盛金公式與高考導數(shù)題奇遇記

劉穩(wěn)殿 柯遵友

(陜西省白河縣白河高級中學 725800)

人們對于求解一元三次方程的根有著執(zhí)著的追求，例如卡爾丹、范盛金分別給出了求一元三次方程根的方法與公式.文獻[1]重溫了卡爾丹的求解過程，文獻[2]在研究多項式函數(shù)零點的共性與個性時詳細介紹了盛金公式，盛金公式對于研究三次函數(shù)的零點做出了極大的貢獻.2018年全國Ⅱ卷文科數(shù)學高考導數(shù)題的第(2)問就是一個有關(guān)三次函數(shù)零點的問題，文獻[3]對于此題的解法有著詳細的描述.本文利用盛金公式重新證明了該高考題的第(2)問.

一、盛金公式內(nèi)容

對于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d∈R，且a≠0)，有重根判別式：A=b2-3ac，B=bc-9ad，C=c2-3bd，總判別式：

Δ=B2-4AC

當A=B=0時，盛金公式①：

當Δ=B2-4AC>0時，盛金公式②：

當Δ=B2-4AC=0時，盛金公式③：

當Δ=B2-4AC<0時，盛金公式④：

二、盛金判別法

當A=B=0時，方程有一個三重實根；

當Δ=B2-4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；

當Δ=B2-4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；

當Δ=B2-4AC<0時，方程有三個不相等的實根.

三、盛金公式應(yīng)用

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個零點.

解析(1)利用導數(shù)的常規(guī)解法，略.

所以方程f(x)=0只有一個實根.

即f(x)只有一個零點.

四、總結(jié)

盛金公式在求解三次函數(shù)零點問題時有著優(yōu)于分離參數(shù)法及討論極值法的便捷與迅速.但導數(shù)題中非三次函數(shù)的零點問題更適合利用導數(shù)工具進行分離參數(shù)或討論極值等方法進行求解.