CRTSⅡ型軌道板上拱變形的穩定與強度綜合分析

陳 醉，劉學毅，肖杰靈，張雯皓，李 威

(1.西南交通大學 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031；3.北京城建設計發展集團股份有限公司， 北京 100034)

CRTSⅡ型板式軌道(以下簡稱Ⅱ型板)是中國高速鐵路的主型無砟軌道結構之一，主要由軌道板、寬窄接縫、CA砂漿層和支承層等組成。軌道板通過寬窄接縫實現縱向連接，形成縱連式軌道結構體系[1-2]。位于軌道板和支承層之間的CA砂漿層對軌道板起垂向支承、調整作用。因受大規模施工作業、復雜的下部基礎變形和經時效應下的結構退化等因素影響，在列車荷載、溫度及水環境等多場耦合荷載共同作用下，Ⅱ型板極易形成板下脫空、局部傷損和初始上拱等病害，在極端高溫條件下會進一步引發上拱變形，并有系統性破壞的潛在風險，極大地威脅著高速行車的品質與安全，引起了廣泛關注[3-4]。

對于高溫作用下軌道結構的穩定性問題，學者們做了大量的研究，特別是鐵路無縫線路穩定性分析理論的建立，為跨區間無縫線路的廣泛應用奠定了堅實的基礎[5-8]。在初始缺陷等因素誘導下，Ⅱ型板等縱連式無砟軌道受高溫作用產生垂向上拱等問題也引起了廣泛關注[9]。文獻[10-11]通過有限元法對橋上縱連式無砟軌道的整體穩定性進行了分析。文獻[12-13]根據能量準則與彈性穩定理論得到了Ⅱ型板上拱的臨界溫度力與上拱曲線表達式。張向民等[14]考慮了Ⅱ型板上拱變形過程中砂漿層間黏結應力的影響，并研究了豎曲線地段的軌道板上拱穩定性。上述研究主要基于經典的穩定性分析理論，關注了軌道板的上拱穩定性問題，但忽略了與軌道板上拱變形同時存在的混凝土強度失效現象，未能將之統一考慮進行綜合分析。羅培林[15-16]基于材料的σ-ε曲線，通過解算彈性基礎梁發生復雜彎曲變形時的綜合因子與強度穩定因子，分析二者之間的內在聯系，建立了強度穩定綜合理論(CTSS)，該理論已成功應用于解決深海潛器、加筋板屈服、金屬疲勞等問題[17-19]。實踐表明，受軌道板施工質量和結構構造特點的影響，Ⅱ型板的上拱失穩亦多伴隨著強度失效，符合強度穩定綜合理論的研究范疇。但相較于金屬材料，鋼筋混凝土材料的拉壓特性差異較大，需要給予充分考慮。下面將基于CTSS理論，根據Ⅱ型板的材料及結構特性，研究高溫環境下上拱變形的強度與穩定綜合問題。

1 混凝土的σ-ε格式化算式

根據強度穩定綜合理論，材料σ-ε曲線可用極限平衡狀態參數Φ來綜合表征，表示結構在受彎與受壓兩種不同荷載作用下達到的極限平衡狀態。Φ的計算表達式為

(1)

圖1 混凝土σ-ε曲線格式化

(2)

式(2)即σ-ε曲線的格式化算式，亦稱作PL(c,m)曲線[15-16]。式中，a、b、c、m均為材料參數，可根據σ-ε曲線得出。

(3)

(4)

(5)

Ⅱ型板所用的C55混凝土在高溫環境下受壓的σ-ε曲線可用Desayi和Krishnan公式(D-K公式)確定[20]

(6)

(7)

圖2 不同PL(c,m)曲線與D-K公式對比

2 Ⅱ型板上拱的CTSS彈性分析

根據Ⅱ型板的結構特點[1-2]，做如下基本假定：

(1)軌道板簡化為均勻無限長的彈性平面梁，不考慮寬窄接縫傷損、假縫的影響。假定軌道板存在初始上拱變形，并忽略軌道結構橫向變形的影響。

(2)受溫度、水及列車動荷載等多場耦合荷載共同影響，砂漿層與軌道板間的黏結狀態在線路運營后將極大減弱甚至消失，故軌道板垂向上拱分析中，視砂漿層與板完全脫連，不考慮砂漿層的黏結強度。

(3)相對于軌道板，鋼軌自重及抗彎剛度均較小，因此忽略不計，同時忽略扣件系統的作用。

2.1 軌道板上拱形態

在溫度壓力作用下，軌道板將在有初始上拱變形的區段產生上拱變形。文獻[13]根據能量準則，并采用“等波長模型”推導了軌道板的臨界溫度力，該模型假設軌道板上拱與初拱弦長相等，這與實際情況存在差異，故需考慮弦長不等的情況。假定軌道板存在初拱矢度與弦長，由于Ⅱ型板為縱向連續結構，在軌道板的上拱過程中，其上拱段的邊界約束是處于鉸接與固結的中間狀態，且上拱弦長也會隨板中溫升發生變化，設其上拱變形曲線y、初拱變形曲線y0分別為邊界處無折角即一階導數連續的半波二次正弦曲線，表示為

(8)

式中：f0、l0分別為初拱矢度與弦長；f、l分別為上拱位移與弦長。假定上拱變形后的曲線為yT，滿足yT=y0+y的關系，見圖3。

圖3 假定變形曲線

在溫度力P的作用下，軌道板會產生軸向變形Δl，滿足Δl=ΔlT-Δl0的關系。其中,ΔlT為變形后的弧弦差，Δl0為變形前的弧弦差。設l中任一微小弦長dx對應的變形前后的弧長分別為ds0與dsT，則Δl可表示為

(9)

軌道板上拱過程中累蓄總勢能U由壓縮形變能U1、彎曲形變能U2與重力勢能U3組成，表示為

U=U1+U2+U3=

(10)

式中：EI為軌道板的彎曲剛度；ρ、g、A分別為軌道板密度、重力參數、軌道板橫截面積。根據能量駐值原理，得上拱位移f表達式為

(11)

式中：k為上拱弦長與初拱弦長比值。k與P的關系可表示為

(12)

2.2 軌道板上拱臨界狀態

根據式(11)、式(12)，若軌道板初拱線型固定，其上拱位移f受f0、l0、l共同影響。當式(11)的分母趨近0時，f趨近無窮大，可認定軌道板失穩屈曲，此時P即為失穩臨界荷載Pcr，l為失穩臨界弦長lcr。取4EIπ4-π2lcr2Pcr=0，可得Pcr的表達式為

(13)

式(13)表明，若軌道板發生失穩屈曲，計算Pcr的等效弦長為0.5lcr，即Euler屈曲方程中梁兩端固結的情況。雖然軌道板在上拱過程中邊界點的位置會發生改變，但上拱段邊界仍處于無折角的狀態。因此，軌道板的失穩特性與固結狀態下Euler梁的屈曲相同。式(13)亦可表示為

(14)

式中：σcr為失穩臨界狀態下軌道板截面的平均壓應力。軌道板在上拱過程中的彎矩有最大值Mmax，出現在x=0的剖面處，表示為

(15)

式中:kcr=l/lcr。當Ⅱ型板上拱達到彈性彎曲變形臨界狀態時，軌道板截面的彎曲應力σw與平均壓應力σl的合力等于抗壓強度極限σs，最大彎矩可表示為

Mmax=σwW=(σs-σl)W

(16)

式中:W為軌道板彎矩截面系數。定義φ=kcr2σs/σcr為強度穩定因子，該因子為一個判據，若φ<1.0，則強度失效在前；若φ>1.0，則失穩現象在前。聯立式(15)、式(16)，即可得到用強度理論建立的彈性彎曲極限平衡狀態的判別式為

(17)

(18)

(19)

根據Ⅱ型板的結構特點，取EI=6.035×107N·m2，ρ=2 400 kg/m3，A=0.51 m2，W=0.017 m3，σs=35.5 MPa。經式(19)計算，得不同初始上拱條件下，n與φ的關系，見圖4。其中，l0分別為3、6.5、10、13 m，f0分別為1、3、5、7.5、10、15、20 mm。

圖4 n與φ關系示意圖

根據Ⅱ型板的結構特性，以軌道板初拱弦長分別為一塊板長6.5 m、兩塊板長13 m為例，分析高溫環境下的上拱極限應力。現場調研表明，對于上拱嚴重路段，軌道板最大上拱矢度會超過10 mm，故分析初拱矢度為0～20 mm的情況。假定板中極限壓應力在升溫環境下滿足σl=EαΔT的線性關系，其中α=1.0×10-5℃-1為熱膨脹系數，ΔT為板中溫升。聯立式(12)、式(15)、式(17)得彈性條件下軌道板的上拱極限應力,見圖5。

圖5 彈性條件下軌道板上拱極限應力

由圖5可見，軌道板上拱極限壓應力與初始上拱密切相關。若初拱弦長為一塊板長，伴隨著初拱矢度的增加，軌道板上拱極限應力與初拱矢度大致呈線性遞減的關系。當初拱弦長為兩塊板長時，若初拱矢度小于5 mm，軌道板幾乎不會發生上拱，即綜合因子n=∞，σl=σs；初拱矢度大于5 mm后，溫度壓力引發軌道板上拱，極限應力呈遞減趨勢，其變化率逐漸增大，當初拱矢度大于10 mm后，極限應力的變化趨于穩定。現場調研結果表明：軌道板整體溫升幅值不會超過60 ℃，即板中溫度壓應力不超過21.3 MPa，其值與抗壓強度極限比值為0.6。結果表明，軌道板的極限壓應力均超過0.6的限值，因此，若結構變形處于彈性范圍內時，現場軌道板不會達到上拱臨界狀態。

3 Ⅱ型板上拱的CTSS塑性分析

Ⅱ型板為鋼筋混凝土結構，當板中應力超過比例極限后，其受力表現為非線性狀態，因此基于彈性條件的解析法所得強度穩定因子φ與綜合因子n會與實際情況產生誤差。下面通過有限元法分析塑性狀態下Ⅱ型板上拱變形的強度與穩定特性。

3.1 分析模型與參數

建立軌道板垂向上拱力學分析模型見圖6，相應的有限元模型見圖7。模型主要由軌道板和CA砂漿組成，忽略支承層、鋼軌和扣件系統對結構變形的影響。軌道板建立為尺寸0.1 m的可彎曲平面Euler梁單元，其混凝土材料在受壓狀態下的σ-ε曲線由D-K公式得出，見圖8。因現場Ⅱ型板在高溫環境下的上拱不涉及軟化階段，故主要考慮圖8中實線部分的σ-ε曲線。由于軌道板在上拱過程中的上拱弦長會隨板中溫升而發生變化，為消除邊界影響，在初始上拱段兩端建立了長度為100 m的水平延伸段。由于砂漿層黏結拉力有限，在有限元模型中，軌道板與支承層之間的約束簡化為只有單向壓縮功能的非線性彈性約束，模擬砂漿層的彈性支承剛度，力-位移關系曲線由CA砂漿彈性模量等效轉換獲得[1-2]，見圖9(位移以彈簧受拉為正，受壓為負)。軌道板在高溫環境下的溫度壓力則通過施加板中溫升荷載模擬，同時在兩端施加等效約束力P使軌道板達到溫度力的平衡，滿足P=EαΔTA的關系。

圖6 軌道極重向上拱力學分析模型

圖7 有限元模型

圖8 混凝土σ-ε曲線

圖9 砂漿層垂向力-位移參數曲線

模型主要計算參數見表1。

表1 主要計算參數

3.2 臨界狀態分析

圖10 φ與l0、f0的關系示意

圖10結果表明，隨著軌道板應力的增加，板中應力與應變的變化率逐漸減小，至應力達到抗壓強度極限時，一階導數為0，故軌道板在上拱過程中的系統穩定性降低。因此混凝土的受力表現為塑性時，若軌道板發生上拱，強度穩定因子φ大于1.0；此外，當初拱矢度趨于0時，軌道板不發生上拱，即φ=0。故軌道板在塑性變形條件下，其在高溫環境下僅表現為綜合因子n=1.0或n=∞兩種情況。由于塑性狀態下的軌道板上拱問題具有高度非線性，解析法難以得出上拱弦長的精確解，故采用數值方法分析強度穩定因子φ與l0、f0的變化關系。根據圖10，當φ>1.0時，其值與l0、f0的關系可近似為

φ=0.803 8+0.059 81l0+47.66f0-

0.007 378l02+6.756l0f0-2 031f02+0.000 244l03-

0.591 5l02f0+249.5l0f02

(20)

圖11 不同φ條件下的極限應力

圖12 極限狀態下f0與l0關系

圖12表明，當l0約為一塊板長6.5 m時，軌道板最易達到上拱臨界狀態，此時強度穩定因子φ若要維持1.5的限值，f0應小于8.7 mm。此外，若l0<2 m，軌道板則不會達到上拱臨界狀態。故為保持現場Ⅱ型板的正常運營，若軌道板發生初始上拱，初拱矢度不宜超過8.7 mm，初拱弦長不宜超過2 m，此外應密切關注初拱弦長為6.5 m時可能引起的強度穩定綜合失效問題。

4 理論驗證

通過現場縮尺模型試驗驗證前述分析的合理性、可用性。按1∶20的比例建立尺寸為2 200 mm×120 mm×9 mm的縱連式軌道板模型，見圖13。模型試驗板采用石膏板，材料參數[21]見表2，其中塑性狀態下石膏板的σ-ε曲線由D-K公式得出。考慮現場試驗的可操作性，模型通過在板中底部塞入鋼片的方式模擬軌道板的初拱變形，單塊鋼片的厚度為3 mm。

圖13 縱連式軌道模型

表2 石膏板材料參數

模型一端固定，另一端僅允許縱向位移。通過千斤頂在加力端施加端部力模擬整體溫升荷載(見圖13)，由0加載至極限荷載，并由壓力傳感器監控端部力大小。由于石膏板表面黏合的護面紙能提高其抗折強度，故可通過保留護面紙的方式得出失穩極限荷載，割斷護面紙后即可得試驗板的強度極限荷載。穩定失效與強度失效后的試驗板見圖14。

圖14 試驗板失效

由圖14可見：石膏板試件因其構造特點，試驗過程中的強度失效表現為失穩屈曲發生后的折斷，故對于此類材料，失穩現象在前。將現場試驗參數與邊界條件代入推導公式與有限元模型計算，并與試驗結果進行對比。由于模型具有尺寸效應，故通過Weibull統計理論進行修正，公式表示為[22]

(21)

(22)

式中：r為試驗強度與理想強度的比值；σ0、σ1分別表示體積為V0、V1的物體的平均強度，在此分別代表理想強度與試件強度；q為Weibull模量，反映材料的勻質度大小；Cv為離散系數，即標準差與平均值的比值。在f0分別為0、3、6 mm的條件下各進行十組加載，測得試驗板極限荷載的平均值、標準差、Cv值、q值及r值，見表3。

表3 極限荷載統計參數

表3表明，試驗板的初始上拱對離散系數幾乎無影響，故求均值得Cv=0.041 89，據此可推算出r=1.357。故現場縮尺試驗所得極限應力應為理論值的1.357倍。將極限荷載換算為相應的應力狀態，并由式(21)、式(22)修正，其結果與彈性、塑性狀態下理論分析值的對比見表4。

表4表明：理論值與試驗結果吻合得較好。塑性狀態下所得極限荷載與修正后的試驗結果更為接近，其偏差均小于10%的限值，最大偏差約為5%，可說明石膏板的受力表現為塑性；彈性條件下所得極限荷載略大于修正后的試驗結果，最大偏差約為15%，故彈性條件下所得極限荷載的結果偏于安全。

表4 修正后的極限應力對比

經驗證，基于CTSS理論的Ⅱ型板上拱彈、塑性模型可用于深入分析其在高溫環境下的穩定與強度綜合問題。

5 結論

(1)Ⅱ型板所用混凝土的σ-ε曲線可表示為PL(4,-0.252)形式的格式化曲線，該曲線可利用確定極限平衡狀態參數的判據求解Ⅱ型板上拱的強度穩定綜合問題。

(2)綜合因子n能說明軌道板上拱過程中彈性彎曲極限平衡狀態的性質。n越大，軌道板越不易發生上拱變形。當n=∞時，軌道板在高溫環境下僅受表現為軸向受壓狀態；當n=1.0時，系統的臨界狀態表現為失穩；當n>1.0時，軌道板表現為上拱的壓彎狀態。

(3)軌道板若處于彈性變形范圍內，則不會達到上拱臨界狀態；若表現為塑性變形，強度穩定因子φ不宜超過1.5的限值，即f0不宜超過8.7 mm，l0不宜超過2 m；當l0約為一塊板長6.5 m時，軌道板最易達到上拱臨界狀態。