高中數(shù)學(xué)新教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的處理A版和北師大版為例
——以人教

楊昌紅 顏寶平

(1.湖南省吉首大學(xué) 416000；2.貴州省銅仁學(xué)院 554300)

目前，在學(xué)校推廣數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性已成為全世界的共識(shí).提升數(shù)學(xué)建模能力被認(rèn)為是全世界數(shù)學(xué)教育的中心目標(biāo).在許多國(guó)家的課程中，數(shù)學(xué)建模能力發(fā)揮著決定性的作用，在國(guó)際上得到廣泛認(rèn)可.

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)早在國(guó)外上個(gè)世紀(jì)70、80年代，分別在研究生、本科和中學(xué)課堂階段開始了.80年代中期時(shí)，進(jìn)入我國(guó)一些大學(xué)理工科專業(yè)，90年代初在葉孝其、姜啟源等人的發(fā)動(dòng)下，開展了首屆“全國(guó)大學(xué)生建模競(jìng)賽”，在北京和上海紛紛舉辦“中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用競(jìng)賽”，對(duì)推動(dòng)人們對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重視和提高學(xué)生的應(yīng)用能力和意識(shí)有很大影響,也推動(dòng)數(shù)學(xué)建模逐步走進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)和考試中.

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn)版)》中納入了數(shù)學(xué)建模，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).教材的編寫往往基于課標(biāo)的要求，下面以高中數(shù)學(xué)教材人教A版和北師大版為例，分析數(shù)學(xué)建模在教材中是如何體現(xiàn)的.

一、數(shù)學(xué)建模過(guò)程

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)過(guò)程，例如：課標(biāo)中描述的數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒔鉀Q實(shí)際問(wèn)題.Blum和Lei?提出將認(rèn)知分析增加為建模的一個(gè)步驟或階段.它包括七個(gè)子過(guò)程：理解任務(wù)、簡(jiǎn)化/構(gòu)建、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)求解、解釋、驗(yàn)證、表達(dá).上述的建模過(guò)程實(shí)質(zhì)上思維過(guò)程大體一致，只是細(xì)化的程度不同.結(jié)合教材的特點(diǎn)和課標(biāo)的要求，將數(shù)學(xué)建模過(guò)程概括為：在情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?根據(jù)數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過(guò)程的特點(diǎn)，本研究將數(shù)學(xué)建模過(guò)程中部分環(huán)節(jié)涉及的內(nèi)容也視為數(shù)學(xué)建模內(nèi)容.

二、教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容分析

本文主要分析2019版普通高中人教A版和北師大版數(shù)學(xué)教材的必修第一冊(cè)中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用模塊及數(shù)學(xué)建模專題活動(dòng).

上表可見，兩本教材都在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)束后，提出“函數(shù)模型”的應(yīng)用.

1.函數(shù)模型的應(yīng)用分析

人教版教材分別在函數(shù)的概念與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)都有相對(duì)應(yīng)的函數(shù)應(yīng)用部分.在“歸納”部分用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律的基本過(guò)程.

北師大版教材在“§2實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型”中，包含2.1實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫和2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.其中例2是將課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模案例稍微改編而來(lái)如下：

網(wǎng)購(gòu)女鞋時(shí)，會(huì)看到一張尺碼對(duì)照表，腳長(zhǎng)(新鞋碼，單位：mm)，鞋號(hào)(舊鞋碼，單位：號(hào)).

(1)求鞋號(hào)關(guān)于腳長(zhǎng)的函數(shù)模型.

(2)如果看到一款“30號(hào)”的女童鞋，知道對(duì)應(yīng)的腳長(zhǎng)是多少嗎？

(3)一名腳長(zhǎng)為262mm的女籃球運(yùn)動(dòng)員，又該穿多大號(hào)的鞋呢？

此題考察重點(diǎn)是學(xué)生是否理論聯(lián)系實(shí)際，在問(wèn)題(3)中將腳長(zhǎng)代入模型計(jì)算得出的鞋號(hào)為42.4，應(yīng)該穿43號(hào)的鞋子，但學(xué)生自己解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)直接四舍五入為42沒(méi)有結(jié)合實(shí)際情況.

函數(shù)與數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)要求為：在實(shí)際情境中，會(huì)選擇適合的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律；體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.

由于每版教材編寫意圖不同，所以在函數(shù)模型的應(yīng)用部分也有所差異.人教A版是在相關(guān)函數(shù)的講解結(jié)束后給出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例.而北師大版是專門設(shè)立了獨(dú)立的一章學(xué)習(xí)函數(shù)應(yīng)用.兩個(gè)版本的教材在這一部分對(duì)學(xué)習(xí)者的要求基本都有強(qiáng)調(diào)體會(huì)應(yīng)用函數(shù)、函數(shù)模型刻畫實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，這些例題均只包含數(shù)學(xué)建模的一部分，都不能稱為完整的數(shù)學(xué)建模.

2.數(shù)學(xué)建模專題分析

人教A版在“數(shù)學(xué)建模—建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”部分，主要有四個(gè)內(nèi)容：“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的一個(gè)實(shí)例”、“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的選題”、“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的要求”和“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)研究報(bào)告的參考形式”.

北師大版將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)(一)”設(shè)立為單獨(dú)的一章.主要內(nèi)容有：“走進(jìn)數(shù)學(xué)建模”、“數(shù)學(xué)建模的主要步驟”和“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的主要過(guò)程”.“走進(jìn)數(shù)學(xué)建模”部分讓學(xué)習(xí)者感受數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程.并在“思考交流”環(huán)節(jié)設(shè)置4個(gè)小問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)案例進(jìn)行更深入的思考.“數(shù)學(xué)建模的主要步驟”部分，首先提出一個(gè)實(shí)際生活的問(wèn)題：

在一個(gè)十字路口，每次亮綠燈的時(shí)長(zhǎng)為15s，那么，每次亮綠燈時(shí)，在一條直行的道路上能有多少汽車通過(guò)十字路口？

利用上述問(wèn)題詳細(xì)的展示了數(shù)學(xué)建模的主要步驟，在“建立模型”環(huán)節(jié)強(qiáng)調(diào)了假設(shè)和數(shù)據(jù)收集.在“思考交流”環(huán)節(jié)讓學(xué)習(xí)者思考兩個(gè)問(wèn)題：一、結(jié)合上述過(guò)程，說(shuō)明用數(shù)學(xué)建模方法解決問(wèn)題和做應(yīng)用題有什么聯(lián)系和區(qū)別；二、總結(jié)數(shù)學(xué)建模的基本步驟.對(duì)數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模過(guò)程進(jìn)行與課標(biāo)一致的表述，并呈現(xiàn)課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的基本過(guò)程框圖.

最后，給學(xué)生安排一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)環(huán)節(jié)，要求自選一個(gè)實(shí)際問(wèn)題并設(shè)置較為獨(dú)特的習(xí)題如下：

閱讀一篇關(guān)于中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的論文，記錄論文的格式和要點(diǎn)，對(duì)論文作出你的評(píng)價(jià)，提出你修改此論文的想法.

兩個(gè)版本的教材都根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境用數(shù)學(xué)建模活動(dòng)實(shí)例闡述數(shù)學(xué)建模過(guò)程.首先，人教版的將建立模型和求解模型作為整個(gè)過(guò)程的主體，而北師大版中是將重心放在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的假設(shè).其次，人教A版傾向于強(qiáng)調(diào)模型的介紹，而北師大版傾向于建模過(guò)程的體驗(yàn).人教版的數(shù)學(xué)建模過(guò)程異于課標(biāo)，而北師大版和課標(biāo)一致并對(duì)每一環(huán)節(jié)的操作進(jìn)行闡釋.

兩套教材的編寫理念不同，數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的設(shè)計(jì)各有千秋.人教A版緊扣課標(biāo)要求“學(xué)會(huì)應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題”，函數(shù)部分確實(shí)是以各類函數(shù)模型應(yīng)用為主.北師大版更傾向于建模體驗(yàn)，教材的設(shè)計(jì)了“感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、實(shí)踐數(shù)學(xué)建模”四個(gè)層次由淺入深的呈現(xiàn)較完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.建模的經(jīng)驗(yàn)或教學(xué)表明遇到真實(shí)而復(fù)雜的情境時(shí)無(wú)從下手，然而在平時(shí)的學(xué)習(xí)中忽略真實(shí)模型的建立.期待在未來(lái)學(xué)生可以接觸更多原生態(tài)的真實(shí)模型，真正的去經(jīng)歷、去感受數(shù)學(xué)建模的魅力與魄力.