透過(guò)中考，談初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

馮淦林

【摘要】新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，給出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)主要方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析，并從概念的界定及其在數(shù)學(xué)與生活中的作用和意義方面進(jìn)行了描述。其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力包括數(shù)、代數(shù)式、算法等運(yùn)算的能力。

【關(guān)鍵詞】中考;數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

2020年的廣東數(shù)學(xué)中考，對(duì)計(jì)算能力的要求較高，特別是根式的計(jì)算。往年的根式計(jì)算主要體現(xiàn)在化簡(jiǎn)求值中，但2020年則體現(xiàn)在方程的求解及函數(shù)中的計(jì)算。

例第21題 已知關(guān)于x、y的方程組與的解相同。

（1）求a、b的值;

（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為2，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由。

這道題不僅考察方程組，還考察了一元二次方程，一般先解每個(gè)方程組，再由解相同，得出解，而方程組中含有根式，顯然直接解每個(gè)方程組，計(jì)算量很大，但能抓住解相同，即對(duì)于x的值，即滿足方程組（1），又滿足方程組（2），對(duì)y也是一樣，聯(lián)立得到新的方程組，

解得，再代回方程組得：3a+2=-10，3+b=15，從而解得a=-4，b=12，∴x2-4+12=0，出現(xiàn)了根式系數(shù)的一元二次方程。一般用公式法，也可以用配方法求解。從解題過(guò)程可以看出，如果根式的計(jì)算不過(guò)關(guān)，這題很難完整解答，如果對(duì)方程解的理解不透徹，只會(huì)增加計(jì)算量，容易出錯(cuò)，而且影響后面的答題。

又例如，第25題（如題25圖） 拋物線bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO=3AO=3，過(guò)點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C、D，BC=CD。

題25圖

（1）求b、c的值;

（2）求直線BD的直線解析式;

（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上。當(dāng)△ABD與△BPQ相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

往年出現(xiàn)拋物線的題，拋物線的系數(shù)都是有理數(shù)的，而2020年就出現(xiàn)了無(wú)理系數(shù)。這給學(xué)生的計(jì)算設(shè)定了一定的難度。先由BO=3AO=3得：A（-1，0），B（3，0）代入得：，②-①得： ∴。這里的計(jì)算要把看成一個(gè)整體，若在②中先計(jì)算，再與①中的通分，顯然增大了計(jì)算量。接著把代入①得：，把看成一個(gè)整體，求得c=-。求得的b、c都是一個(gè)無(wú)理數(shù)，顯然對(duì)求解BD的解析式及Q的坐標(biāo)，是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。從解題過(guò)程中可以看出，學(xué)生除了要有扎實(shí)的計(jì)算基本功，還要有計(jì)算的技巧，才能事半功倍，提高解題的正確性及速度。

綜上兩題，2020年的中考，是沒(méi)有考綱的第一年，而且對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的要求也比較高，而對(duì)平時(shí)有關(guān)運(yùn)算的教學(xué)，更值得我們深思。比如，有理數(shù)及其運(yùn)算是整個(gè)初中數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)，有關(guān)式的所有運(yùn)算都是建立在數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)上。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生理解有理數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，并能用這些法則和運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。有理數(shù)的運(yùn)算不同于算術(shù)數(shù)的運(yùn)算：這是因?yàn)橛欣頂?shù)的運(yùn)算每一步要確定符號(hào)，有理數(shù)的運(yùn)算很多是字母運(yùn)算，也就是常說(shuō)的符號(hào)演算。

運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與推理能力的結(jié)合，這就要求我們既能正確地算出結(jié)果，又善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合理的運(yùn)算路徑，提高運(yùn)算的速度。所以在教學(xué)中要做到：

一、重視現(xiàn)實(shí)背景中對(duì)運(yùn)算意義的理解以及運(yùn)算的應(yīng)用

有理數(shù)是初中計(jì)算的基礎(chǔ)，又是與小學(xué)計(jì)算的銜接，要重視學(xué)生計(jì)算方法的培養(yǎng)。比如，小學(xué)沒(méi)有負(fù)數(shù)，只是非負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，而分?jǐn)?shù)的運(yùn)算是一個(gè)難點(diǎn)，所以在剛進(jìn)初一時(shí)，要加強(qiáng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)運(yùn)算能力的訓(xùn)練。而學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)后，運(yùn)算能力的要求也就高了，如果只是把運(yùn)算法則直接告訴學(xué)生，掌握的效果不明顯，可以用他們最熟悉的加扣分作為問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

在我們學(xué)習(xí)小組評(píng)價(jià)中，加分與扣分是相反意義的量。若我們規(guī)定加分為“正”，扣分為“負(fù)”，比如，加3分記為+3，扣2分記為-2。在一天中，某班的A到H組有以下情況：

（1） E組上午加了3分，下午不加不扣，那么全天共 加了3? 分，可列式為? （+3）+0=+3

（2）F組上午扣了2分，下午不加不扣，那么全天共 扣了2? 分，可列式為? （-2）+0=（-2）

（3）A組上午加了3分，下午加了2分，那么全天共? ? ? ? 分。可列式為

（4） B組上午扣了2分，下午扣了1分，那么全天共? ? ? ? 分。可列式為

（5）C組上午加了3分，下午扣了2分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

（6）D組上午扣了3分，下午加了1分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

（7） G組上午加了3分，下午扣了3分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

思考：觀察以上算式，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有理數(shù)相加，和的符號(hào)怎樣確定？和的絕對(duì)值怎樣確定？一個(gè)有理數(shù)同零相加，和是多少？互為相反數(shù)的兩數(shù)相加呢？

總結(jié)有理數(shù)加法法則：

通過(guò)加扣分這個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入新的數(shù)及其運(yùn)算，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也用于生活，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也讓學(xué)生真正理解有理數(shù)的加法運(yùn)算，并掌握算理和計(jì)算法則，引導(dǎo)學(xué)生循“理”入“法”，以“理”得“法”，并通過(guò)練習(xí)，促成運(yùn)算能力的形成。

二、要對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行優(yōu)化，這點(diǎn)在解題中更能體現(xiàn)它的優(yōu)勢(shì)

例如：利用有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)化運(yùn)算的一些小技巧有以下幾點(diǎn)：

（一）湊整（注意小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的互化，互為相反數(shù)的結(jié)合）