“鉛垂高”的最值在二次函數(shù)中的應(yīng)用

萬(wàn)旭光

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》多期刊文對(duì)“鉛垂高”的定義、應(yīng)用進(jìn)行了探討，本文沿用他們的定義，將夾在拋物線和直線之間與x軸垂直的線段稱為“鉛垂高”，并就其存在最大值或最小值的性質(zhì)及其應(yīng)用作一個(gè)粗淺的探究.

一、“鉛垂高”的最大值、最小值的探究

例1：如圖1，已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3與y=-x+3直線交于B、C兩點(diǎn)，P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，垂線PH交拋物線于點(diǎn)D，求PD的最大值。

解：設(shè)P（x，y），其中0

∴x=時(shí)，PD的最大值為

例2：如圖2，已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3圖象與直線y=x+4無(wú)交點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，垂線PH交直線y=x+4于點(diǎn)D，求PD的最小值。

解：設(shè)P（x，y）

∴x=時(shí)，PD的最小值為

小結(jié)：從以上兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，線段PD夾在拋物線與直線之間，當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PD的長(zhǎng)度是以P點(diǎn)橫坐標(biāo)x為自變量的二次函數(shù)，這樣PD長(zhǎng)度的最值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)無(wú)論拋物線開(kāi)口方向如何，當(dāng)直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)時(shí)，夾在直線與拋物線之間的“鉛垂高”，存在最小值;當(dāng)直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí)，夾在直線與拋物線之間的“鉛垂高”，在兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的區(qū)間上存在最大值.

二、“鉛垂高”最值的應(yīng)用

1.利用“鉛垂高”最大值，求三角形面積的最大值

例3：（2008·深圳） 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若點(diǎn)D（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AD下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APD的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APD的最大面積.

分析：（1）先求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求得二次函數(shù)表達(dá)式;（2）如圖4，作PH⊥軸，垂足為H，交AD于點(diǎn)E，作DG⊥PE，垂足為G，因?yàn)镾△APD=S△APE+

S△DPE=PE×（AH+GD）=PE×

=PE×3=PE，而“鉛垂高”PE有最大值，所以S△APD有最大值。

解：（1）y=x2-2x-3（過(guò)程略）

（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，如圖4，作PH⊥x軸，垂足為H，交AD于點(diǎn)E，作DG⊥PE，垂足為G，

∵xD=2，∴yD=-3

∴? D（2，-3），而A（-1，0）

∴直線AD為：y=-x-1

∴x=時(shí)，PE的最大值為 ，此時(shí)，P（，）

∵S△APD=S△APE+S△DPE=PE×（AH+

GD）=PE×=PE×3=PE

而PE最大值為，∴S△APD的最大值為.

變式：（2016·淮安）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0）.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S，求S的最大值.

分析：（1）略;（2）如圖6連接DF ，因?yàn)槠叫兴倪呅蜟DEF的面積S等于△FDC面積的2倍，所以求S最大值就轉(zhuǎn)化為求△FDC面積的最大值，而△FDC面積可以用“鉛垂高”法來(lái)求.答案請(qǐng)讀者自行完成。

2.利用“鉛垂高”，求點(diǎn)到直線距離的最大值

例4：如圖7，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），作PC⊥AB于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求PC長(zhǎng)的最大值;

分析：（1）略;（2）如圖8作PH⊥x軸，垂足為H，交AB于點(diǎn)D，因?yàn)镻C=PDcos∠DPC，而∠DPC=∠AEO，cos∠AEO是定值，所以只要求出“鉛垂高”PD的最大值，就可以得到距離PC的最大值。

解：（1）y=-x2+4x+1（過(guò)程略）

（2）如圖作PH⊥x軸，垂足為H，交AB于點(diǎn)D，

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則PD=（-x2+4x+1）-

（x+1）=-（x-）2+.

∴x=時(shí)，PD的最大值為，

在Rt△AEO中，cos∠AEO=，而∠DPC=∠AEO，∴cos∠DPC=.

在Rt△PCD中，PC=PDcos∠DPC=

PD.

∴當(dāng)PD取最大值時(shí)，PC的最大值為.

變式：如圖9，y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的解析式;

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，求△PFD周長(zhǎng)的最大值.

分析：（1）略;（2）如圖9由PH⊥x軸，PF⊥BC，可證△PDF∽△BCO，由△BCO三邊之比，可得△PDF三邊之比，所以只要求出“鉛垂高”PD的最大值，就可以得△PFD周長(zhǎng)的最大值.答案請(qǐng)讀者自行完成。

3.利用“鉛垂高”，求點(diǎn)到直線距離的最小值