《數(shù)學(xué)分析》初學(xué)中存在的問題及其成因

王雅萱

◆摘? 要：《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)是個(gè)難點(diǎn)。本文分析大一學(xué)生在概念定義、數(shù)學(xué)觀念、問題解決、知識結(jié)構(gòu)、自主自學(xué)和數(shù)學(xué)思考等方面存在問題及其成因，以提高《數(shù)學(xué)分析》教和學(xué)的效果。

◆關(guān)鍵詞：《數(shù)學(xué)分析》;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);學(xué)習(xí)能力

《數(shù)學(xué)分析》內(nèi)容理論性比較強(qiáng)，抽象嚴(yán)謹(jǐn)，客觀上給學(xué)生造成了理解難度，初次學(xué)習(xí)不易獲得學(xué)習(xí)成功感受。多數(shù)學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》，表現(xiàn)為死記硬背，不求甚解，套用教材例題完成作業(yè)，學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》僅為了考試通過，缺乏學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī)。本文針對目前大一學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》存在問題及原因進(jìn)行探討，或許對《數(shù)學(xué)分析》教與學(xué)有所啟發(fā)。

1概念定義方面

《數(shù)學(xué)分析》概念是《數(shù)學(xué)分析》思維基本形式，而概念的形式化和符號化結(jié)果是概念定義，是抽象的。學(xué)生能夠理解概念表象，但并不能運(yùn)用概念定義按照邏輯規(guī)則證明命題或解決問題，尤其不能用概念定義構(gòu)造思路，表現(xiàn)為概念內(nèi)涵理解不到位。如，學(xué)習(xí)了函數(shù)極限ε–δ多種定義后，不會(huì)利用定義證明函數(shù)極限題目，不能表達(dá)“因變量變化趨勢”與“自變量變化范圍或鄰域”之間的相互依賴的量的關(guān)系。這些問題產(chǎn)生緣由，一方面在于學(xué)生思維方式還處于初等數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)型，沒能過渡到形式化思維，對于定義中涉及到符號邏輯關(guān)系理解不清。學(xué)生對概念的建構(gòu)也僅僅是處在一個(gè)程序階段，沒有進(jìn)入抽象階段。所以，他們難以建立來自于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維方式。另一方面在于教師教學(xué)時(shí)，沒有創(chuàng)設(shè)概念定義的認(rèn)知圖式，不利于形成豐富的概念具象;沒有從言語、符號、圖形等表征有邏輯地推理式理解，不能形成定義的模式結(jié)構(gòu)，在證明過程中也就不能有效的利用模式定義構(gòu)建思路。

2數(shù)學(xué)觀念方面

有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種游戲，學(xué)數(shù)學(xué)是背記定義定理，套例題，練習(xí)習(xí)題，要想解決數(shù)學(xué)問題必須多練習(xí)，借用典型題目是學(xué)生常用解題策略，至于其中的數(shù)學(xué)思想方法不作為學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生不去提供實(shí)際例子來說明教師的講課內(nèi)容。對于數(shù)學(xué)考試中的問題，在他們看來，研究試題的求解對考試來說是比較有用的，而定理的證明往往不太有用，除非考試前有明確告知。而授課過程中的一些評論或注釋則認(rèn)為是比較有用的，這大概是因?yàn)榭荚囍袝?huì)涉及到這些知識點(diǎn)的緣由。如，初學(xué)《極限與連續(xù)》時(shí)，它涉及到極限理論相對抽象，學(xué)生不愿思考概念的來龍去脈，只是把重點(diǎn)放在求極限的例習(xí)題上。這些問題產(chǎn)生緣由，一方面在于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷中形成的傳統(tǒng)認(rèn)識，以為數(shù)學(xué)知識是真理，學(xué)生只能復(fù)制運(yùn)用。即使到了高等數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)，科學(xué)數(shù)學(xué)觀念仍然沒有建立起來，表現(xiàn)為只注重?cái)?shù)學(xué)思維的結(jié)果而不注重思維的過程，缺乏批判數(shù)學(xué)知識的意識性和主動(dòng)性，很少去“再創(chuàng)造”自己數(shù)學(xué)知識。另一方面在于教師教學(xué)時(shí)，提供給學(xué)生都是一些算法和常規(guī)訓(xùn)練，這就使得學(xué)生在解決這類問題時(shí)也慣于進(jìn)行常規(guī)思維，高水平認(rèn)知技能得不到鍛煉，《數(shù)學(xué)分析》思維也就得不到發(fā)展。機(jī)械地傳授知識，沒有引導(dǎo)學(xué)生深究知識的來龍去脈，也沒有發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念得不到有效的糾正。

3問題解決方面

學(xué)生解決問題僅限于模仿例題完成，獨(dú)立地運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題或證明命題感覺不足，課后練習(xí)參考答案或抄襲別人情形居多，沒有形成應(yīng)用《數(shù)學(xué)分析》知識解決問題的能力和信心，學(xué)生對問題解決表現(xiàn)出一些恐懼，尤其是證明題目，不能從所學(xué)知識中構(gòu)造出解題思路，不能全面地考慮推理過程，不能理解邏輯推理的數(shù)學(xué)意義和本質(zhì)，對于解決數(shù)學(xué)問題是旁觀者。產(chǎn)生這些問題緣由，一方面在于學(xué)生沿襲以往的解題模式，缺乏條件和結(jié)論以及所涉及到的數(shù)學(xué)模型的全局性思考，不具備研究性思維方式。另一方面在于教師教學(xué)時(shí)，為了趕任務(wù)和進(jìn)度，只重視知識傳授，學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力培養(yǎng)不足，沒有在問題解決過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)知識和方法學(xué)習(xí)，沒有采用探究性學(xué)習(xí)方式。在證明命題教學(xué)中，沒有引導(dǎo)學(xué)生使用模型、例子、視覺等表達(dá)數(shù)學(xué)，即解釋數(shù)學(xué)，Moore（1994）提出解釋性對話是一種元數(shù)學(xué)，證明需要解釋來揭示證明的思想內(nèi)涵。其次，沒有提出證明的一個(gè)全局的視角，即證明框架，Leron（1985）認(rèn)為證明框架就是意味著證明思路的一個(gè)高水平結(jié)構(gòu)的表征，依賴于細(xì)節(jié)性知識，可能是一個(gè)命題序列，或是一個(gè)整體思路。要激發(fā)學(xué)生討論各種證明方法和思路，學(xué)會(huì)構(gòu)造例子解釋，并體會(huì)證明中的推理規(guī)則和邏輯結(jié)構(gòu)。

4知識結(jié)構(gòu)方面

學(xué)生初學(xué)《數(shù)學(xué)分析》時(shí)，僅掌握一些孤立的定義、定理和例題習(xí)題，至于其內(nèi)在聯(lián)系學(xué)生不大注意，認(rèn)為沒必要搞清楚，只會(huì)做題考試就行。學(xué)生知識成線性化、條塊化和平面化，沒有形成網(wǎng)絡(luò)化、層狀化和立體化，不利于知識的利用和提取。知識間內(nèi)在聯(lián)系不緊密，不能面對問題提取信息構(gòu)成解題模式。如，學(xué)生學(xué)了極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)后，僅限于孤立內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題解決，對于綜合題目以及證明推理問題感到困難。造成問題緣由，一方面在于學(xué)生對知識學(xué)習(xí)的意義沒搞清楚，對知識之間的內(nèi)在邏輯沒搞清楚，沒有很好地應(yīng)用知識解決問題，沒有按照數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的過程體會(huì)知識的來龍去脈，正如Tall所說的三個(gè)世界的行進(jìn)：感知—運(yùn)算—形式化，對所學(xué)知識沒能進(jìn)行反思，知識之間的聯(lián)系和信念也體會(huì)不到，沒有形成對知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)看法。另一方面在于教師教學(xué)時(shí)，過分強(qiáng)化習(xí)題演練，沒有引導(dǎo)對新舊知識的對比分析，對問題解決中的數(shù)學(xué)知識思想方法的分析應(yīng)用強(qiáng)化不夠，沒有對所學(xué)知識進(jìn)行歸納總結(jié)，甚至一本書的思想認(rèn)識的分析串講。

5自主自學(xué)能力

初學(xué)《數(shù)學(xué)分析》時(shí)，大學(xué)生對內(nèi)容體系和作用意義不夠清楚，沒有應(yīng)有的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣。表現(xiàn)為，不做課前預(yù)習(xí)，也不做相似教材的比較學(xué)習(xí)，不能主動(dòng)地學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》。剛上大學(xué)時(shí)，也不知道怎樣做筆記，聽老師講課，做作業(yè)，面對一堂課這么多的定義定理，又復(fù)雜又抽象，感覺到僅靠記憶有些力不從心，必要的學(xué)習(xí)方法不能及時(shí)形成，不能跟蹤教師做好《數(shù)學(xué)分析》深度學(xué)習(xí)。造成這些問題緣由，一方面學(xué)生形成《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)方法，仍是慣用高中學(xué)習(xí)方式，模仿例題做習(xí)題，來應(yīng)付考試，不能抓住《數(shù)學(xué)分析》的知識核心本質(zhì)，體會(huì)不到數(shù)學(xué)知識的思想方法。另一方面教師教學(xué)時(shí)，沒有比較初等數(shù)學(xué)與《數(shù)學(xué)分析》的特點(diǎn)，知識體系結(jié)構(gòu)的形成，以及課程與教學(xué)的要求，尤其是大學(xué)數(shù)學(xué)的形式化、系統(tǒng)化和演繹化的看法，以及這些知識內(nèi)容背后的探究過程，以至于提供幫助學(xué)生理解的具體素材，如具體直觀的表達(dá)形式，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識的原始路徑，專業(yè)知識背景的數(shù)學(xué)模型了解等。

6數(shù)學(xué)思考能力

初學(xué)《數(shù)學(xué)分析》時(shí)，多數(shù)學(xué)生沒有發(fā)展起元數(shù)學(xué)思考能力，即確信性和解釋性的關(guān)系性思考，僅限于操作性思考，也沒有發(fā)展起來辯證思維能力。形式推理能力水平不高，影響著學(xué)生對《數(shù)學(xué)分析》的知識思考，數(shù)學(xué)定義的形式化認(rèn)識不能有效形成，不能利用概念定義進(jìn)行證明思路的構(gòu)造，對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的內(nèi)在邏輯聯(lián)系搞不清楚，影響著《數(shù)學(xué)分析》的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，沒能實(shí)現(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》改善學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的目的。造成這方面問題的緣由，一是學(xué)生沒有從數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的角度體會(huì)知識產(chǎn)生的緣由，以及知識產(chǎn)生過程的本原性思考，不能產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)認(rèn)識。另一方面，教師教學(xué)時(shí)，教師過多圍繞知識安排教學(xué)，沒有對數(shù)學(xué)思考進(jìn)行引導(dǎo)，沒有從知識思想方法引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行思考，以及批評質(zhì)疑。在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)時(shí)，要進(jìn)行辨證分析，進(jìn)而在合情推理能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。

大學(xué)生在初次學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》中存在許多難以克服的問題，分析其產(chǎn)生緣由，及時(shí)查漏補(bǔ)缺，總結(jié)反思，有助于掌握《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)方法，也有助于教師提高《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)的有效性。

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