比定義更重要的是什么

趙斌華

何為方程？人教版教材中的定義是“含有未知數(shù)的等式就是方程。”準確來說，這是一種靜態(tài)描述，描述的是方程的外部特征。方程還是一種關系，一種模型，其本質特征是將未知數(shù)和已知數(shù)連接起來的“等價關系”。“方程的意義”承載著算術思想到方程思想過渡的重要任務，是小學數(shù)學中用代數(shù)思想解決問題的敲門磚。因此，筆者嘗試在教學中不僅僅滿足于讓學生根據(jù)方程外在形式的定義去辨別方程，更引領著學生從更深層次認識“方程”。

一、分類感知，認識方程的“形”

認識方程，先從“形”開始。“含有未知數(shù)”和“等式”是方程的兩個必要因素，先理解“等式”還是先找到“含有未知數(shù)”，二者并列，并不沖突，但若將兩種分類標準獨立展開，分類后的式子就有點離散。于是，筆者嘗試著將式子按兩種不同的分類標準進行巧妙擺放，既保留分類的痕跡，又能體現(xiàn)出共有的特征，并由此得到了一個“四區(qū)域”的集合圈。

【片斷一】

1.天平中感受等式與不等式

學生根據(jù)天平的情況，列出相應的式子：①40+X=100;②50+2X[<]180;③80+70=100+50;④3X=180;⑤65+30[>]80;⑥50×3=100+2X;⑦20+30=50;⑧20+x﹥100

2.分類中感知方程的兩要素

學生給算式分類：

第一種：有未知數(shù)的①②④⑥⑧;沒有未知數(shù)的③⑤⑦。

第二種：是等式的①③④⑥⑦;不是等式的②⑤⑧。

教師根據(jù)學生的分類，將算式分成了四個區(qū)域。

3.集合圈中理解方程的“雙重屬性”

引導學生從集合圈中理解方程既“含有未知數(shù)”，又是“等式”的雙重屬性。

【分析】天平是學生熟悉的工具，也是方程認識中比較有效的載體。利用天平中的平衡和不平衡情況，先引導學生列出等式、不等式，有未知數(shù)和沒有未知數(shù)等各類式子，然后再通過分類，感受是否含有未知數(shù)和是否等式兩種分類標準。通過這樣一個“四區(qū)域”的集合圈，引導學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、找出了方程含有的“雙重屬性”，從而引出方程的定義。在這個過程中，學生經歷了概念的形成過程，認識了方程的“形”，對方程的這兩個必要因素也印象深刻。

二、情境融合，理解方程的“意”

由“形”到“意”，需要一定的情境。學生從原有的“算術思維”過渡到“代數(shù)思維”，是一個比較大的跨越。依托具體的情境，結合情境中具體的數(shù)量找出相應的“等量關系”，幫助學生建立未知數(shù)和已知數(shù)之間的某種“等價關系”，從而真正理解方程的“意”。

【片斷二】

師：生活中的許多情境，也都藏著方程的模型，我們一起來看一看。

1.部總關系

相應的等量關系是：左手的棋子數(shù)+右手的棋子數(shù)=6個。

列出相應的方程是：4+x=6.

引導學生理解先用字母x來表示未知數(shù)，然后再列出方程。方程還可以用來表示等量關系。

2.份總關系及稍復雜的方程

師：下面這三幅情境圖（稍復雜）也請你們先找一找圖中含有哪些量，說一說其中的等量關系，然后再列出相應的方程。

【分析】史寧中教授曾指出，教學方程時，可先讓學生用自然語言闡述事情，然后抽象成數(shù)學表達，最后用數(shù)學符號建立方程。在本節(jié)課的教學中，借助四個具體的情境，讓學生先去找一找有哪些數(shù)量，嘗試著用自己的語言表達，然后描述其中的等量關系，最后用方程表示出相應的等量關系。這里的情境圖包括“部總關系、份總關系、稍復雜的兩步計算和ax±b=c”的方程模型，通過三個問題“有哪些量？什么關系？怎樣表達？”來幫助學生用固定的思維方式來理解方程的意義，引領著學生從“形象思維” 過渡到“抽象思維”，逐步走向方程的本質。

三、建構模型，感悟方程的“神”

方程是一種模型，還是一種通性通法。從具體情境抽象出等量關系，用方程表達，再從方程回到等量關系，聯(lián)想具體的情境，并由此建構方程的模型，讓學生進一步理解方程的本質意義，感悟方程的“神”。

【片斷三】

1.模型聯(lián)想

根據(jù)一個“4x=320”的方程，你能想象出哪些等量關系呢？

學生聯(lián)想到：速度×時間=路程、單價×數(shù)量=總價、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)、工作效率×工作時間=工作總量。

2.聯(lián)系溝通

引導學生感悟“4個幾份”這樣的方程模型，領略方程的魅力。

【分析】當學生由一道“4x=320”的方程，聯(lián)想得到“行程問題”、“銷售問題”、“工程問題”、“份總問題”等不同的情境時，思想上有了一個小小的震撼，感嘆方程原來這么神奇，一道方程竟然可以表示這么多不同的情境。這里由“4x=320”引發(fā)的討論，其實就是對方程模型思想的一種具體化。何為模型？正如學生上課所言，“他們的內在結構相同。”一旦我們將四個不同問題中非本質的情境、故事剝離，剩下來相似的結構、形式便是模型了。

四、了解史料，豐厚方程的“韻”

“形神”兼具，再添“韻”味，則更顯豐厚。方程的歷史久遠，無論是中國還是外國，都早已記載方程的史料。

【分析】通過閱讀方程史料，讓學生了解更多的有關方程的知識，豐厚學習內容，感受數(shù)學文化底蘊。同時，培養(yǎng)學生數(shù)學閱讀的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學興趣，增強學好數(shù)學的信心，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)，為學生以后進一步學習數(shù)學打下良好的基礎。

筆者認為，比數(shù)學定義更重要的是對數(shù)學的理解和感悟，是數(shù)學思維的應用和強化。關注數(shù)學的核心，走向概念的本質，學會抽象和建模，使得方程的概念“形”“意”兼?zhèn)洌吧瘛薄绊崱辈⒋妫尅胺匠獭弊∵M學生心里，從而讓數(shù)學學習走向深處。