多智能體弱剛性編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)

楊秀霞，嚴(yán) 瑄，張 毅

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

1 引言

編隊(duì)控制是多智能體系統(tǒng)領(lǐng)域中研究最為廣泛的問題之一，其主要目的是驅(qū)動智能體使得系統(tǒng)達(dá)到期望的狀態(tài)。根據(jù)智能體的感知能力和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，編隊(duì)控制可以分為基于位置的控制、基于位移的控制以及基于距離的控制[1-2]。

在基于距離的編隊(duì)控制中，所有智能體不需要任何全局坐標(biāo)信息或任何坐標(biāo)系對準(zhǔn)來實(shí)現(xiàn)所提出的控制。只需要通過智能體間的距離來確定所需的編隊(duì)隊(duì)形，這就要求多個(gè)智能體之間的連接必須是剛性的[3-5]。在文獻(xiàn)[6]中，給出了基于梯度的控制策略，以實(shí)現(xiàn)剛性編隊(duì)的形成。在文獻(xiàn)[7]中，提出了一種基于Henneberg頂點(diǎn)加法的控制策略，以實(shí)現(xiàn)最小剛性編隊(duì)的形成。然而，隊(duì)形剛性需要知道大量的距離約束，在實(shí)際應(yīng)用中，這種要求并不容易得到滿足。為了減弱剛性的條件，文獻(xiàn)[8]提出了一種新的剛性概念——弱剛性。弱剛性編隊(duì)除了考慮距離約束之外，還引入了一些角度約束。因此，即使從剛性的觀點(diǎn)來看編隊(duì)是非剛性的，該編隊(duì)也可以進(jìn)行剛性變換。弱剛性是用來判斷附加角度約束的非剛性編隊(duì)能否保持其隊(duì)形(剛性)。文獻(xiàn)[9]把成對的、相對位移的內(nèi)積約束替換成角度約束，可以更加方便地描述編隊(duì)的弱剛性。并且提出了基于梯度的控制律，用于生成無窮小弱剛性編隊(duì)。該控制律針對的是一組單積分模型的智能體，沒有考慮系統(tǒng)中智能體的速度等狀態(tài)量。文獻(xiàn)[10]引入了二維空間中框架弱剛度矩陣和無窮小弱剛性的新概念，用弱剛度矩陣直接檢驗(yàn)框架是否為無窮小弱剛性。并將這些新概念應(yīng)用于一個(gè)具有梯度控制律的三智能體編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)[11]提出了廣義剛性和廣義無窮小剛性的概念，這些概念適用于二維和三維空間。將廣義無窮小剛性應(yīng)用于二維和三維空間中含有n個(gè)智能體的編隊(duì)控制問題，證明了廣義無窮小剛性編隊(duì)局部漸近收斂到期望的隊(duì)形。文獻(xiàn)[9-11]只是研究了無窮小弱剛性編隊(duì)的控制問題，并沒有考慮一般情況下弱剛性編隊(duì)的控制問題。

本文設(shè)計(jì)了一種弱剛性編隊(duì)控制器，適用于所有的弱剛性編隊(duì)(包括無窮小弱剛性編隊(duì))。所提控制器能夠在維持編隊(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的同時(shí)，最大限度地減少編隊(duì)內(nèi)部的信息交互量，降低通信復(fù)雜度，減少通信能量消耗；同時(shí)本文被控對象的系統(tǒng)動力學(xué)模型是二階系統(tǒng)，實(shí)際應(yīng)用范圍更加廣泛。

2 問題描述

2.1 剛性理論

有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的無向圖可以表示為G=(V,E)，其中V={1,2,…,n}和E?V×V分別表示頂點(diǎn)集合和邊的集合。本文考慮的圖均是無向圖，即邊(i,j) 和邊(j,i)是一樣的。關(guān)聯(lián)矩陣H=[hij]∈Rn×m的行和列分別對應(yīng)圖G的頂點(diǎn)和邊。為了方便研究，本文引入有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣H。 在關(guān)聯(lián)矩陣H中，邊(i,j)∈E對應(yīng)的列第i行為1 、第j行為-1，其余位置元素均為0。

在d維空間中，通過分配每個(gè)頂點(diǎn)一個(gè)坐標(biāo)pi∈Rd,i∈V，圖G可以用來描述多智能體編隊(duì)。剛性理論研究圖G(多智能體編隊(duì))是否能進(jìn)行剛性變換(平移、旋轉(zhuǎn)、反射)。

(1)

式(1)中，||eij||表示頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j之間的歐式距離。剛度函數(shù)gG(p)是認(rèn)識框架(G,p)的關(guān)鍵。

2.2 弱剛性理論

圖1 2種不同類型的框架示意圖

(2)

2.3 模型建立

在d維空間中考慮n個(gè)雙積器模型的智能體為：

(3)

式(3)中：pi∈Rd表示全局坐標(biāo)系∑g中智能體i的位置；vi∈Rd表示全局坐標(biāo)系∑g中智能體i的速度；ui∈Rd表示全局坐標(biāo)系∑g中設(shè)計(jì)的加速度輸入。

假設(shè)每個(gè)智能體的方位不需要與全局坐標(biāo)系保持一致，則∑local(i)表示智能體i的局部坐標(biāo)系。通過采用上標(biāo)表示坐標(biāo)系，智能體的雙積器模型可被寫為：

(4)

系統(tǒng)中智能體間的通信拓?fù)溆脽o向圖G=(V,E)來表示。假設(shè)每個(gè)智能體以自己的局部坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，測量其鄰近智能體的相對位置，以下測量可通過智能體i∈V得到：

(5)

Ep*,v*={[pT,vT]T∈R2nd:(pj-pi)T(pk-pi)=

(6)

下面對雙積器模型智能體的隊(duì)形形成控制問題陳述如下：

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 編隊(duì)控制律設(shè)計(jì)

由于編隊(duì)的通信拓?fù)涫怯扇鮿傂詧DGw=(V,Ew)給出，編隊(duì)控制律需要考慮成對的相對位移的內(nèi)積約束，因此剛性編隊(duì)的梯度控制律無法直接應(yīng)用到弱剛性編隊(duì)中，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)類梯度控制律。

定義一個(gè)局部類梯度函數(shù)：

(7)

式(7)中：kp>0；kv>0；γ是滿足假設(shè)2.1的函數(shù)。

假設(shè)3.1：函數(shù)γ∶R→R+，滿足下面2個(gè)條件。

1) 正定：γ(x)≥0，對?x∈R當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，γ(x)=0；

2) 解析：在0的鄰域U0內(nèi)，函數(shù)γ是解析的，基于函數(shù)ψi，智能體i的控制律可以被設(shè)計(jì)成：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)式(11)、式(12)、式(13)和式(14)，控制律(8)可以寫成：

(15)

式(15)可以簡寫成式(16)，即：

ui=-▽piψi(pi,…,pj,…,pk,…vi)-

kv▽viψi(pi,…,pj,…,pk,…vi)

(16)

3.2 穩(wěn)定性分析

定義一個(gè)全局性類梯度的函數(shù)：

(17)

多智能體系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)可被描述為一個(gè)哈密頓系統(tǒng)，即：

(18)

定義一個(gè)梯度系統(tǒng)：

(19)

(20)

定義一個(gè)全局性的梯度函數(shù)：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

由式(25)可以推出：

(26)

式(26)中：

梯度系統(tǒng)(22)在連接空間可以表示為：

(27)

定義李雅譜諾夫函數(shù)：

(28)

(29)

由式(26)、式(27)和式(29)，可知式(28)對時(shí)間求導(dǎo)可得：

(30)

定義3.1假設(shè)函數(shù)f∶D?Rnf→R在z∈D的鄰域內(nèi)是解析的，則在z的某些鄰域內(nèi)存在常量kf>0 和ρf∈[0,1)使得式(31)成立。

(31)

由定義3.1可以得到推論3.1。

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

綜上可知，對于哈密頓系統(tǒng)(18) 集合Ep*,v*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 仿真驗(yàn)證

圖2 由文獻(xiàn)[6]得到的剛性編隊(duì)隊(duì)形示意圖

圖3 本文算法得到的弱剛性編隊(duì)隊(duì)形示意圖

圖4 弱剛性編隊(duì)中邊漸近收斂到30

對比圖2和圖3，剛性編隊(duì)需要的邊數(shù)為9個(gè)，弱剛性編隊(duì)只需要5個(gè)，本文設(shè)計(jì)的控制器需要知道更少的邊來形成期望編隊(duì)隊(duì)形。圖5和圖6表明各智能體的速度趨近于0，有利于編隊(duì)的隊(duì)形保持。

圖5 智能體x軸方向速度趨向于0

圖6 所有智能體y軸方向速度趨向于0

5 結(jié)論

本文研究了二維空間弱剛性編隊(duì)隊(duì)形生成控制器，該控制器有效減少了編隊(duì)中通信邊的數(shù)量。將多智能體的運(yùn)動學(xué)模型描述為一個(gè)哈密頓系統(tǒng)，利用哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì)簡化了系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析。相比于生成剛性編隊(duì)的控制器，本文所設(shè)計(jì)生成弱剛性編隊(duì)的控制器需要更少的信息交互，而且不需要全局坐標(biāo)信息或坐標(biāo)系對準(zhǔn)即可實(shí)現(xiàn)對編隊(duì)的控制。另外，本文設(shè)計(jì)的控制器對所有弱剛性編隊(duì)均可適用，提升了應(yīng)用范圍。