元，平均每天就多賣10盒.要使每天的利潤達到750元，應將每盒降價多少元？

分析題意 明確數量關系，單利潤=售價-進價，總利潤=單利潤×數量.

直接設降價為x元，那么單盒銷售利潤就是（36-20-x）;與此對應的銷售量就是（40+10x）.因此左邊式子可以表達為（36-20-x）×（40+10x）（單盒利潤×銷售量），右邊式子則是750的總利潤，即（36-20-x）×（40+10x）=750.

設計意圖 表格是最形象、 最直觀的載體，它能夠清晰明了地展示豐富的數據與信息.[1]將題目中復雜的文字描述轉化為符號、數字語言，學生熟悉了這種方法，自然不會畏懼做題.數學通法是將“抽象難懂”的解題方法翻譯成“通俗易懂”的數學接替方法，而不是把“抽象難懂”的變成更加難懂的“技巧”.因此數學通法的含義是經過提煉得出的一類問題的通用解法.[2]

變式一 母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，在市場參考價28-38元的范圍內定價為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經市場調查發現，若每盒降價0.5元，平均每天就多賣5盒.要使每天的利潤達到750元，應將每盒降價多少元？

用間接設元法，明確降價次數與降價的關系即可.同例1一樣，列表格分析數據.

分析題意進價20元

分析題意 明確數量關系，單利潤=售價-進價，總利潤=單利潤×數量.

直接設降價x次，則降價0.5x元，那么單盒銷售利潤就是（36-20-0.5x）;與此對應的銷售量就是（40+5x）.因此左邊式子可以表達為（36-20-0.5x）×（40+5x）（單利潤×銷售量），右邊式子則是750的總利潤，即（36-20-0.5x）×（40+5x）=750.

求解出x的值并不是最終的答案，0.5x才是問題的答案.

變式二 母親節期間，某鮮花店將進價為20元/盒的康乃馨，在市場參考價28-38元的范圍內定價為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經市場調查發現，若每盒降價0.5元，平均每天就多賣5盒.要使每天的利潤達到750元，應將每盒定價為多少元？

分析題意 方法同上，認真讀題，明確問題與條件之間的關系，在變式一的基礎上，求出降價，然后依據變化后的定價=變化前的定價-降價，算出結果.

總結規律

在借助表格分析完數據之后，要明確用一元二次方程解決應用題時的步驟.

第一步：審.借助表格分析數據，找出已知量及對應的未知量，弄清它們之間的數量關系;

第二步：設.要注意設取未知數x.可采用直接設元法和間接設元法兩種方法;

第三步：列.用含未知數的代數式表示相關的量，從而列出方程.要注意應使方程兩邊的數量關系相等，方程兩邊的代數式的單位相同.

第四步：解.整理方程并解出方程.

第五步：驗.結合題中實際意義，對方程的根進行取舍.

第六步：答.總結作答.

環節三：鞏固練習

1.新華商場銷售某種冰箱，每臺進價為2500元.市場調研表明：當售價為2900元時，平均每天能售出8臺;而當售價每降低50元時，平均每天能多售出4臺.商場要想使這種冰箱每天的銷售利潤達到5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？

分析題意 引導學生思考，售價、利潤、銷售量之間的關系.

教師講解的關鍵：注意引導學生思考，當降價后的定價為x元時，那么降價部分就可以表達為“2900-x”，里面有幾個50，就對應增加幾個4.可以通過間接設元法，方法同變式一.

2.某商場將進價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個.經市場調查發現，這種臺燈的售價每上漲1元，其每月銷售量就減少10個.為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？

分析題意：解題同上，一定要注意引導學生利用已知量和未知量來表達題目中的文字關系.

環節四：能力提高

某商場禮品柜臺購進大量賀年卡，該賀年卡平均每天可銷售500張，每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的措施.經市場調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出300張.商場要想平均每天盈利160元，每張賀年卡應降價多少元？

分析題意 解題方法同上，需要注意的是要善于挖掘題目中的隱含條件，對根的取值進行取舍.這是解決此類問題不可忽視的一點，更突出了數學來自生活，又服務于生活的特點.

環節五：課堂小結

通過今天的學習，談談自己的收獲，或有疑問的地方.

環節六：課后反思

商品經濟問題中存在等量關系，因此我們可以借助表格分析數據，把文字語言轉化為符號、數字語言，這里體現了轉化思想，表格法會貫穿整個初中，只要學生碰到這一類題目，都可以使用通法.史寧中先生在他的專著《數學思想概論》第3 輯《數學中的演繹推理》一書旁注中指出：“求解個案問題表現的是技巧，而得到規律性表現的是技能.數學教育需要培養技巧，但是更重要的是培養技能.”并舉例說明，在韋達（F.Viete，1540— 1603）之前，人們采用不同方法求解一元二次方程， 后來韋達發現了一元二次方程根與系數的關系， 才給出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法[3].

【參考文獻】

[1]林燕莉 .例談表格在初中數學教學中的應用[J].數學教學通訊，2016，27：22 -24.

[2] 金鐘植.談談對數學通法的認識和理解[J].高中數理化（高二版），2008（02）：6-9.

[3]史寧中.數學中的演繹推理[M].長春：東北師范大學出版社，2012.