蜘蛛的幾何學

J·H·法布爾

當我們觀察著園蛛，尤其是絲光蛛和條紋蛛的網時，我們會發現它的網并不是雜亂無章的，那些輻排得很均勻，每對相鄰的輻所交成的角都是相等的;雖然輻的數目對不同的蜘蛛而言是各不相同的，可這個規律適用于各種蜘蛛。

我們已經知道，蜘蛛織網的方式很特別，它把網分成若干等份，同一類蜘蛛所分的份數是相同的。當它安置輻的時候，我們只見它向各個方向亂跳，似乎毫無規則，但是這種無規則的工作的結果是造成一個規則而美麗的網，像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圓規、尺子之類的工具。沒有一個設計家能畫出一個比這更規范的網來。

我們可以看到，在同一個扇形里，所有的弦，也就是那構成螺旋形線圈的橫輻，都是互相平行的，并且越靠近中心，這種弦之間的距離就越遠。每一根弦和支持它的兩根輻交成四個角，一邊的兩個是鈍角，另一邊的兩個是銳角。而同一扇形中的弦和輻所交成的鈍角和銳角正好各自相等——因為這些弦都是平行的。

不但如此，憑我們的觀察，這些相等的銳角和鈍角，又和別的扇形中的銳角和鈍角分別相等，所以，總的看來，這螺旋形的線圈包括一組組的橫檔以及一組組和輻交成相等的角。

這種特性使我們想到數學家們所稱的“對數螺線”。這種曲線在科學領域是很著名的。對數螺線是一根無止盡的螺線，它永遠向著極繞，越繞越靠近極，但又永遠不能到達極。即使用最精密的儀器，我們也看不到一根完全的對數螺線。這種圖形只存在科學家的假想中，可令人驚訝的是小小的蜘蛛也知道這線，它就是依照這種曲線的法則來繞它網上的螺線的，而且做得很精確。

這螺旋線還有一個特點。如果你用一根有彈性的線繞成一個對數螺線的圖形，再把這根線放開來，然后拉緊放開的那部分，那么線的運動的一端就會劃成一個和原來的對數螺線完全相似的螺線，只是變換了一下位置。這個定理是一位名叫杰克斯·勃諾利的數學教授發現的，他死后，后人把這條定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最為光榮的事跡之一。

那么，難道有著這些特性的對數螺線只是幾何學家的一個夢想嗎？這真的僅僅是一個夢、一個謎嗎？那么它究竟有什么用呢？

它確實廣泛的巧合，總之它是普遍存在的，有許多動物的建筑都采取這一結構。有一種蝸牛的殼就是依照對數螺線構造的。世界上第一只蝸牛知道了對數螺線，然后用它來造殼，一直到現在，殼的樣子還沒變過。

在殼類的化石中，這種螺線的例子還有很多。現在，在南海，我們還可以找到一種太古時代的生物的后代，那就是鸚鵡螺。它們還是很堅貞地守著祖傳的老法則，它們的殼和世界初始時它們的老祖宗的殼完全一樣。也就是說，它們的殼仍然是依照對數螺線設計的。并沒有因時間的流逝而改變，就是在我們的死水池里，也有一種螺，它也有一個螺線殼，普通的蝸牛殼也是屬于這一構造。

可是這些動物是從哪里學到這種高深的數學知識的呢？又是怎樣把這些知識應用于實際的呢？有這樣一種說法，說蝸牛是從蠕蟲進化來的。某一天，蠕蟲被太陽曬得舒服極了，無意識地揪住自己的尾巴玩弄起來，便把它絞成螺旋形取樂。突然它發現這樣很舒服，于是常常這么做。久而久之便成了螺旋形的了，做螺旋形的殼的計劃，就是從這時候產生的。

但是蜘蛛呢？它從哪里得到這個概念呢？因為它和蠕蟲沒有什么關系。然而它卻很熟悉對數螺線，而且能夠簡單地運用到它的網中。蝸牛的殼要造好幾年，所以它能做得很精致，但蛛網差不多只用一個小時就造成了，所以它只能做出這種曲線的一個輪廊，盡管不精確，但這確實是算得上一個螺旋曲線。是什么東西在指引著它呢？除了天生的技巧外，什么都沒有。天生的技巧能使動物控制自己的工作，正像植物的花瓣和小蕊的排列法，它們天生就是這樣的。沒有人教它們怎么做，而事實上，它們也只能作這么一種，蜘蛛自己不知不覺地在練習高等幾何學，靠著它生來就有的本領很自然地工作著。

我們拋出一個石子，讓它落到地上，這石子在空間的路線是一種特殊的曲線。樹上的枯葉被風吹下來落到地上，所經過的路程也是這種形狀的曲線。科學家稱這種曲線為拋物線。

幾何學家對這曲線作了進一步的研究，他們假想這曲線在一根無限長的直線上滾動，那么它的焦點將要劃出怎樣一道軌跡呢？答案是：垂曲線。這要用一個很復雜的代數式來表示。如果要用數字來表示的話，這個數字的值約等于這樣一串數字1+1/1+1/1*2+1/1*2*3+1/1*2*3*4+……的和。

幾何學家不喜歡用這么一長串數字來表示，所以就用“e”來代表這個數。e是一個無限不循環小數，數學中常常用到它。

這種線是不是一種理論上的假想呢？并不，你到處可以看到垂曲線的圖形：當一根彈性線的兩端固定，而中間松馳的時候，它就形成了一條垂曲線;當船的帆被風吹著的時候，就會彎曲成垂曲線的圖形;這些尋常的圖形中都包含著“e”的秘密。一根無足輕重的線，竟包含著這么多深奧的科學！我們暫且別驚訝。一根一端固定的線的搖擺，一滴露水從草葉上落下來，一陣微風在水面拂起了微波，這些看上去稀松平常、極為平凡的事，如果從數學的角度去研究的話，就變得非常復雜了。

我們人類的數學測量方法是聰明的。但我們對發明這些方法的人，不必過分地佩服。因為和那些小動物的工作比起來，這些繁重的公式和理論顯得又慢又復雜。難道將來我們想不出一個更簡單的形式，并使它運用到實際生活中嗎？難道人類的智慧還不足以讓我們不依賴這種復雜的公式嗎？我相信，越是高深的道理，其表現形式越應該簡單而樸實。

在這里，我們這個魔術般的“e”字又在蜘蛛網上被發現了。在一個有霧的早晨，這粘性的線上排了許多小小的露珠。它的重量把蛛網的絲壓得彎下來，于是構成了許多垂曲線，像許多透明的寶石串成的鏈子。太陽一出來，這一串珠子就發出彩虹一般美麗的光彩。好像一串金鋼鉆。“e”這個數目，就包蘊在這光明燦爛的鏈子里。望著這美麗的鏈子，你會發現科學之美、自然之美和探究之美。

幾何學，這研究空間的和諧的科學幾乎統治著自然界的一切。在鐵杉果的鱗片的排列中以及蛛網的線條排列中，我們能找到它;在蝸牛的螺線中，我們能找到它;在行星的軌道上，我們也能找到它，它無處不在，無時不在，在原子的世界里，在廣大的宇宙中，它的足跡遍布天下。

這種自然的幾何學告訴我們，宇宙間有一位萬能的幾何學家，他已經用它神奇的工具測量過宇宙間所有的東西。所以萬事萬物都有一定的規律。我覺得用這個假設來解釋鸚鵡螺和蛛網的對數螺線，似乎比蠕蟲絞尾巴而造成螺線的說法更恰當。

莫莫摘自《昆蟲記》（[法]法布爾 著）