問題鏈驅動中學數學概念教學

湯華英

【摘要】本文詳細記錄了一堂“三角函數的概念”優質觀摩課的教學過程，研究者從如何利用問題鏈驅動概念教學的角度對課例進行分析和點評。

【關鍵詞】三角函數的概念;問題鏈;概念教學

“工欲善其事，必先利其器。”要想發展學生的數學核心素養，必須上好數學概念課，那么，如何上好數學概念課？近期，資深教師廖堅在我校開設了一堂“三角函數的概念”優質觀摩課，廖老師采用問題鏈教學方式，讓學生經歷概念生成過程，他的課堂設計得到了高度評價，聽課教師都覺得受益匪淺，現實錄整個課堂教學過程，與各位同行分享。

一﹑教學片段實錄

（一）溫故知新，揭示矛盾

師：初中階段是怎樣定義銳角α的三角函數？（如圖1）

生1：.

師追問：非常棒！這個定義能求sin300o嗎？

生1：不能，因為這個定義只能求出銳角的三角函數值。

師：對，今天我們就要研究任意角的三角函數。

（二）新知探究，形成概念

師：如果把銳角α放在直角坐標系下（如圖2），銳角α的對邊、鄰邊和斜邊分別與點P（x， y）的坐標有什么關系？

生2：對邊=y，鄰邊=x，斜邊=.

師追問：你回答得很好！此時銳角三角函數可以表示成什么形式？

生2：其中.

師追問：非常好！改變點P在角α終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？

生眾：不會改變。

廖老師用幾何畫板演示隨著點在角終邊上的位置的改變的值始終保持不變。

師：怎樣證明這三個比值不變？

生3：由相似三角形的性質可得比值不變。

師追問：既然比值不變，取多少時，比值的形式會更簡單？

生3：r取1時。

師：非常了不起。此時銳角三角函數可以表示成什么形式？

生4：sinα=y，cosα=x，.

師追問：類比銳角三角函數，能否用單位圓上點P（x， y）的坐標來表示任意角α的三角函數？（如圖3）

廖老師用幾何畫板演示任意角α的終邊與單位圓相交。

師：你有什么發現？你能用函數的語言刻畫這種對應關系嗎？

生5：無論α的終邊在哪里，α定→唯一的x，α定→唯一的y，除x=0時，沒有意義，其它都有α定→唯一的.

廖老師板書任意角的三角函數：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點（x，y），則：y叫做α的正弦，記作y=sinα，即sinα=y; x叫做α的余弦，記作x=cosα，即cosα=x;叫做α的正切，記作=tanα，即tanα=（x≠0）.

師：你能解釋一下定義中的對應關系嗎？

生6：以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值。

師：你回答得很好，你有做數學家的天賦。這個定義與初中的定義比較，有何不同？優在何處？

生6：在直角坐標系下研究三角函數，避免了直角三角形的局限性，化解了數學知識的內部矛盾。

（三）知識應用，鞏固概念

師：你現在能求出sin300o，嗎？

廖老師要求學生在草稿紙上進行演算，發現有些學生沒有圓規，所以教學生利用兩支筆做圓規，旋轉作業本畫圓，學生對廖老師的絕活佩服得五體投地。

生7：.

師追問：你能歸納一下解題步驟嗎？

生7：畫終邊，找交點坐標，算比值（求正切值）。

師：若角α的終邊過點P（），你會求sinα，cosα，tanα嗎？

生8：r=，得，，.

師追問：如果點P（-3，4）為呢？

生8：由三角形相似可得答案不變。

師追問：很好！如果角α的終邊落在直線y=2x上呢？這時角的終邊上沒有給點，怎么辦？

生眾：任取一個點。

師：怎么取點計算簡單？哪位同學到黑板作答？

生9：設x=1，則y=2，，得.

師：有沒有不同意見？

生10：角α的終邊也可能在第三象限。

師：哦！你發現了一個秘密噢（此幽默引發學生笑），還有可能在第三象限，所以解題時要多點思考，你能把它補充完嗎？

生10：設x=-1，則y=-2，r==

，得tanα=2。

師：上述表明，知道已知角終邊上一點的坐標，不借助單位圓，也能求出對應的三角函數值。一般地，設角α終邊上任意一點的坐標為（x， y），它與原點的距離為r，則，，. 你能自己給出證明嗎？

生眾：由三角形相似可得結論成立。

師：對，同學們課后嚴格證明出來，這是三角函數的等價定義，至此，三角函數有兩種定義，分別是“單位圓定義法”“終邊定義法”，比較兩種定義，你認為哪種更簡潔？

生11：“單位圓定義法”。因為它能更直觀地體現自變量與函數值之間的對應關系。

師：從三角函數的概念，我們可以感受到科學家執著的專研精神。我們要學習這種一絲不茍，孜孜以求的科學態度并應用于今后的學習生活中，就像毛主席所說的：世界上怕就怕認真二字。

（四）課堂小結，整理知識

師：三角函數是怎樣定義的？

生眾：建立直角坐標系，由角的終邊與單位圓的交點即可給出定義。

師：如何記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？

生眾：根據定義。

師：求任意角的三角函數，實質是求什么？

生眾：求坐標。

師：有了三角函數的定義，按研究函數的一般思路，后續會學到三角函數哪些內容？