向量法在高考數學中的應用

王舒鈺 張小玲

【摘要】向量思想是高中數學的重要思想之一，在高中數學教科書中，許多定理都運用了向量法進行證明，如正余弦定理.在高考數學中，向量法常與其他重要知識，如立體幾何、圓錐曲線、三角函數、不等式等一起設計出題.本文主要探究了近三年向量法在立體幾何與圓錐曲線中的應用.

【關鍵詞】向量法;高考數學;立體幾何;圓錐曲線

【基金項目】國家自然科學基金青年基金項目No.11601265; 泉州市高層次人才創新創業項目No.2017Z033.

2017年新課程標準在幾何與代數這一專題中指出了掌握向量法的必要性，并且在新教材第二冊第六章中系統學習了向量，可見向量在整個高中階段學習中所占的重要地位.由于向量具有代數形式和幾何形式的兩種表示方法，這使得它常用來解決空間、平面中的圖形問題.

一、向量法在立體幾何中的應用

向量法作為一種用數形結合解決問題的方法，主要是借助空間直角坐標系把抽象的空間問題轉化為具體的代數運算來解決問題.向量法在立體幾何中的運用主要體現在三個方面：一是利用向量法求解空間中直線和平面間的位置關系，如平行、垂直;二是利用向量法求解空間中的距離問題;三是結合法向量求解空間中的角問題.高考中常以計算直線與平面的夾角、兩平面的夾角為主，例如下列兩道例題.

解析 近五年全國Ⅰ卷對向量法在立體幾何中的運用都在第18題設問，第一問通常考查空間中直線與平面或兩平面之間的位置關系，如平行、垂直，其目的在于檢測學生對空間位置關系及其求證條件的掌握.第二問以計算直線與平面、兩平面間夾角的正弦值或余弦值為主.對第二問采用向量法的解題策略體現了程序化的思想，先根據題目信息建立合理的空間直角坐標系，確定所求兩平面的法向量m，n，兩個法向量所成的角或補角即為所求的二面角，在計算中需要注意兩個法向量的方向.雖然對第一問的證明，通常也可以用建立空間直角坐標系的方法與第二問一同求解，簡化運算步驟，但在實際求解中仍建議學生對第一問采用幾何的方法，這樣既可以避免因向量坐標運算錯誤導致的失分，也可以在第二問運用向量法求解后，將第一問中涉及的線段或平面用向量表示，進行檢驗，提高準確率.

向量法還能解決綜合法難以解決的問題，如點到平面的距離、空間夾角等，將空間問題轉化成代數問題，雖對學生的計算能力有較高要求，但可以幫助學生克服因空間想象力不足而帶來的畏懼心理，降低空間想象的難度.

二、向量法在圓錐曲線中的應用

圓錐曲線作為解析幾何中的重難點，是每年高考的必考題，題目以圓錐曲線為主線，融合向量、方程、函數等知識，具有很強的綜合性.向量法作為解決幾何問題的代數方法，在圓錐曲線問題的求解中，能幫助學生用向量表達式表述平面圖形的位置或線段長度的關系，明確解題方向，簡化解題思路，例如下列兩道高考題中都涉及了對向量法的應用.

三、總結

在高中數學教學中引入向量，為問題的解決與簡化提供了有力的工具，同時向量作為推動數學發展的動力之一，學生對它的掌握能為其后繼的學習奠定良好的基礎.基于向量與代數、幾何之間的緊密聯系，有關向量知識的考題在高考中所占分數比重逐漸增大.結合向量的坐標表達形式，在立體幾何中可用于證明線線、線面、面面的平行和垂直，以及利用平面的法向量求解夾角問題、距離問題等;在圓錐曲線中，更多利用向量的相等、共線、垂直求解坐標之間的數量關系，在這當中通常涉及韋達定理的使用.不難看出，在解題時，向量法可以幫助我們多角度分析問題，是一個不錯的思考方向，但是具體的靈活運用，離不開對習題的探索與總結.

【參考文獻】

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