雙光腔光機械系統的動力學相變和選擇性能量交換*

劉妮 張小芳 梁九卿

(山西大學理論物理研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

本文探究了單腔和雙腔光機械裝置的動力學相變和選擇性能量交換. 發現系統會經歷類似于Dicke-Hepp-Lieb超輻射型的動力學相變, 且兩光場間的正交動量耦合出現一個新的動力學臨界點. 兩光場間的正交動量耦合等價于單(雙)模光機械系統的外場驅動. 通過耦合參數的調控, 系統可以實現任意兩模間的選擇性能量交換, 且臨界耦合點與選擇性能量交換對應. 模壓縮是能量轉換的標志, 且任何兩模的正交壓縮由特定玻色模間的能量交換決定.

1 引 言

光腔和納米機械振子之間的電磁耦合導致了宏觀量子系統的新的量子力學行為[1], 而且實驗上已經在單光子水平上實現了這種新奇的量子系統[1-4], 同時理論上已研究了單模光機械腔的強耦合特性, 且發現: 當光場和機械振子的耦合遠大于腔場衰減和機械振蕩頻率時, 這些混合系統中的量子效應出現. 通過在光腔內放置Kerr介質, 量子非線性也可被引入到系統中[5]. 實驗已經證明, 通過將兩個光模耦合到一個機械振子上來顯著增強量子非線性[6,7], 該增強的量子非線性在光子數的量子非破壞測量方面具有潛在的應用. 根據腔內光場與機械振子之間通過輻射壓形成的非線性反饋耦合機制, 機械振子一方面可以有效冷卻并表現出宏觀量子效應; 另一方面可以誘導可觀測的少光子非線性光學效應. 相反, 也可以改變機械振子的特征實現對光場的調節和控制. 光機械系統在量子信息處理中也具有應用前景. Kerr型非線性可以作為全光開關的基礎, 并應用于光子或聲子比特的量子相位門的設計[8]. 機械模可作為量子信息處理中的長程記憶, 它可存儲光脈沖中包含的全部量子信息[9]. 光學和機械自由度之間的相互作用產生固態、光學比特和原子比特之間的量子交叉. 總之,光機械腔系統[10-12]在量子測量研究中取得了階段性的成果, 而且展示出廣泛的應用前景. 此外, 光機械腔系統在量子調控、量子模擬、高精密測量,以及微電子工業等方面也展現出重要的應用價值,特別是與微納技術和冷原子技術結合后, 該系統正發展成為研究量子測量與量子操控的理想平臺. 一系列新穎的基于光機械腔系統的量子測量方案展示出該系統在量子測量、量子操控等方面的潛在應用. 近年來, 兩模系統在理論上得到了廣泛研究,且由兩光學模和機械振子模構成的三模系統最近也被用于研究多粒子量子關聯[13]. 可見, 研究雙光腔光機械系統[10-12]的基態特性具有重要的科學價值.

基于光機械系統的廣泛應用, 我們得到: 兩光學模耦合到一個機械模的線性化哈密頓量, 該系統的動力學相變與Dicke模型的動力學相變類似[14-17].另外, 兩個超強耦合的諧振子系統能展示類似于Dicke超輻射相變的特性. 我們主要計算了不同光機械系統正常模的表達式, 且通過調控耦合參數,系統可以經歷類似于Dicke—Hepp—Lieb型超輻射類型的動力學相變. 同時證實了任何兩模之間的選擇性能量交換的可能性, 最后還研究了量子臨界點附近的模壓縮與選擇性能量交換的對應性. 這些結果對量子測量和量子計算有一定的參考價值.

2 動力學相變模型

2.1 光機械腔

光機械腔系統如圖1所示. 圖1光機械腔系統的哈密頓量表示如下:

圖1 光機械腔 系 統, 由頻 率 為 ω 0 的光學 模(用 運 算符a表示), 頻率為 ω m 的機械模(用運算符b表示)和頻率為ωL (振幅為μ)的驅動場組成, 光腔與機械振子之間的耦合系數為gFig. 1. An optomechanical cavity consisting of the optical mode (the frequency ω 0 ) denoted by a, the mechanical mode b (the frequency ω m ) and an pair of optical drivings(the frequency ω L and the amplitude μ) with the coupling strength g.

其中自由能哈密頓量H0和相互作用哈密頓量Hint分別為:

相互作用哈密頓量(3)式來自于腔模頻率的空間依賴性, 當機械位移足夠小時線性階成為相互作用中惟一重要的項.

以泵浦場驅動頻率ωL做旋轉, 系統的哈密頓量表示為

其中ωs=ω0-ωL為腔膜與驅動場之間的失諧.

根據海森伯-朗之萬方程, 基于哈密頓(4)式可得系統相關算符的運動方程為:

其中ain(t) 是光學模的輸入噪聲算子, 其特征值是光子衰減率γc;ξ(t) 是由機械模的布朗運動引起的噪聲算子.

我們將每個算符寫成穩態平均值和零平均漲落值, 即a→α+a,b→β+b. 對海森伯伯-朗之萬方程(5)式和(6)式求平均值得到其演化方程:

各算符的穩態平均值和哈密頓量分別為:

為了對角化, 忽略常數項和齊次項, 僅保留雙線性項, 即令ωsα-2gαβ=0 和ωmβ-gα2=0 , 整理(11)式得到系統的有效哈密頓量:

其中,ω=ωs-2gβ和η=gα決定了波動的穩態值.依據坐標、動量和算符的關系

將(13)式代入有效哈密頓量(12)式中, 整理化簡可得:

通過如下方式對系統坐標進行旋轉, 消除xy相互作用項,

則(14)式化簡為無耦合振子

其中,ε1和ε2的值為:

通過引入以下兩種q玻色模來重新量化哈密頓量(16)式, 即

則重新量化的哈密頓量為

根據激發能(17)式和(18)式, 結合(20)式可知: 當時, 對應于機械振子模的特征值ε2可以為虛數, 此時滿足如圖2紅線所示. 這意味著系統經歷了不同的行為過程, 這取決于時的不穩定相或時的穩定相.動力學相變的穩定相對應于正常相到超輻射量子相變的正常相, 而動力學相變的不穩定相(在動力學臨界點的右側)對應于正常相到超輻射量子相變的超輻射相. 值得注意的是, 盡管有效哈密頓量(12)式顯示出類似于Dicke-Hepp-Lieb相變的變化, 但由于僅存在兩模, 而量子相變發生在多模系統中, 所以該系統本質上并不是嚴格的量子相變.玻色模的特征值ε1(黑線)始終是真實的, 而玻色模的特征值ε2(紅線)通過調節參數可以變成虛數. 當時, 特征值ε2變為虛數, 對應超輻射相.

圖2 在給定條件 ω =ωm 下, 激發能量 ε i/ωm 隨耦合參數 η /ωm 的變化Fig. 2. Variation of the excitation energy ε i/ωm with respect to the coupling parameter η /ωm in the case of ω=ωm.

2.2 雙光腔光機械系統

2.2.1 雙光腔間無耦合

雙光腔光機械系統如圖3所示. 圖3系統對應的哈密頓量為:

圖3 雙光腔光機械系統, 由頻率分別為 ω1 和 ω2 的光學模(用運算符 a1 和 a2 表示), 頻率為 ω m 的機械模(用運算符b表示)和頻率為 ω L (振幅為 μi )的兩束對打的驅動場組成, 兩模光腔與機械振子之間的耦合系數分別為 g1 和g2Fig. 3. A double-optical cavtiy optomechanical system consisting of two optical mode (the frequencies ω1 and ω2 ) denoted by a1 and a2 , the mechanical mode b (the frequency ω m ) and an pair of optical drivings (the frequency ωL and the amplitude μi ) with the coupling strengthg1 and g 2.

相對驅動場頻率ωL作旋轉后, 系統的哈密頓量寫為

其中,ωsi為腔膜與驅動場之間的失諧,ωsi=ωi-ωL(i=1,2).

根據海森伯-朗之萬方程可得系統相關算符的運動方程為:

其中,aini(t) 是光學模的輸入噪聲算子, 其特征值是光子衰減率γci;ξ(t) 是由機械模的布朗運動引起的噪聲算子. 并將每個算符寫成穩態平均值和零平均漲落值, 即ai→αi+ai,b→β+b, 對海森伯-朗之萬方程(24)式和(25)式求平均值, 得到其演化方程:

各算符的穩態平均值和哈密頓量分別為:

僅保留雙線性項, 即令:ωsiαi-2βgiαi=0 ,ωm, 整理(30)式得到系統的有效哈密頓量:

其中,Ωi=ωsi-2giβ,Gi=giαi(i=1,2) , 決定了波動的穩態值.

基于如下的坐標、動量與算符的關系將哈密頓量(31)式進行重新量化,

經整理可得:

與2.1節中對角化方式類似, 通過如下方式對系統坐標進行旋轉, 消除xz和yz相互作用項:

則(33)式化簡為

其中εi為

我們現在通過引入以下三種玻色模來重新量化哈密頓量(35)式:

此變換下的哈密頓量為

共振情形(Ω1=Ω2=ωm)下, 能量泛函(36)式—(38)式退化為

基于(41)式, 圖4給出了無耦合的雙光腔光機械系統的激發能譜, 其中ε1/ωm(黑線)和ε2/ωm(紅線)是光學分支,ε3/ωm(藍線)是聲子分支, 從圖可以觀測到能量的選擇性轉移. 從圖4(a)可以看到光學模c1(黑線)和聲子模c3(藍線)之間的能量交換, 而光學模c2(紅線)沒有變化; 從圖4(b)可以看到光學模c2和聲子模c3之間的能量交換, 而光學模c1沒有變化.ε3/ωm(藍線)展示了在某個臨界耦合參數G1c(G2c) 處的動態相變. 當G1≤G1c(G2≤G2c)時, 激發能量ε3/ωm為實數, 對應正常相; 當G1＞G1c(G2＞G2c)時, 激發能量ε3/ωm變為虛數, 對應超輻射相. 圖中相邊界點滿足條件

圖4 激發能量 ε i/ωm 隨耦合參數 (a) G 1/ωm 和(b)G2/ωm的變化, 給定的參數是Ω1=Ω2=ωmFig. 4. Variation of the excitation energy ε i/ωm with respect to the coupling parameters (a) G 1/ωm and (b) G 2/ωm.The given parameters are Ω 1=Ω2=ωm.

2.2.2 雙光腔間有耦合

雙光腔間有耦合的機械體統如圖5所示. 圖5的哈密頓量為:

圖5 雙 光腔光 機械系統, 由頻率分別為 ω1 和 ω2 的光 學模(用運算符 a 1 和 a 2 表示)和頻率為 ω m 的機械模(用運算符b表示)組成, 兩模光腔與機械振子之間的耦合系數分別為 g 1 和 g 2 , 兩腔間與機械振子的耦合系數為JFig. 5. A double-optical cavtiy optomechanical system consisting of two optical mode (the frequencies ω1 and ω2 ) denoted by a1 and a2 and the mechanical mode b with the coupling strength g1 , g2 andJ.

相互作用哈密頓量(44)式是由腔頻的空間依賴性引起的, 其中J表示兩光學模與機械振子之間的耦合, 它對應于相干的克爾類型相互作用, 將量子非線性引入了系統[7]. 當機械位移足夠小時, 線性階成為相互作用中惟一重要的項. 實驗上通常在腔體中間放入薄膜來實現[6].

系統相關算符的運動方程為:

接下來將每個算符寫成穩態平均值和零平均漲落值, 即ai→αi+ai,b→β+b. 再對海森伯-朗之萬方程(45)式—(47)式求平均值, 得其演化方程:

各算符的穩態平均值和哈密頓量分別為:

保留雙線性項后, 整理得到系統的有效哈密頓量:

其中,Ωi=ωi-2βgi,J1=g1α1-Jα2,J2=g2α2-Jα1,δ=2Jβ,ω1α1+2βJα2-2βg1α1=0 ,ω2α2+這些條件決定了波動的穩態值.

將坐標動量關系(56)式代入(55)式將哈密頓量進行對角化:

與2.1節, 2.2節中對角化方式類似, 可以通過如下方式對系統坐標進行旋轉來消除相互作用項xy,xz,yz,pxpy:

再通過如下動量關系進行旋轉來消除相互作用項pxpy:

當角度滿足 c osφ4=0 時, 則哈密頓量(55)式化簡為

其中εI,εII,εIII,εpI,εpII為:

我們現在通過引入三種新的玻色模(65)式來重新量化哈密頓量(60)式:

從本征值(61)式—(63)式得出: 當時, 對應于光學玻色模的特征值εI′可以為虛數, 此時如圖6(a)黑線所示. 這意味著系統所經歷的過程取決于時的不穩定相或是時的穩定相, 動力學相變的穩定相(δ≤δc)對應于超輻射量子相變的正常相, 而動力學相變的不穩定相(δ＞δc)對應于量子相變的

圖6 激發能量 ε i/ωm 隨耦合參數 (a) δ /ωm , (b) J 1/ωm 和(c) J 2/ωm 的變化, 給定的參數是Ω1=Ω2=ωmFig. 6. Variation of the excitation energy ε i/ωm with respect to the coupling parameters (a) δ /ωm , (b) J 1/ωm and (c) J 2/ωm. The given parameters are Ω 1=Ω2=ωm.

則哈密頓量(60)式整理為超輻射相. 如同2.1節部分, 盡管有效哈密頓量(55)式展示出類似于Dicke-Hepp-Lieb躍遷的相變, 但只有三種模式存在, 故本質上仍不是嚴格的量子相變. 對應于光學玻色模的特征值εII′始終是真實的, 如圖6紅線. 從圖6(b)和圖6(c)可以看出: 隨耦合參數J1/ωm(J2/ωm)變化, 聲子模的特征值εIII′在J1＞J1c(J2＞J2c)變為虛數,是聲子分支εIII′的動態相變. 本文中不會詳細討論相變, 而且上述模型僅在穩定階段有效. 圖6展示了光學分支εI′,εII′和聲子分支εIII′能量的選擇性轉移.圖6(a)顯示兩光學分支εI′,εII′之間的能量轉移,而聲子模的能量εIII′不改變. 臨界耦合顯示動力學相變, 是兩種光學模式的動量方程間耦合的結果. 從(64)式看出: 在某些參數下使εpI＜0和時, 特征值εI′可取負值, 代表系統不穩定,耦合參數δ滿足

當沒有其他模式的動量耦合時,δus就是通常的的動力學臨界點G1c(G2c), 如圖4所示. 對于圖6(b)給出光學模和聲子模之間的能量交換, 在臨界耦合J1c處發生動力學相變, 臨界耦合J1c滿足:

可見, 聲子激發譜中的動力學相變表明在動力學臨界點發生從機械模到光學模的完全能量轉換(藍線-紅線). 類似地圖6(c)給出光學模和聲子模之間的清晰能量轉換.

3 模壓縮

本節研究了多種玻色模的壓縮特性. 如果玻色模的位置或動量正交不確定性小于其相干狀態下的不確定性, 則稱其被壓縮[18]. 相干態是滿足(Δα)2(Δpα)2=1/4[α=x,y,···]的最小不確定態, 且不確定性在兩個正交之間平均分配. 如果(Δα)2＜1/2或( Δpα)2＜1/2 ,則玻色場被壓縮[18-20].原模式的兩個正交方差被定義為和我們利用波戈留波夫變換給出原始玻色模 [a,b,···] 和變換的玻色子模式 [c1,c2,···] 之間的關系.

3.1 光機械腔

本節研究了兩種玻色模的壓縮特性. 原始玻色子模 [a,b] 和重新量化的玻色模 [c1,c2] 之間的關系利用波戈留波夫變換給出:

基于(69), (70)式, 給出各變量的方差:

基于(69)式, 圖7給出了壓縮方差 ( Δx)2ωm和(Δy)2ωm(實線)、 ( Δpx)2/ωm和 ( Δpy)2/ωm(虛線)隨耦合參數η/ωm的變化, 注意由于ω=ωm, 所以(Δx)2ωm和 ( Δy)2ωm重合, ( Δpx)2/ωm和(Δpy)2/ωm重合. 該圖與圖2激發譜隨耦合參數的變化對應.動量方差沒有被壓縮, 在接近臨界耦合ηc時, 更加不被壓縮而分離, 如圖實線; 反之, 坐標方差被壓縮, 而且接近臨界耦合ηc時, 壓縮更明顯. 在動力學臨界點處(如圖點線), 位置方差顯示最大壓縮,可見, 壓縮是能量轉換的標志.

圖7 在 ω =ωm 下, 壓縮方差 ( Δα)2ωm 和 ( Δpα)2/ωm 隨耦合參數 η /ωm 的變化Fig. 7. Plot of the squeezing variances ( Δα)2ωm (solid line)and ( Δpα)2/ωm (dashed line) as a function of η /ωm in the case of ω =ωm.

3.2 雙光腔光機械系統

3.2.1 雙光腔間無耦合

本節研究了光腔間無耦合的雙模光機械腔的壓縮特性. 原始玻色模 [a1,a2,b] 和重新量化的玻色模 [c1,c2,c3] 之間的關系利用波戈留波夫變換給出:

基于(72)式—(74)式, 很容易給出各變量的方差:

基于(75)式, 對應于圖4, 圖8給出了壓縮方差 ( Δx)2ωm, ( Δy)2ωm和 ( Δz)2ωm(實線), ( Δpx)2/ωm,(Δpy)2/ωm和 ( Δpz)2/ωm(虛線)隨耦合參數G1/ωm和G2/ωm的變化. 圖8(a)中 ( Δx)2ωm和 ( Δz)2ωm重合, ( Δpx)2/ωm和 ( Δpz)2/ωm重合, 坐標方差開始沒有被壓縮, 而后被漸漸壓縮, 在接近臨界耦合G1c時, 被最大壓縮(如圖點豎線), 如圖實線; 反之, 動量方差開始被壓縮, 而接近臨界耦合G1c時,反而不被壓縮, 如圖虛線. 圖8(b)中 ( Δy)2ωm和

圖8 在 ( Δα)2ωm 下, 壓縮方差 ( Δα)2ωm 和(Δpα)2/ωm隨耦合參數(a) G 1/ωm 和(b) G 2/ωm 的變化Fig. 8. Plot of the squeezing variances ( Δα)2ωm (solid line)and ( Δpα)2/ωm (dashed line) as a function of (a)G1/ωm and (b) G 2/ωm.

(Δz)2ωm重合, ( Δpy)2/ωm和 ( Δpz)2/ωm重合, 坐標方差開始未被壓縮, 而后被漸漸壓縮, 在接近臨界耦合G2c時, 被最大壓縮(如圖點線), 如圖實線; 反之, 動量方差開始被壓縮, 而接近臨界耦合G2c時,反而不被壓縮, 如圖虛線. 該結論再次驗證圖4中激發譜在動力學臨界點處的相變和能量轉移一致. 可見, 壓縮是能量轉換的標志. 在G1＜G1c(G2＜G2c)時, 動量方差被壓縮, 則動量正交就是更好的選擇;而在G1c(G2c)附近, 動量方差未被壓縮, 而坐標方差被壓縮, 則坐標正交將是更好的選擇. 可見, 三模玻色場中的任何的正交壓縮是由特定玻色模之間的能量交換決定[19,20], 其可借助于不同的耦合參數來調控.

3.2.2 雙光腔間有耦合

本節研究了光腔間有耦合的雙模光機械腔的壓縮特性. 原始玻色模 [a1,a2,b] 和重新量化的玻色模 [c1,c2,c3] 之間的關系利用波戈留波夫變換給出:

基于(76)式—(78)式, 各變量的方差被給出:

基于(79)式, 對應于圖6, 圖9給出了壓縮方差 ( Δx)2ωm, ( Δy)2ωm和 ( Δz)2ωm(實線), ( Δpx)2/ωm,(Δpy)2/ωm和 ( Δpz)2/ωm(虛線)隨耦合參數δ/ωm,J1/ωm和J2/ωm的變化. 圖9(a)結果與圖7一致,如圖所示, 坐標方差沒有被壓縮, 在接近臨界耦合δc時, 更加不被壓縮而分離, 如圖實線; 動量方差被壓縮, 而且接近臨界耦合ηc時, 壓縮更明顯, 動力學臨界點處動量方差顯示最大壓縮, 如圖虛線. 相比之下, 圖9(b)和圖9(c)結果與圖8一致. 圖9(b)和圖9(c)表明: 隨著耦合參數J1(J2)的增加, 最初未被壓縮的動量方差慢慢被稍微受到壓縮. 在臨界耦合J1c(J2c)附近, 動量方差接近1/2, 并在J1c(J2c)處被最大壓縮. 而最初被壓縮的坐標方差隨耦合強度增大而慢慢變小, 并且在J1c(J2c)處變得不被壓縮. 事實上, 隨著位置方差的不確定性降低,而相應動量方差的不確定性增加, 這與不確定性原理一致. 因此得出結論, 正交壓縮是最適合量子測量, 因為正交壓縮減少了量子噪聲, 即如果在改變δ時進行量子測量, 那么對坐標正交進行測量會更合適. 另一方面, 在改變耦合參數J1(J2)時, 只要被擠壓, 坐標正交就是更好的選擇. 在臨界點J1c(J2c)附近, 動量正交的測量將更適合. 在三模玻色場中的任何正交壓縮是由特定玻色模之間的能量交換決定[19,20], 其可以借助于不同的耦合參數來調控. 如圖6所示, 任何兩模之間的能量轉換在動力學臨界點處完成. 圖9展示出于動力學臨界點, 坐標正交或動量正交顯示最大壓縮. 因此, 壓縮是能量轉移的標志(即壓縮由多模間的能量轉換度決定).

圖9 在 ω =ωm 下, 壓縮方差 ( Δα)2ωm (實線)和 ( Δpα)2/ωm (虛線)隨耦合參數 (a) δ /ωm , (b) J 1/ωm 和(c) ( Δα)2ωm 的變化Fig. 9. Plot of the squeezing variances ( Δα)2ωm (solid line) and ( Δpα)2/ωm (dashed line) as a function of (a) δ /ωm , (b) J 1/ωm ,(c) J 2/ωm in the case of ω =ωm.

4 結 論

本文首先利用動力學方法分別對單模光機械系統和雙模光機械系統進行了哈密頓量的線性, 進而求得了系統的穩態解. 基于穩態解給出了不同參數調控下的激發譜和模壓縮, 探究了光機械系統中的動力學相變與光學模和機械模之間能量選擇性轉換的可能性. 尤其單模光機械系統清晰地給出了光學膜和機械模之間的能量轉換, 為理解雙模光機械系統的動力學相變和能量交換提供了指導. 另外, 激發譜和模壓縮之間的關聯也被觀測. 通過調節某一模對應的耦合參數, 可以對應地打開該模通道, 而進行其他模之間的能量交換, 且同時也關閉了其他模的通道. 該通道和其他模式間的能量交換都是可選擇的, 這對于量子信息處理是非常有實際意義的. 在動力學臨界點處, 任何兩模之間完全的能量轉換可實現. 通過坐標和動量方差的研究發現: 被壓縮的正交變量最適合進行測量, 因為量子噪聲量較小. 另外, 聲子模可以較長時存儲能量,而光子模可以遠距離傳輸能量, 這種優勢使得混合光機械系統在將來產生量子通信和量子信息處理單元中變得非常有價值.