從數學抽象素養的角度分析人教A版高中數學教材函數概念的抽象

白逸飛

【摘要】數學抽象素養是通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.數學抽象經歷了簡約階段、符號階段、普適階段，同時具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現形式.高中函數概念在高中階段是一個非常重要并且非常抽象的概念，所以，我們有必要從數學抽象素養的角度分析人教A版高中數學教材函數概念的抽象.本文將從數學抽象素養的內涵及水平劃分、階段及表現形式、各表現形式在人教A版高中數學教材函數概念中的體現三部分進行論述.

【關鍵詞】數學抽象;函數概念;內涵及水平劃分;階段;表現形式

一、引言

2014年，教育部頒布了《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，其中明確指出：研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準.2016年，《中國學生發展核心素養》發布，核心素養包含人文底蘊、科學精神、責任擔當、實踐創新、學會學習、健康生活.2018年，教育部頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》凝練并提出數學學科核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，同時其也指出數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，貫串在數學產生、發展、應用的過程中.從數學抽象素養的角度出發分析教材非常有意義.

函數是高中數學的重要內容，并且作為高中數學課程的一條主線.函數在高中階段是一個非常重要并且非常抽象的概念.高中階段函數的概念具有抽象性，很多學生不理解高中數學函數的概念，這對后續學習函數的內容產生了影響.所以我們很有必要從數學抽象素養的角度分析人教A版高中數學教材函數概念的抽象.

二、研究方法

本文采用文獻研究和案例分析的方法，收集關于數學抽象素養內涵及水平劃分、階段及表現形式方面的文獻，同時結合人教A版高中數學教材函數概念的教學案例，分析數學抽象素養的各個表現形式在人教A版高中數學教材函數概念中的體現.

三、研究問題

本文主要從數學抽象素養的角度分析人教A版高中數學教材函數概念的抽象，從數學抽象素養的內涵及水平劃分、階段及表現形式、各表現形式在人教A版高中數學教材函數概念中的體現三部分進行論述.

四、數學抽象素養的內涵及水平劃分

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.數學抽象的對象是空間形式和數量關系，數學在本質上研究的是抽象的東西.抽象是思維的基礎，學生只有具備了一定的抽象能力，對事物的認識才能從感性認識上升到理性認識，從而獲得事物的本質特征.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》把數學抽象素養水平劃分為三部分，水平一是高中學業水平考試的要求，水平二是高考的要求，水平三是大學自主招生的要求.水平一要求學生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則;能夠在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題;能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題;能夠解釋數學概念和規則的含義，了解數學命題的條件與結論;能夠在熟悉的情境中抽象出數學問題;能夠了解用數學語言表達的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想;在交流的過程中，能夠結合實際情境解釋相關的抽象概念.

水平二要求學生能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則;能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題;能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則;能夠理解數學命題的條件與結論;能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系;能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想;在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象.

水平三要求學生能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予以表達;能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題;能夠通過數學對象、運算或關系理解數學的抽象結構;能夠理解數學結論的一般性;能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系;在現實問題中，能夠把握研究對象的數學特征，并用準確的數學語言予以表達;能夠感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想;在交流的過程中，能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象.

五、數學抽象素養的階段及表現形式

數學抽象素養經歷了簡約階段、符號階段、普適階段三個基本階段.簡約階段指把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，并能夠清晰地表達;符號階段指去掉具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物在內的一類事物;普適階段指通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物.張勝利也認為數學抽象具有層次性，將數學抽象具體劃分為實物抽象、半符號抽象、符號抽象、形式化抽象四個表現形式.其中實物抽象和半符號抽象處于簡約階段，符號抽象處于符號階段，形式化抽象處于普適階段.

實物抽象指以實物為對象進行抽象，其在很大程度上依據人對實物的直觀感受.例如，教師在講解圓的概念時，引入車輪、圓月等實物，給人以圓的直觀感受，這是抽象的第一步.

半符號抽象指部分屬性已經從實物中提煉出來，但是并沒有完全脫離實物.例如，教師在講解函數的奇偶性時，通過觀察一些初中學過的具體的函數圖像，提煉出偶函數性質是定義域關于原點對稱，圖像關于y軸對稱，但是這些僅僅基于一些具體的函數，并沒有推廣到所有的偶函數，沒有完全脫離實物.

符號抽象指完全脫離具體的內容，抽象結果具有一定的可推廣性.下面我們列舉一個具體的例子：

一般地，設函數f（x）的定義域為I，區間DI：

如果x1，x2∈D，當x1