粉體混合過程及攪拌功率的DEM數值模擬和實驗

宣穎，劉雪東，2，周成奇，劉文明，2，劉紅梅，2，顧宇彤，彭濤

（1 常州大學機械工程學院，江蘇常州 213164；2 江蘇省綠色過程裝備重點實驗室，江蘇常州 213164；3 安徽瑞旭攪拌設備有限公司，安徽廣德 242200）

粉體混合機是一種對多種粉體物料進行混合作業的機械設備，廣泛應用于石油、化工、飼料、制藥、食品、材料等領域。在粉體混合機的研究中，攪拌功率是重要的參數之一，不僅直接反映粉體混合機的能量消耗，還為攪拌軸的強度計算提供理論依據[1-2]。目前，粉體混合時的攪拌功率沒有準確可靠的計算公式，在實際工程應用中，攪拌功率的確定一般通過經驗估算，具有較大的誤差[3-4]。當選用的電動機功率不合適時，不僅會提高生產成本，還會降低電動機運行的功率因數[5]。因此，研究粉體混合機攪拌過程及攪拌功率，可以為粉體混合設備選擇合適的電動機，以最小的能量輸入來達到最好的混合效果，這對降低能耗、提高工業生產效率具有重要意義[6-7]。

目前，國內外學者針對粉體攪拌功率進行了大量實驗和數值模擬。實驗方面，馬青山等[8]使用內外螺帶和葉片式兩種攪拌槳探究了攪拌型式、轉速、粉體物性及加料量對攪拌功率的影響規律，針對臥式單軸攪拌反應器給出了功率準數關聯式；楊敏官等[9]利用固體激光發生器和扭矩儀對偏心攪拌槽內顆粒的懸浮特性進行了實驗研究，探究了功率消耗和混合時間的影響。數值模擬方面，Sato 等[10]對高剪切混合機內顆粒運動進行了數值模擬，對不同轉速下攪拌槳的扭矩、顆粒速度分布及顆粒受力進行分析，發現顆粒動能決定攪拌扭矩和顆粒的運動行為；Siraj等[11]通過數值模擬探究槳葉各截面上的力場分布，發現顆粒間的作用力主要集中在槳葉前端和床層底部；Remy 等[12]通過數值模擬得到顆粒速度、顆粒溫度分布及顆粒的混合動力學，在微觀尺度上分析了葉片式混合機中顆粒的運動；Bao等[13]采用離散元法研究了葉輪結構、轉速和填充水平對裝有平槳葉和斜槳葉的圓筒混合器中顆粒流動和混合的影響，結果表明，三葉混合器的混合性能和效率優于兩葉和四葉混合器。

國內外學者的實驗或數值模擬重點多集中在攪拌功率與某種單一因素的定性關系研究上，沒有給出明確的計算公式。鑒于此，本文采用數值模擬與功率測試相結合的方法，以直葉槳式粉體混合機為研究對象，研究粉體混合機中攪拌槳的轉速、直徑、槳葉數目等特性參數對功率消耗和扭矩的影響，并擬合出功率計算公式。最后，搭建粉體攪拌試驗臺進行實驗驗證，對比分析模擬與實驗過程中粉體混合時攪拌功率和扭矩的變化特性，驗證基于數值模擬所推導公式的準確性。

1 DEM數值模擬及其接觸模型

1.1 DEM方法介紹

采用離散元方法（DEM）對粉體混合機中顆粒的運動和攪拌槳的扭矩進行分析。DEM 根據牛頓第二定律計算單個粒子的位置、速度和加速度以及作用于粒子的力，計算公式如式(1)、式(2)所示。

式中，X、m、t分別表示位置矢量、質點的質量和時間；Fc、g分別表示作用于質點的接觸力和重力加速度；ωp、τc和I分別表示角速度、旋轉運動的扭矩和粒子的慣性矩。混合機中的每一個顆粒受到的接觸力來自三個方面：其他顆粒、攪拌槳葉和容器壁。

顆粒與顆粒間、顆粒與幾何體之間均采用振動方程進行模擬，采用Hertz-Mindlin 接觸模型，其中，模型法向部分和切向部分的接觸力分別從Hertz 理論和Mindlin 接觸理論中得到[14]。應用Cundall 和Strack[15]提出的圖1 所示接觸模型計算接觸力，該模型利用彈簧、緩沖器和摩擦滑塊等機械元件表示接觸力。彈簧在粒子碰撞時提供排斥力。緩沖器和摩擦滑塊分別代表碰撞的能量耗散和摩擦特性。法向和切向的接觸力Fcn和Fct的計算公式見式(3)～式(5)。

式中，δ、k、η和μ分別表示接觸顆粒間位移、彈簧剛度、阻尼系數和摩擦系數；Vr分別表示顆粒間的相對速度。阻尼系數η[16]由式(6)計算。

式中，e表示恢復系數。

攪拌槳的扭矩T由式(7)表示為基于顆粒與攪拌槳葉碰撞的排斥力作用在旋轉軸方向上的扭矩。

式中，Fcx,i和Fcy,i分別是在x和y軸方向上粒子與葉片之間產生的接觸力；rx,i和ry,i分別是與葉片碰撞的粒子到葉片中心在x和y軸方向上的位移；nc是與槳葉碰撞的粒子總數。

1.2 仿真模型的建立

由于粉體混合機主要由筒體和攪拌槳構成，因此，為了提高計算效率，該粉體混合機三維模型包括筒體和攪拌槳，筒體內徑為180mm，攪拌槳為直葉平槳，槳葉直徑為d，具體結構如圖2所示。

圖2 粉體混合機仿真計算模型圖（單位：mm）

1.3 DEM參數設置

采用顆粒力學行為離散單元法數值模擬軟件EDEM 2.7.1，其相關參數設置[17-18]如表1、表2所示。攪拌槳的形式為直葉平槳，攪拌筒內部填充20000個球形聚甲基丙烯酸甲酯顆粒，按照上下填充的方式分為兩種顆粒，各10000個，為了清晰可視混合過程，采用藍白兩色加以區分。在初始階段，利用顆粒工廠生成顆粒，并設置顆粒處于靜止堆積狀態。顆粒直徑均為4mm，達到攪拌筒有效容積的35%。混合過程中，攪拌槳逆時針方向旋轉，轉速設置為100r/min、200r/min、300r/min、400r/min、500r/min。

表1 EDEM顆粒、壁面參數設置

表2 EDEM接觸參數設置

2 結果與討論

2.1 顆粒的混合過程

圖3為顆粒在粉體混合機內不同時刻的混合狀態。以攪拌槳直徑d為160mm 的四直葉平槳為例，探究不同轉速下顆粒的混合過程。如圖3所示，兩種球形顆粒的直徑均為4mm，顆粒數量為20000個。在初始靜止狀態下，對球形顆粒按上下方式進行填充，保證兩種顆粒能夠處在完全分離的狀態。在攪拌槳的旋轉作用下，粉體顆粒沿著攪拌槳的切向方向高速運動。由于受到較大離心力作用，顆粒被推向筒壁，部分顆粒沿筒壁向上運動。當顆粒向上運動到一定高度后，克服重力做功增多，同時顆粒與器壁產生碰撞損失能量，這兩個因素使得顆粒在粉體混合機中心區域向下沉降，在攪拌槳再次作用下重新被拋起，切向運動與上升運動及重力沉降的結合使得顆粒處于螺旋狀的往復運動狀態，進而實現粉體顆粒的混合。

混合過程中不同時刻顆粒與壁面的碰撞頻次如圖4 所示。在混合的初始階段，由于攪拌槳的作用，顆粒從靜到動，被拋起撞向壁面，運動紊亂，與壁面高頻地碰撞、反彈。1.04s時顆粒-壁面的碰撞次數達到最大值，為24415 次。之后顆粒-壁面碰撞次數開始下降，于1.17s 時達到最小值，為14205次。這主要是由于混合初始階段，在槳葉啟動瞬間，顆粒由靜止狀態被突然加速推向壁面，顆粒觸碰到器壁并產生反彈，之后的重力沉降使得顆粒-壁面碰撞次數也因此減少。1.5s后顆粒-壁面碰撞次數趨于穩定，顆粒-壁面的碰撞次數大約在17108處波動，粉體混合機內顆粒運動達到相對穩定狀態，4s后顆粒基本混合均勻。

2.2 攪拌槳直徑變化對扭矩和功率的影響

圖3 不同時刻顆粒的混合狀態

圖4 顆粒與壁面的碰撞次數

本節以粉體混合領域常用四直葉平槳為研究對象，通過改變攪拌槳直徑研究槳徑變化對粉體混合過程攪拌扭矩和功率的影響。分別建立攪拌槳直徑d為80mm、100mm、120mm、140mm、160mm 的5種計算模型。模型除槳徑不同外，其余幾何參數均一致。在4s 內模擬混合20000 個直徑為4mm 的聚甲基丙烯酸甲酯球形顆粒。

圖5為4s時不同直徑攪拌槳分別在粉體混合機中逆時針旋轉時顆粒物料的速度分布云圖。從圖中可以看出，顆粒速度最大處在槳葉正前方，在槳葉后方速度較小，槳葉之間形成了顆粒速度梯度。當攪拌槳直徑為160mm時，攪拌槳的作用范圍最大，在4s 的有限時間內，物料的混合程度遠高于其他直徑攪拌槳，能夠更好地帶動周圍顆粒甚至靠近攪拌筒壁的顆粒進行混合。當攪拌槳直徑較小時，靠近攪拌筒壁的顆粒僅靠顆粒間的摩擦力不足以帶動周圍顆粒運動。在模擬的有限時間內，無法獲得顆粒混合均勻時所需功率值。因此，在后續的模擬和實驗中，選用直徑為160mm的攪拌槳。

圖5 100r/min下不同直徑攪拌槳的顆粒分布云圖

圖6 不同直徑攪拌槳的扭矩、功率隨轉速變化圖

如圖6(a)所示，同一轉速下，扭矩值隨著攪拌槳直徑的增大而增大。在攪拌速度和裝料量相同的情況下，攪拌槳直徑越大，槳葉離攪拌筒壁越近，更能帶動攪拌筒壁面附近顆粒的運動。與短槳葉相比，大直徑的攪拌槳與顆粒的接觸面積更大，移動相同顆粒床時，不僅顆粒對槳葉的作用力更大，而且槳葉受力的力矩也更長，因此扭矩值也會更大。由圖6(a)還可以看出，當槳葉直徑為80mm 時，扭矩值隨著轉速的增加有明顯降低的趨勢。槳葉直徑較小時，槳葉所能接觸到的物料有限，攪拌槳所施加的力不足以推動整個顆粒床進行混合流動。當攪拌槳直徑為80mm時，攪拌槳尖端處與筒壁之間距離最大，攪拌過程中，有較多數量的顆粒處于攪拌死區。并且，當轉速較高時，顆粒由于機械攪拌作用被攪拌槳擊飛，向四周拋灑，并在筒壁處堆積，到達槳葉觸及不到的地方。因此，與攪拌槳接觸的顆粒物料反而變少，從而導致扭矩值減小。而當攪拌槳直徑較大時，在轉速較高的情況下，顆粒即使被攪拌槳擊飛，也依舊落回到攪拌槳的作用范圍內與其發生碰撞。因此，扭矩值隨著轉速的增加而增大。

圖6(b)所示為功率隨轉速變化規律圖，與圖6(a)中扭矩的變化規律相似，在各個轉速下，功率值都隨著攪拌槳直徑的增大而增大。當攪拌槳直徑固定時，功率值隨著轉速的增加急劇增大。

采用MATLAB，考慮影響混合功率的因素，對功率數值模擬結果進行擬合，如式(8)、式(9)所示。

整理成量綱為式(10)。

式中，M為質量量綱；L為長度量綱；T為時間量綱。

由此得到式(11)。

基于模擬數據，通過MATLAB 擬合可得式(12)。

式(12)即為粉體混合時的攪拌功率公式。擬合相關系數R2=0.993，偏差較小。由公式可知，功率P可由轉速N、攪拌槳直徑d、攪拌筒內徑D及粉體密度ρ等因素計算得出，并且功率P與轉速N、攪拌槳直徑d、攪拌筒內徑D及粉體密度ρ都呈正相關。僅轉速N變化時，功率P與N3呈正比；僅攪拌槳直徑d變化時，功率P與d3.81呈正比。

2.3 攪拌槳槳葉數對扭矩和功率的影響

由前節可得，攪拌槳直徑d為160mm的結構可以在模擬時間內獲得較好的混合結果。因此，保持攪拌槳直徑參數不變，且維持相同的混合時間及相同的顆粒粒度，僅改變攪拌槳葉數目，來研究攪拌槳槳葉數對扭矩和功率的影響。通過比較不同槳葉數目來分析在粉體混合機中槳葉數目的改變對扭矩和攪拌功率的影響。槳葉數n分別為1、2、3、4、5，采用控制變量法，在4s 的模擬時間內混合20000 個直徑為4mm 的球形顆粒，結果如圖7所示。

由圖7(a)可知，同一轉速下，隨著槳葉數目增加，扭矩值呈增大的趨勢。槳葉數目越多，與顆粒的接觸面積越大，相同力矩下受力越大，從而導致扭矩增大。當槳葉數目不變時，扭矩值隨著轉速增加而增大。然而，在轉速達到300r/min附近時，隨著轉速的增加，同種槳型的扭矩值增速變緩。圖8為四葉平槳在轉速為500r/min時，粉體混合機內顆粒進行混合運動時的速度矢量圖。圖8(a)為攪拌槳剛開始轉動時的速度矢量圖。箭頭方向表示粉體混合機內顆粒的運動方向。從圖8(b)可知，混合初期，攪拌槳開始轉動，轉速較高，粉體混合機內的顆粒在短時間內被賦予比較大的動能，使得這些顆粒分成兩部分運動。大部分顆粒被攪拌槳擊飛，速度較快，向上運動；少部分顆粒速度較慢，依然停留在槳葉前方，隨著攪拌槳的推動向前運動。因此，當轉速較高時，更多的顆粒不斷被攪拌槳擊飛向上運動，與攪拌槳接觸的顆粒數目反而減少，表現為攪拌槳高速轉動下的扭矩值增速變緩。圖8(c)可以看出，速度較高的顆粒碰到容器壁或者附近顆粒時會產生碰撞反彈，使得顆粒在運動過程中損失動能，最終因為動能的損失及重力作用而沉降，進入圖8(d)所示的穩定混合狀態。

圖7 不同槳葉數目攪拌槳的扭矩、功率隨轉速變化圖

功率隨轉速的變化的規律圖如圖7(b)所示，可以看出功率的變化與圖7(a)中扭矩的變化規律相似。在轉速等其余因素都相同的情況下，粉體混合機的功率隨著槳葉數目的增加而增大。當攪拌槳槳葉數目固定時，隨著轉速的增加，功率值急劇增加。并且通過MATLAB 擬合綜合模擬數據可得到基于上述情況的公式，推導過程與2.2 節中類似，最終得到滿足上述情況的功率公式，見式(13)。

式(13)即為粉體混合時的攪拌功率公式。擬合相關系數R2=0.99，偏差較小。由公式可知，功率P與轉速N、粉體密度ρ及槳葉數目n都呈正相關。僅轉速N變化時，功率P與N3呈正比；僅槳葉數目n變化時，功率P與n2.27呈正比。

2.4 綜合影響因素

為了更加深入探究直葉槳式粉體混合機中特性參數對攪拌功率的影響，對攪拌槳轉速N、攪拌槳直徑d、攪拌筒內徑D、粉體密度ρ及槳葉數目n與功率值的特性關系進行綜合考慮。基于模擬數據對攪拌功率進行多維度探究，并推出較為綜合的攪拌功率公式。

圖8 固定轉速下的y軸截面上的速度矢量變化圖

在粉體攪拌過程中，綜合考慮影響攪拌功率的主要因素包括N、D、d、ρ、n等，則有式(14)。

推導過程與2.2 節中類似，最終得到滿足上述情況的功率計算公式，見式(15)。

式(15)即為粉體混合時的攪拌功率公式。擬合相關系數R2=0.95，偏差較小。由公式可知，功率P可由轉速N、攪拌槳直徑d、攪拌筒內徑D、粉體密度ρ及槳葉數目n等因素計算得出，且功率P與轉速N、攪拌槳直徑d、攪拌筒內徑D、粉體密度ρ及槳葉數目n都成呈相關。

2.5 實驗驗證

為了驗證以上數值模擬的準確性，根據上文的分析結果，采用攪拌槳直徑d為160mm 的四葉平槳，搭建粉體混合機的實驗裝置。按照實驗裝置尺寸進行1∶1 數值模擬建模和混合過程模擬，以便更好地分析模擬結果。如圖9所示，試驗臺主要包括OS40-Pro LCD 數控頂置式電子攪拌器、筒體、槳葉、實驗室用容器夾等。其中OS40-Pro LCD 數控頂置式電子攪拌器是集電動機、轉速儀、扭矩傳感器為一體的裝置，轉速范圍可在50～2200r/min之間調節，控制精度為±3r/min，LCD 顯示屏通過mode 按鈕進行切換可直接顯示轉速和扭矩值等相關信息，扭矩測量精度為1N·cm。為了便于觀察粉體混合機內顆粒運動狀態，筒體材料選用亞克力管材，無色透明，并且具有一定的機械強度。如圖10 所示，采用等量的紅、棕兩種直徑4mm 的聚甲基丙烯酸甲酯顆粒放入試驗設備中，數量共20000個，采用上下方式進行填充。

控制槳型及填料高度一致，分別進行轉速為100r/min、200r/min、300r/min、400r/min 和500r/min時的混合實驗。為了定量比較實驗和模擬的頂面顆粒分布，將圖像分成26 個塊，并進行圖像分析以識別每個塊中的紅色粒子。根據紅色粒子的面積，得到每個塊中紅色粒子的比例。模擬與實驗的相對偏差可用式(16)表示。

圖9 粉體混合機實驗設備

圖10 實驗與模擬初始填充狀態

式中，Eri為相對偏差；psi為模擬中紅色顆粒的比例；pei為實驗中紅色顆粒的比例。

圖11 中最右側一欄顯示了每個塊中的Eri即紅色顆粒的模擬比例與實驗值的偏差，模擬值和實驗值之間的差異隨著色塊變輕而減小。模擬的顆粒分布與實驗結果吻合較好。

圖11 實驗和模擬表面顆粒分布對比

從圖12 中可知，實驗結果與模擬數據變化趨勢類似，模擬與實驗的扭矩和功率值較為接近，且實驗所得結果略高于模擬數據。進一步，對實驗結果和模擬數據進行誤差分析，結果表明，實驗值與模擬值偏差范圍在7%～10%。這是因為在實際的混合實驗中，粉體混合機的消耗功率包括電動機空轉時所消耗的功率和移動顆粒床所需的功率，并且在實驗過程中發現，顆粒和壁面間產生了一定程度的靜電效應，而靜電效應使得筒體壁面對顆粒產生了吸附作用，增加了攪拌阻力。而數值模擬則是一種理想狀態，忽略了電動機空轉功率及靜電的存在。

圖12 不同轉速下實驗與模擬結果對比

以攪拌槳直徑d為160mm的四葉平槳為例，對實驗測得的功率值與基于模擬數據擬合的公式計算得到的功率值進行對比。由圖13 可以看出，實驗值與計算值相比偏差小于10%，說明所推導的功率計算公式具有一定可靠性。

3 結論

采用DEM 模擬的方法研究直葉槳式粉體混合機中粉體混合時攪拌功率和扭矩的變化特性，比較了粉體混合機中攪拌槳的轉速、直徑、槳葉數目等結構特性對粉體混合時攪拌功率和扭矩的影響，并使用MATLAB 軟件擬合出功率計算公式。最后，在模擬結果的基礎上進行顆粒混合實驗，對比分析兩種過程下粉體混合機內攪拌功率的差異，驗證擬合公式的準確性，得出以下結論。

圖13 不同轉速下實驗與模擬結果對比

（4）后續研究將繼續針對顆粒粒徑、顆粒形狀、顆粒密度及充填量等因素開展，期待擬合出更具工程普遍意義的粉體攪拌功率的計算公式。