同位旋非對稱強作用物質狀態方程及熱力學性質*

盧琪 陳偉杰 陸振煙? 許英 李向前

1) (湖南科技大學物理與電子科學學院, 湘潭 411201)

2) (太原理工大學物理與光電工程學院, 太原 030024)

在Nambu-Jona-Lasinio模型框架下, 研究溫度和重子化學勢對同位旋非對稱量子色動力學物質狀態方程和熱力學性質的影響. 通過將零溫和零重子化學勢下的pion超流物質狀態方程以及有限溫下同位旋密度、壓強與格點數據做比較, 發現兩種方法給出的結果符合得較好. 進一步計算表明, 零溫和零重子化學勢下的平均同位旋能量隨同位旋密度單調增加, 而非零重子化學勢和有限溫下卻呈現具有極小值的非對稱拋物線行為. 最后, 利用得到的狀態方程探討聲速隨同位旋化學勢的變化行為, 結果顯示有限溫和(或)重子化學勢下的聲速在相變點不連續, 且超流相中的聲速飽和值明顯大于普通核物質及夸克物質中的值. 另外, 在超流相中重子化學勢和溫度具有軟化狀態方程以及降低聲速的作用.

1 引 言

隨著標準模型預言的最后一個基本粒子, 即希格斯粒子, 于2013年在實驗上第一次被發現, 并在2015年被另外一個合作組進一步證實后, 標準模型預言的61種基本粒子已經全部被找到. 在這61種粒子中, 包含三代夸克, 共計6種不同味道.夸克間的強相互作用由量子色動力學(QCD)描述, QCD屬于規范理論且是粒子物理學標準模型的一部分, 具有色禁閉和漸進自由性質. 在高能區,強耦合常數較小, 可以對QCD作微擾展開, 對高密度的物質性質描述得很好[1]. 但是隨著能標不斷降低, 強耦合常數逐漸增大, 在低能區微擾QCD變得不可信賴, 且熱力學自洽性問題會變得越來越突出[2,3], 此時需要考慮QCD的非微擾效應. 另外, 基于第一性原理的格點QCD方法, 雖然在低重子化學勢下可以通過泰勒展開獲得有限重子數密度QCD物質性質[4-6], 但是費米子行列式的不正定性導致理論不可避免地碰到符號問題, 且所得結果的有效性只局限于低重子數密度情形.

為了克服這些困難, 人們通常采用QCD有效模型或者有效理論[7,8]來研究QCD物質在低能區的行為以及真空的非微擾性質. 比較常見的模型有Nambu—Jona-Lasinio (NJL)模型[9-11]、夸克介子模型[12-14]、Dyson-Schwinger方程[15-17]、等效粒子模型[18-22]和準粒子模型[23-25]等. 由于有限同位旋化學勢下費米子行列式是正定的, 格點QCD方法不會碰到符號問題. 所以, 原則上可以利用格點QCD方法計算非微擾區有限同位旋化學勢下QCD物質狀態方程以及相圖等. 2001年, Son和Stephanov[26]在手征微擾論框架下, 指出同位旋化學勢等于pion介子質量處, 系統會發生一個二級相變, 即隨著同位旋化學勢的增加, 系統從正常相進入到帶電pion介子組成的超流相, 反之, 則從超流相回到正常相. 隨后, 格點QCD方法在數值上證實此論點[27-29]. 何聯毅等[30,31]以及Warringa等[32]在NJL模型框架下, 同樣證實隨著同位旋化學勢的增加, 系統會在同位旋化學勢等于pion介子質量時, 從正常相進入到超流相. 除此之外,Adhikari等[33,34]將手征微擾論從領頭階推廣到次領頭階水平, 并在此基礎上再次驗證從正常相到pion超流相的相變屬于二級相變. 自Son和Stephanov[26]的開創性工作之后, 同位旋化學勢下相圖及QCD物質性質獲得了廣泛的研究[35-41]. 關于介子超流方面最新的一篇綜述, 詳見文獻[42].

前不久, 我們在兩味NJL模型中研究零溫下QCD物質熱力學量隨同位旋化學勢的變化行為[43], 并將NJL模型零溫結果與格點數據和領頭階手征微擾論結果作比較, 發現三者符合得很好,尤其是在同位旋化學勢小于兩倍pion介子質量的區域. 另外, NJL模型給出的零溫拓撲磁化率[44]與格點QCD數值模擬[45]和手征微擾論結果[46,47]均定量相符, 而在有限溫度下前者給出的結果比手征微擾論的預測更符合格點QCD數據[48]. 隨后,我們還將計算推廣到有限溫情形, 詳細計算手征、pion和同位旋磁化率隨同位旋化學勢和溫度的變化行為, 發現這些磁化率在臨界同位旋化學勢處不連續, 非常好地表征系統存在的二級相變. 但是文章并未包含重子化學勢的影響, 而在現實世界中,一般重子化學勢并不為零, 比如致密星體環境[49]等. 由于零溫下NJL模型的研究結果與手征微擾論及格點結果符合得非常好, 我們自然而然地期待進一步考慮重子化學勢的影響之后, NJL模型也能給出定性甚至是定量準確的物理結果. 本文將在兩味NJL模型框架內, 研究重子化學勢對同位旋非對稱QCD物質狀態方程和熱力學性質的影響.

2 理論框架

受到BCS超導理論的啟發, NJL模型最初被提出為一個以核子為基本自由度的理論, 隨后被發展為一個以夸克為基本自由度的QCD低能唯象模型. 在虛時有限溫度場論中, NJL模型的配分函數為

其中β=1/T表示溫度的倒數,μB和μI分別 表示重子化學勢和同位旋化學勢,L是NJL模型拉格朗日密度, 簡稱拉氏量密度, 其表達式如下:

其中G為四費米子相互作用常數,q=(u,d)T表示夸克場矩陣,τ表示三個泡利矩陣組成的矢量. 因為上和下夸克的質量差非常小, 考慮二者具有相同的流質量m. 作為外源引入的μ?=diag{μu,μd}表示夸克化學勢的對角矩陣, 二者可以用重子化學勢μB和同位旋化學勢μI表示為

當重子化學勢和同位旋化學勢都為零時, (2)式中的NJL模型拉氏量具有UB(1)?SUI(2)?SUA(2)對稱性; 但同位旋化學勢不為零時, 同位旋對稱性SUI(2) 破壞到UI(1) 整體對稱性, 并由此產生帶電pion介子構成的玻色-愛因斯坦凝聚, 而手征對稱性則同時破缺到UIA(1) 整體對稱性, 對應于產生手征凝聚. 在有限重子化學勢和同位旋化學勢下,UB(1) 對稱性沒有發生破缺, 對應于系統重子數守恒.

采用平均場近似, 即忽略夸克場量子擾動并利用凝聚值替換掉相應的標量場和贗標量場:

這里引入的手征凝聚和pion凝聚分別為

和

式中的θ是一個實數, 而τ±=τ1±iτ2. 由于θ的取值不會改變系統的熱力學勢密度, 因此直接取θ=0 , 這時(7)式正好表示處在τ1方向的pion凝聚, 即Π=〈qˉiγ5τ1q〉. 經過一番計算, 最終得到平均場近似下系統熱力學勢密度表達式為

其中

式中Mq=m-2Gσ表示夸克有效質量, 其直接或通過凝聚間接依賴于溫度、化學勢和溫度等系統參量. 對于唯象模型, 需要認真對待模型的熱力學自洽性問題. 在準粒子模型中, 夸克有效質量也是化學勢和(或)溫度的函數, 模型的自洽性通過在系統熱力學勢密度添加一個也依賴于化學勢和(或)溫度的有效袋常數來實現[50-52]. 而在NJL模型中,夸克有效質量對系統參量的依賴關系由能隙方程自洽地決定:

(10)式的能隙方程可以明顯地寫成下面兩個式子:

和

其中n(x)=1/[exp(βx)+1] 表示費米分布函數. 這里需要說明的是, 如果能隙方程有多個不同解, 則只有滿足熱力學勢密度取最小值的解才是我們想要的解, 也是系統基態所對應的解. 在熱力學勢密度給定之后, 由熱力學基本關系式可以得到系統的同位旋密度、壓強和能量密度分別為:

(14)式中的Ω0為系統溫度、重子化學勢和同位旋化學勢都為零時的熱力學勢密度, 即Ω0=Ω(μB=0,μI=0,T=0).

3 數值結果和討論

兩味NJL模型有三個參數, 分別是夸克流質量m、四費米子相互作用常數G和為避免無窮大問題而引進的三維動量截斷Λ. 在NJL模型框架下, 通過正確重復一些我們所熟知的物理參量經驗值: pion介子質量mπ=0.134 GeV, pion介子衰變常數fπ=0.093 GeV 和真空中手征凝聚值σ0=2×(-0.25GeV)3, 可以擬合得到NJL模型的三個參數取值[53]:

為了方便與格點數據作比較, 這里引入ΔP≡ΔP(T,μB,μI)概念, 其具體表達式為

圖1 給出溫度T=0.124 GeV時歸一化同位旋密度nI/T3(上板面) 和歸一化壓強 ΔP/T4(下板面) 隨同位旋化學勢的變化關系. 黑色實線表示NJL模型結果, 而藍色實心圓表示格點數據[54]. 在考慮的同位旋化學勢范圍內, 歸一化同位旋密度和歸一化壓強與格點數據都符合得比較好, 尤其是在低化學勢區域. 不久前, 我們[43]和Avancini等[55]都比較了零溫下NJL模型、手征微擾論和格點QCD數值模擬結果, 發現三者在一定范圍內定量上一致. 結合這里有限溫的相符結果, 說明不論在零溫還是有限溫下, NJL模型在低能區的結果通常是可信賴的.

圖1 溫度 T =0.124 GeV時, 歸一化同位旋密度nI/T3(上板面) 和歸一化壓強 Δ P/T4 (下板面) 隨同位旋化學勢的變化關系. 藍色實心圓表示取自文獻[54]的格點數據Fig. 1. Normalized isospin density n I/T3 (upper panel)and normalized pressure Δ P/T4 (lower panel) as functions of μ I/mπ at fixed T =0.124 GeV. The blue circles are taken from Ref.[54] for comparison.

手征凝聚和pion凝聚分別是手征對稱性和同位旋對稱性自發破缺的序參量[31]. 圖2給出手征凝聚σ和pion凝聚Π隨同位旋化學勢的變化關系. 當μB=T=0 且μI＜mπ時 (黑色實線), 手征凝聚保持為非零常數, 而pion凝聚始終為零. 此時, 由于同位旋化學勢太小而不足以影響真空, 系統處于正常相; 在臨界化學勢μI=mπ處, 系統發生一個二級相變: 同位旋對稱性自發破缺, 帶正電和帶負電的pion介子成疊加態[38], 形成一個無質量的哥德斯通態, 系統處于pion超流相中[26]; 當μI＞mπ時, pion凝聚值隨同位旋化學勢的增加而迅速增加, 而手征凝聚則相應地隨同位旋化學勢的增加而減小. 為了探討溫度和重子化學勢對凝聚的影響, 圖2中還展示了分別對應于μB=0 和T=0.1 GeV (綠色點虛線),μB=0.3 GeV和T=0.1 GeV (紅色點線) 以及μB=0.6 GeV和T=0.1GeV (藍色虛線) 情形的曲線. 可以看到, 溫度以及重子化學勢的存在均使二級相變點向更大同位旋化學勢移動, 而且壓低pion凝聚值. 另外, 與μB=T=0的情形 (黑色實線) 相比, 溫度和重子化學勢在正常相中均壓低手征凝聚值, 而在pion超流相中更慢趨于零.

圖2 不同重子化學勢和溫度下手征凝聚σ和pion凝聚Π隨同位旋化學勢變化關系Fig. 2. Chiral and pion condensates as functions ofμI/mπ at different baryon chemical potentials and temperatures.

在探討奇異夸克物質性質以及其是否是QCD的真正基態時[56], 定義為E/nB的平均重子能量是一個非常重要的物理量, 這里E表示系統能量密度, 而nB表示重子數密度. 仿照平均重子能量E/nB的定義方式, 引入平均同位旋能量概念以研究同位旋非對稱QCD物質性質, 其數學表達式為E/nI. 圖3給出平均同位旋能量隨同位旋密度的變化關系. 圖中曲線從下到上依次對應于μB=T=0 (黑色實線),μB=0 和T=0.1 GeV (綠色點虛線),μB=0.3 GeV和T=0.1 GeV (紅色點線) 以及μB=0.6 GeV和T=0.1 GeV (藍色虛線) 的情形. 對于表示μB=T=0 情形的黑色曲線,其先是在靠近但小于臨界同位旋化學勢的區域快速上升, 并在相變點處向右上方有一個彎折之后,平均同位旋能量開始隨同位旋密度的增加而線性增加. 但當溫度和(或)重子化學勢不為零時, 平均同位旋能量不再隨同位旋密度單調增加, 而是先隨同位旋密度的增加而降低到極小值, 之后再隨后者單調增加. 曲線的極小值位置隨著溫度和重子化學勢的增大而向右上方移動. 除了表示μB=T=0 情形的黑色實線之外, 有限溫和(或)重子化學勢下的曲線行為與夸克物質平均重子能量隨重子數密度的變化行為十分相似[57].

圖3 不同重子化學勢和溫度下平均同位旋能量隨同位旋密度的變化關系. 曲線的標記方式與圖2相同Fig. 3. Energy per isospin as a function of the isospin density. Conventions for colors and symbols are the same used in Fig. 2.

圖4 給出歸一化同位旋密度隨同位旋化學勢μI/mπ的變化關系. 對于μB=T=0 的情形(黑色實線), 可以明顯看到同位旋密度在μI＜mπ區域始終保持為零, 系統處于正常相, 而在μI＞mπ區域開始隨著同位旋化學勢的增加而單調遞增, 表明pion凝聚的出現使系統的同位旋密度不再為零.對于分別表示μB=0 和T=0.1 GeV,μB=0.3 GeV和T=0.1 GeV,μB=0.6 GeV和T=0.1 GeV的綠色點虛線、紅色點線和藍色虛線, 三者有相似的變化行為: 在正常相和pion超流相中, 同位旋密度均隨同位旋化學勢的增加而近似線性增加, 且在臨界化學勢處各自有一個向左上方的彎折. 換句話說, 進入超流相后, 三條曲線所表示的同位旋密度隨同位旋化學勢的增長速度均(明顯)大于正常相中的增長速度. 不管是在正常相還是pion超流相中, 重子化學勢和溫度均起到了抬升同位旋密度的作用.

圖4 不同重子化學勢和溫度下歸一化同位旋密度隨同位旋化學勢的變化關系. 曲線的標記方式與圖2相同Fig. 4. Normalized isospin density as a function of isospin chemical potential at various baryon chemical potentials and temperatures. Conventions for colors and lines are the same used in Fig. 2.

致密物質的狀態方程是計算致密星體質量半徑關系必不可少的輸入量[39,40]. 圖5給出同位旋非對稱QCD物質的狀態方程, 其中圖5(a)是能量密度和壓強隨同位旋化學勢變化得到的結果, 圖5(b)是隨重子化學勢變化得到的結果. 圖5(a)中曲線所對應的參數以及標記方式與圖2相同, 即黑色實線、綠色點虛線、紅色點線和藍色虛線分別對應于μB=T=0,μB= 0 和T=0.1 GeV,μB=0.3 GeV和T=0.1 GeV,μB=0.6 GeV和T=0.1 GeV的情形. 可以看到四條曲線的行為非常相似: 除了在各自起點處有一個向右上方彎曲的弧度之外, 曲線的其余部分均近似呈線性增加. 為了將NJL 模型結果與格點數據作比較, 還在圖5(a)中內插一個圖, 黑色實線依舊表示μB=T=0 時得到的狀態方程, 而橙色陰影區域表示取自文獻[40]的格點數據. 可以看到零溫和零重子化學勢下的NJL模型結果與格點數據定量上相符. 有趣的是, 根據pion超流可以穩定存在的想法[38], 一種主要由pion超流物質組成的玻色星(即pion 星)被提出.依據是否滿足電中性條件以及電中性條件所考慮的輕子類型, pion星最大質量可以達到十倍乃至幾百倍太陽質量, 而其對應的半徑可達到幾十乃至上萬千米[40].

圖5 同位旋非對稱物質熱力學量分別隨(a)同位旋化學勢和(b)重子化學勢變化得到的狀態方程. 圖(a)內插圖的橙色陰影區域表示取自文獻[40]的格點數據Fig. 5. The equation of state obtained with the variation of(a) isospin and (b) baryon chemical potentials respectively,while the orange shaded area denotes the lattice data taken from Ref.[40].

圖5 (b)給出同位旋非對稱QCD物質熱力學量隨重子化學勢變化得到的狀態方程, 其中黑色實線、綠色點虛線、紅色點線和藍色虛線分別對應于μI=T=0 ,μI=0 和T=0.1 GeV,μI= 0.3 GeV和T=0.1 GeV,μI=0.6 GeV和T= 0.1 GeV的情形. 除了表示μI=T=0 的黑色曲線在起始點有一個近似豎直上升之外, 曲線的其他部分以及另外三條曲線均是隨壓強的增大而較為平緩地增加. 另書外, 表示μI=0.3 GeV和T=0.1 GeV,μI=0.6 GeV和T=0.1 GeV的紅色點線和藍色虛線在上升過程中均有一個明顯的彎折, 且前者比后者更明顯.這些彎折點對應于二級相變點.

通常來說, 致密星體物質的狀態方程越硬, 星體可達到的最大質量越大, 而狀態方程的軟硬程度, 可以由聲速的大小來判定: 在滿足因果律要求的條件下, 聲速越大, 狀態方程越硬, 從而致密星體可達到的最大質量也越大. 在溫度和重子化學勢保持不變的前提下, 聲速Vs可以由下式計算:

圖6給出不同重子化學勢和溫度下的聲速平方隨同位旋化學勢的變化關系. 對于μB=T=0 的情形(黑色實線), 在μI＜mπ的區域(即正常相中),由于同位旋化學勢太小而不足以影響真空, 所以由(14)式可知系統的壓強為零, 這進一步使得聲速平方隨同位旋化學勢的增加而保持為零; 而當μI＞mπ(即超流相中)時, 聲速平方開始隨同位旋密度的增加而快速增加; 在同位旋化學勢約大于兩倍pion介子質量之后, 聲速趨于飽和. 分別表示μB=0 和T=0.1 GeV (綠色點虛線),μB=0.3 GeV和T=0.1 GeV (紅色點線),μB=0.6 GeV和T=0.1GeV (藍色虛線)情形的三條曲線在正常相中的行為則與此略有不同: 雖然聲速平方也是保持為常數, 但這個常數并不為零. 而在超流相中聲速平方隨同位旋化學勢的變化行為與黑色實線相近, 均是在臨界點附近隨同位旋化學勢的增加而迅速增大, 隨后趨于飽和.

圖6 不同重子化學勢和溫度下聲速平方隨同位旋化學勢的變化關系. 曲線的標記方式與圖2相同Fig. 6. Sound velocity as a function of μ I/mπ at zero temperature at various baryon chemical potentials and temperatures. Conventions for colors and lines are the same used in Fig. 2.

值得一提的是綠色點虛線、紅色點線和藍色虛線在各自臨界點處, 聲速平方不連續. 前兩者在臨界點附近從正常相的非零常數值下降到某一個較小值, 然后聲速平方開始隨同位旋化學勢的增加而增加, 而表示μB=0.6 GeV和T=0.1 GeV情形的藍色虛線在進入超流相之后, 則直接跳到某個更大值, 隨后也開始隨同位旋化學勢的增加而增加.聲速在相變點處不連續的現象與文獻[58, 59]的描述相符. Pion凝聚的出現使狀態方程變硬, 這導致pion超流中聲速比普通核物質及夸克物質的都要大很多. 另外, 雖然pion超流中的聲速比普通核物質中的更大, 但是并沒有超過1, 因此滿足因果律的要求, 而溫度及重子化學勢的存在均使聲速減小, 但仍然大于普通物質中的聲速. 近些年天文觀測發現, 有幾顆質量接近以及大于兩倍太陽質量的致密星體[60-63], 對核物質和夸克物質狀態方程給出了很強的限制: 一部分理論模型由于給出的狀態方程太軟, 不足以支撐最大質量達到約兩倍太陽質量的星體而被排除掉. 對于這類具有約兩倍太陽質量以及未來若可能觀測到更大質量的致密星體[39]或具有較大聲速的星體[64], 考慮內部具有不同程度強作用pion凝聚的狀態方程將是一個自然且應該考慮在內的方案.

4 結 論

有限同位旋化學勢下pion超流的形成已經被多種理論方法證實. 本文將μB=T=0 時兩味NJL模型的狀態方程、溫度T=0.124 GeV時同位旋密度和壓強隨同位旋化學勢的變化行為與格點數據作比較, 兩種方法得到的結果在考慮的同位旋化學勢范圍內符合得較好, 尤其是在低密區. 隨后,進一步研究了重子化學勢和溫度對同位旋非對稱QCD物質狀態方程和熱力學性質的影響. 得到如下主要結論.

1)當μB=T=0 時, 除了在相變點附近曲線上升過程中有一個向右上方彎折之外, 在超流相中平均同位旋能量隨同位旋密度線性單調增加. 但進一步考慮溫度和重子化學勢的影響之后, 平均同位旋能量隨同位旋化學勢的變化行為與夸克物質平均重子能量隨重子數密度的變化行為十分相似, 即呈現非對稱的拋物線形狀, 而且溫度和(或)重子化學勢越大, 曲線極小值點向更大同位旋密度和更高能量移動.

2) 在以壓強為橫軸而能量密度為縱軸的圖形中, 對于熱力學量隨同位旋化學勢的變化得到的狀態方程, 如圖5(a)所示, 給定的重子化學勢越大,曲線整體上越向右上方移動. 與此相反, 對于熱力學量隨重子化學勢變化得到的狀態方程, 如圖5(b)所示, 同位旋化學勢越大, 曲線整體上越向右下方移動. 從聲速的計算公式(18)式來看, 這在一定程度上反映了超流相中重子化學勢具有軟化狀態方程以及降低聲速的作用, 而同位旋化學勢的作用恰恰相反: 使狀態方程變硬且升高聲速.

3) 非零重子化學勢和(或)溫度下的聲速在正常相和pion超流相的臨界點處不連續, 但在進入超流相后究竟是從正常相中的常數值跳躍到一個更小還是更大的值, 與系統溫度和重子化學勢相關. 另外, pion超流相中的聲速雖然滿足因果律要求, 但是明顯大于普通核物質及夸克物質中的聲速, 也偏離于理想氣體的值Vs2=1/3.

由于奇異夸克的質量與上和下夸克的差別并不十分懸殊, 致密星體可能包含奇異夸克自由度.當系統進一步包含奇異夸克自由度且滿足一定條件時, 系統會從正常相或pion超流相進入到帶電kaon介子凝聚所形成的kaon超流相[65]. 同位旋化學勢和奇異夸克化學勢的存在會影響輕子衰變性質, 甚至給出一些新奇現象[38]. 目前文獻中已有的手征微擾論結果只局限于密度較低的情形, 利用QCD有效模型研究介子超流相中輕子衰變性質具有重要意義.

感謝蘭州大學核科學與技術學院Marco Ruggieri教授和中國科學院近代物理研究所巢靜宜副研究員在數值計算和結果分析方面的討論.