基于思維型課堂的初中數學解題探究

張瑩蘭

數學以其縝密的邏輯向人們展示著它的美，多元化的思維訓練，可以通過“一題多解”得到實現。采用一題多解的形式進行教學，能喚起學生學習數學的興趣，讓學生積極主動地參與到課堂中來，下面結合本人的教學實踐，談談我在教學中一題多解的做法。

題目：如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，CM⊥BD，AN⊥BD，垂足分別為M，N，四邊形AMCN是平行四邊形嗎？若是，請用兩種不同的方法證明;若不是，請說明理由。

法一：連結AC，交BD于點O，由平行四邊形的性質得到AO=CO，BO=DO，證明△ABN≌△CDM，所以BN=DM，得到NO=MO，依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

法二：證明△ABN≌△CDM，所以AN=CM，證明AN平行CM，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

師：以上兩種方法分別從邊以及對角線角度證明平行四邊形，再結合全等三角形。

生：老師，我還有一種方法，因為平行四邊形ABCD，所以△ABD≌△CDB，所以兩個三角形的面積相等，因為AN⊥BD，CM⊥BD，所以AN和CM分別是兩個三角形的高線，得到AN=CM，由“內錯角相等，兩直線平行”求證出AN平行CM，所以四邊形ANCM是平行四邊形。

師：你們能理解這位這個方法嗎？感覺這個方法好不好？

（學生都對該生投去崇拜的眼神，該生很開心）

師：但是你們覺得這個方法有沒有局限性？

生：若CM不垂直于BD，AN不垂直于BD，則這兩條不是高線，那就不能用了。

師：回答得很好，所以我們在選取方法時一定要注意它的使用條件，但是這個想法非常好，平時做題多想解題方法，那么做題時我們就能選對簡單的方法，提高做題效率。

以上大部分的解題方法涉及了三角形的全等以及平行四邊形的判定。這是每個學生在做這種題型時的思考方向。所以我們可能覺得不會很特殊，學生能想到這些方法也是說明他們對這些知識點的掌握還是比較扎實的。對于最后一種解法，嚴格來說它的使用是有一定的局限性的，因為他采用的是平行四邊形的一條對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角形，那么兩個三角形的面積完全相等，這條對角線又可以當作這兩個三角形公共的底邊，由圖形可知，AN和CM剛好可以當作這兩個三角形的高線。根據等面積，等底邊，從而得到兩條高線相等。即AN和CM相等。若采用這種方法，很明顯我們知道它的局限性就在于若兩條線段不垂直于對角線的時候，那么這兩條線就不能看成高線，所以最后的結論也就不一定會成立，所以緊接著我先肯定了這種方法非常的好，簡單易懂，但是也向學生點明了它的局限性。說實話當時連我自己都還沒有想到這種方法，其他學生聽到此種方法時幾乎所有學生都對他投去了崇拜的眼神。那時候我意識到對于這道題的講解是多么的有意義，學生的表現讓我看到了數學教學的希望和樂趣。課后，我對這節課進行了深刻的反思，首先悟到了“一題多解”教學方式帶來的很多優勢，分別有以下幾點：

一、“一題多解”有利于幫助學生梳理、并深刻理解所學知識

為什么對于一道題目，會有不同的解法，因為好多知識點看似是零散的，但其實它們都是相通的，是一個完整的、互相聯系的知識體系。那為什么有些學生能快速解題，并且有多種解法，而有些學生可能連一種方法都想不出來。這是跟每位學生現階段的數學知識水平有關。有些學生知識是學一塊是一塊，學后面忘記前面，但是有些學生他能主動在課下把所學的相關的知識點進行比較，聯系，整合。那么對于一道題他想到的就不單單只是一道題，而是這道題考查的所有知識點，然后整合后采取不同的方法達到同一個結論。在平時的教學中，如果老師能不斷的滲透“一題多解”的思想，其實也就是有意識地引導學生對所學知識進行整合，理解，形成一個完整的知識體系，在這個過程中也就幫助學生梳理、并讓他們能深刻理解所學知識。

二、“一題多解”有利于鍛煉學生的思維能力，提高做題的效率

所有的考試無非都是在有限的時間里獲得最高分數。所以這就要求學生提高自己的做題能力，減少每道題的思考時間，提高做題的效率。那么這個完全可以靠“一題多解”去實現。有些題目我們一看，覺得好像是用這種方式、方法是可以解出來的，但是深入進去后發現此種方法是行不通的。面對這種尷尬，會有兩種情況：①有些學生因為實在想不出其他方法，所以即使目前這種方法行不通，在走投無路的情況下他還是會繼續讓這個方法行得通，所以自己去創造“條件”，此時思考過程不存在嚴謹性，而是糊弄過去的。嚴謹性恰恰是數學所需要的，所以只有極少數人憑著運氣去蒙對，大多數人還是會錯的。②當此種方法已經行不通，也就是條件不足時。有些個學生馬上就會轉向其他的方向再重新思考該道題目，可能在你想到其他方法的時候會再度面臨解不出的情況，但是這樣的學生還是會馬上想另外一種方法。功夫不負有心人，可能真的在嘗試了多種方法后就解出來了。這就是學生在平時采用“一題多解”養成習慣后，他的思維能力得到了鍛煉，其實也拓寬了他的解題思路。不會黔驢技窮，那么他們的解題速度就會變快，也就能在有限的時間內獲得更多的分數。所以往往在考試中，得時間者，必有高分。

三、“一題多解”有利于學生發現數學的美，并樹立學數學的信心

當我提問還有不同的解法的時候，很多學生就開始討論思考，并特別積極的舉手，從他們的表現中看出他們特別享受這一個過程，也特別地喜歡數學。當那個學生說出采用面積相等的方法去解題的時候，我也馬上對他的這個方法進行肯定，并及時表揚該學生這個方法特別的好。當時所有學生都投去崇拜的眼神。我想那時候，對于想出這個方法的學生來說他是無比自豪和開心的。可能他會想原來數學并沒有那么難，而且在獲得表揚和肯定后，他學數學的信心就來了。而對于其他同學來說，他們也是體驗到了這種樂趣，原來這道題目這么神奇，有那么多的方法可以解，竟然還有一種這么簡單的方法，所以他們也會對數學產生了學習的興趣。既然“興趣是最好的老師”，那么他們在平時的數學中采用“一題多解”后就不會覺得數學有那么難，有了信心更會下意識地去鉆研數學，那么他們肯定會發現數學中的美，這有助于學生去喜歡數學，這就成了一個良性循環的過程。