關于恒成立問題的四種解題策略

齊 磊

(江蘇省豐縣中等專業(yè)學校 221700)

一、合理利用一次函數(shù)方法

若已知一個一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，并且y=f(x)在[m,n]內(nèi)有f(x)>0恒成立，那么由函數(shù)的圖象就可以很輕易得到上述結論與下式相等.

圖1

例1 給出條件如下：假設一個實數(shù)p滿足|p|≤2,求使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范圍.

思考這個題目的不等式中有兩個字母：x和p,把哪個字母看成是變量就是解決這道題的突破口，然后把另外一個當作是常數(shù)，如果將p當作是自變量，那么上述問題就變成了當p∈[-2,2]時，就可以得到p的一次函數(shù)值恒大于O.

解析由題意得，不等式x2+px+1>p+2x.

則(x-1)p+x2-2x+1>0.

二、合理運用二次函數(shù)法

也可以用韋達定理及根的分布的相關知識求解二次函數(shù)在某些指定區(qū)間上的恒成立問題.

例2 給出y=x2-2ax+2，存在f(x)≥a恒成立的條件是x∈[-1,+∞)，求a的取值范圍.

思考設法將問題轉化成x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立的問題，那么就可以把a移動到等式的左邊，這樣就簡單很多.

解析假設F(x)=x2-2ax+2-a.

①如果Δ=4(a-1)(a+2)≤0，等價于-2≤a≤1時，對一切滿足x∈[-1,+∞)，F(xiàn)(x)≥0條件的式子都恒成立；

②如果Δ=4(a-1)(a+2)>0時，與圖象相結合就能得到下面這些充分必要條件：

解得-3≤a≤-2.

結合上述分析，得a的取值在[-3,1]之間.

三、合理運用分離變量法

如果等式或者不等式中存在兩個變量，并且已知其中一個變量的范圍，題目要求是求另一個變量的范圍，而且可以通過恒等變形的方法將這兩個變量分別放在等式或者不等式的兩邊，那么就可以把恒成立問題轉變成函數(shù)的最大值或最小值來求解.

思考由題意可知，在不等式里有兩個變量a和x，其中告知了x的范圍(x∈R)，要求題中另外一個變量a的范圍，因此可以采用把a從式子里分離出來的方法.

f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3.

特別提醒：觀察到題目中有sinx和cosx,且cos2x=1-2sin2x，因此如果把sinx換元成為t，那么就可以把原來的不等式轉化成為一個關于t的二次函數(shù)類型.

除此之外，還有另一種解法：

因此f(t)在[-1,1]范圍內(nèi)單調(diào)遞減.

四、運用函數(shù)性質(zhì)法

思考因為原不等式成立的條件是自然數(shù)n要大于1，因此等式左邊的最小值應該大于等于右邊，可以先求等式左邊的最小值.

恒成立問題具有很高的研究探索價值，它不僅可以鍛煉學生的思維能力，還可以幫助學生學會從多個方面思考問題，培養(yǎng)了學生細心謹慎的品質(zhì)，幫助學生掌握基礎知識和提高運算能力.對于數(shù)學的研究也有巨大幫助，為數(shù)學的探究發(fā)展提供了新思路和新方法.