從不定積分的解法來看數(shù)學(xué)問題解決策略中的整體策略和局部策略

覃秋玲 張桂芳

(廣西壯族自治區(qū)南寧市南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 530022)

一、引言

整體策略和局部策略的核心體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中，可以將求解問題進(jìn)行拆分，進(jìn)而把原問題轉(zhuǎn)化成一些較小或在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng)解決過的問題，最后再通過拼湊，使原問題在整體上得到解決的思路.整體與局部在其組成系統(tǒng)的各要素中是相互關(guān)聯(lián)、相互制約的關(guān)系.因此，要在整體中帶有局部意識(shí)或在局部中附帶著整體意識(shí)去看待數(shù)學(xué)問題.

二、從不定積分解法看整體策略與局部策略

解法一與解法二的相同之處在于充分利用整體與局部策略進(jìn)行解題，不同在于解法一利用的方法是倒代換法和第一換元法，解法二在進(jìn)行了簡單化簡之后，對(duì)其中的一部分進(jìn)行分步積分；第二個(gè)不同點(diǎn)在于整體與局部策略的應(yīng)用順序上，解法一是在利用了倒代換法化簡之后才進(jìn)行，而解法二是直接對(duì)原式進(jìn)行處理.在該題中，對(duì)分子的處理方法在中學(xué)也很常見，就是熟悉的分拆.“拆與并”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中使用最廣泛的一種裂項(xiàng)并項(xiàng)思想方法.其實(shí)，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，不僅代數(shù)式可拆分，實(shí)際上問題也可進(jìn)行拆分，即將問題中的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)(式或形)拆分，這里就是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行拆分.

而具體問題還得具體分析，在數(shù)學(xué)問題中，即使面對(duì)的是相似題目，有時(shí)候雖大體上的思路不變，可細(xì)節(jié)上的解法卻不同.

解決此題的關(guān)鍵在于從整體和局部觀察被積函數(shù)的分子與分母之間的關(guān)系，但與上一題的不同在于此題的分母為乘積的形式，因此不采用對(duì)分母進(jìn)行降次的方式，而是利用第一換元法直接解出.此題解法的關(guān)鍵d(xlnx)=(1+lnx)dx與上一題解法一的關(guān)鍵步驟二d(1+tlnt)=(1+lnt)dt有相似之處，因?yàn)閐(1+tlnt)=(1+lnt)dt也可看成d(tlnt)=(1+lnt)dt.

下面分析一道較難的例題，觀察整體策略與局部策略在解不定積分中的應(yīng)用：

對(duì)原式直接進(jìn)行整體觀察，發(fā)現(xiàn)較難進(jìn)行拼湊，由于被積函數(shù)是由兩個(gè)不同函數(shù)組成，易想到分步積分法，做法如下：

由不定積分的解法來看數(shù)學(xué)問題解決中的整體策略與局部策略可以發(fā)現(xiàn)，整體與局部策略在數(shù)學(xué)問題解決中是“合作共用”的關(guān)系，且需要對(duì)具體問題的情形進(jìn)行具體分析之后方可運(yùn)用.因解題方法步驟各具特色，所以在解題中，整體與局部策略不能一概而論，有可能是在解題第一步用，也有可能是解題最后一步用；另外就是在解題時(shí)需要用整體觀念認(rèn)識(shí)問題，包括問題的條件——已知中的算式結(jié)構(gòu)、圖形的結(jié)構(gòu)、實(shí)際意義等，而后居高臨下地把握問題的全局，并從整體結(jié)構(gòu)去理解題意，進(jìn)而尋求數(shù)學(xué)問題解決的總體思路.

三、啟示

整體與局部策略還體現(xiàn)在解題時(shí)的觀察能力，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)問題越敏感越有助于解題，即數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的程度.有的式子，往往在把握其整體結(jié)構(gòu)后，才能看出其局部特征以及整體與局部的特殊關(guān)系.而不定積分的計(jì)算過程本身就復(fù)雜，在涉及此類計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)觀察并簡單嘗試，也更需耐心來選擇解題方法，進(jìn)而結(jié)合整體與局部策略，相信會(huì)少走很多彎路！