高中數學新教材中數學建模內容的處理A版和北師大版為例
——以人教

楊昌紅 顏寶平

(1.湖南省吉首大學 416000；2.貴州省銅仁學院 554300)

目前，在學校推廣數學建模和數學應用的重要性已成為全世界的共識.提升數學建模能力被認為是全世界數學教育的中心目標.在許多國家的課程中，數學建模能力發揮著決定性的作用，在國際上得到廣泛認可.

數學建模的教學早在國外上個世紀70、80年代，分別在研究生、本科和中學課堂階段開始了.80年代中期時，進入我國一些大學理工科專業，90年代初在葉孝其、姜啟源等人的發動下，開展了首屆“全國大學生建模競賽”，在北京和上海紛紛舉辦“中學生數學應用競賽”，對推動人們對數學應用的重視和提高學生的應用能力和意識有很大影響,也推動數學建模逐步走進中學數學和考試中.

我國《普通高中數學課程標準(試驗版)》中納入了數學建模，《普通高中數學課程標準(2017版)》(以下簡稱課標)將數學建模列為數學核心素養之一，用數學語言表達數學問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.教材的編寫往往基于課標的要求，下面以高中數學教材人教A版和北師大版為例，分析數學建模在教材中是如何體現的.

一、數學建模過程

數學建模是數學活動的一個過程，例如：課標中描述的數學建模過程包括：從現實情境中提出數學問題、建立數學模型、求解模型、檢驗模型、解決實際問題.Blum和Lei?提出將認知分析增加為建模的一個步驟或階段.它包括七個子過程：理解任務、簡化/構建、數學化、數學求解、解釋、驗證、表達.上述的建模過程實質上思維過程大體一致，只是細化的程度不同.結合教材的特點和課標的要求，將數學建模過程概括為：在情境中提出數學問題、構建數學模型、求解模型、檢驗模型.根據數學建模是一個過程的特點，本研究將數學建模過程中部分環節涉及的內容也視為數學建模內容.

二、教材中數學建模內容分析

本文主要分析2019版普通高中人教A版和北師大版數學教材的必修第一冊中數學模型應用模塊及數學建模專題活動.

上表可見，兩本教材都在指數函數和對數函數學習結束后，提出“函數模型”的應用.

1.函數模型的應用分析

人教版教材分別在函數的概念與性質、指數函數與對數函數、三角函數都有相對應的函數應用部分.在“歸納”部分用函數建立數學模型解決實際問題的規律的基本過程.

北師大版教材在“§2實際問題中的函數模型”中，包含2.1實際問題的函數刻畫和2.2用函數模型解決實際問題.其中例2是將課標中數學建模案例稍微改編而來如下：

網購女鞋時，會看到一張尺碼對照表，腳長(新鞋碼，單位：mm)，鞋號(舊鞋碼，單位：號).

(1)求鞋號關于腳長的函數模型.

(2)如果看到一款“30號”的女童鞋，知道對應的腳長是多少嗎？

(3)一名腳長為262mm的女籃球運動員，又該穿多大號的鞋呢？

此題考察重點是學生是否理論聯系實際，在問題(3)中將腳長代入模型計算得出的鞋號為42.4，應該穿43號的鞋子，但學生自己解決這個問題時直接四舍五入為42沒有結合實際情況.

函數與數學模型的學習要求為：在實際情境中，會選擇適合的函數模型刻畫現實問題的變化規律；體會人們是如何借助函數刻畫實際問題，感受數學模型中參數的現實意義.

由于每版教材編寫意圖不同，所以在函數模型的應用部分也有所差異.人教A版是在相關函數的講解結束后給出相對應的函數模型的應用實例.而北師大版是專門設立了獨立的一章學習函數應用.兩個版本的教材在這一部分對學習者的要求基本都有強調體會應用函數、函數模型刻畫實際問題的過程，這些例題均只包含數學建模的一部分，都不能稱為完整的數學建模.

2.數學建模專題分析

人教A版在“數學建模—建立函數模型解決實際問題”部分，主要有四個內容：“數學建模活動的一個實例”、“數學建模活動的選題”、“數學建模活動的要求”和“數學建模活動研究報告的參考形式”.

北師大版將“數學建模活動(一)”設立為單獨的一章.主要內容有：“走進數學建模”、“數學建模的主要步驟”和“數學建模活動的主要過程”.“走進數學建模”部分讓學習者感受數學建模的整個過程.并在“思考交流”環節設置4個小問題引導學生對案例進行更深入的思考.“數學建模的主要步驟”部分，首先提出一個實際生活的問題：

在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為15s，那么，每次亮綠燈時，在一條直行的道路上能有多少汽車通過十字路口？

利用上述問題詳細的展示了數學建模的主要步驟，在“建立模型”環節強調了假設和數據收集.在“思考交流”環節讓學習者思考兩個問題：一、結合上述過程，說明用數學建模方法解決問題和做應用題有什么聯系和區別；二、總結數學建模的基本步驟.對數學建模及數學建模過程進行與課標一致的表述，并呈現課標中數學建模活動的基本過程框圖.

最后，給學生安排一個學習任務環節，要求自選一個實際問題并設置較為獨特的習題如下：

閱讀一篇關于中學生數學建模的論文，記錄論文的格式和要點，對論文作出你的評價，提出你修改此論文的想法.

兩個版本的教材都根據現實情境用數學建模活動實例闡述數學建模過程.首先，人教版的將建立模型和求解模型作為整個過程的主體，而北師大版中是將重心放在對問題進行合理的假設.其次，人教A版傾向于強調模型的介紹，而北師大版傾向于建模過程的體驗.人教版的數學建模過程異于課標，而北師大版和課標一致并對每一環節的操作進行闡釋.

兩套教材的編寫理念不同，數學建模內容的設計各有千秋.人教A版緊扣課標要求“學會應用模型解決實際問題”，函數部分確實是以各類函數模型應用為主.北師大版更傾向于建模體驗，教材的設計了“感悟數學應用、學習數學模型、學習數學建模、實踐數學建模”四個層次由淺入深的呈現較完整的數學建模過程.建模的經驗或教學表明遇到真實而復雜的情境時無從下手，然而在平時的學習中忽略真實模型的建立.期待在未來學生可以接觸更多原生態的真實模型，真正的去經歷、去感受數學建模的魅力與魄力.