RV減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計方法

樓嘉彬，杜雪松，朱才朝

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030）

1 引言

RV 減速器是工業(yè)機器人常用減速器之一，具有體積重量小、傳動比范圍大、壽命長、精度高等一系列的優(yōu)點。隨著智能制造領(lǐng)域與工業(yè)機器人的高速發(fā)展，對RV減速器的承載能力、可靠性和體積重量等提出了越來越高的要求。

如何在保證RV減速器整機可靠性的前提下減少其體積重量，是工程中亟待解決的難題。文獻[1]在增廣可靠性空間建立了Kriging代理模型，并結(jié)合子集模擬方法，提出一種新的可靠性優(yōu)化設(shè)計方法；文獻[2]提出了基于模糊通用生成函數(shù)提出了考慮相關(guān)性的多態(tài)系統(tǒng)模糊可靠性分析方法，并用核電站功能系統(tǒng)加以驗證；文獻[3]采用浮點編碼和動態(tài)罰函數(shù)結(jié)合的方法對NGW型行星減速器進行了可靠性優(yōu)化設(shè)計，提升了傳動穩(wěn)定性；文獻[4]基于RV傳動的受力分析進行了關(guān)鍵零部件靜強度的可靠性分析；文獻[5]運用故障樹分析方法建立了RV減速器故障樹圖，研究了其主要失效形式，并用蒙特卡洛模擬對可靠性進行了預(yù)測；文獻[6]以體積和傳動效率為目標用遺傳算法對擺線針輪行星減速器進行了優(yōu)化，并基于有限元法進行了仿真分析；文獻[7]以體積、曲柄軸承受力、銷的最大彎曲應(yīng)力為目標用改進遺傳算法對擺線針輪行星減速器進行了優(yōu)化，獲得了擬最優(yōu)解。

上述對RV減速器和擺線針輪行星減速器的優(yōu)化研究均基于常規(guī)優(yōu)化理論，可靠性研究也沒有考慮強度的模糊性和時變性。基于此，考慮剩余強度和模糊性，建立了RV減速器中主要承載零部件的可靠性分析模型，討論了相關(guān)零件在服役時間內(nèi)的可靠度變化規(guī)律，結(jié)合優(yōu)化技術(shù)提出了一種RV減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計（Reliability Based Design Optimization，RBDO）方法。

2 RV減速器傳動原理

RV減速器由一級行星齒輪傳動和一級擺線針輪傳動組成，包含四個子機構(gòu)：輸入齒輪軸1與行星齒輪2構(gòu)成漸開線行星傳動Ⅰ；曲軸3構(gòu)成平行四邊形機構(gòu)Ⅱ；擺線輪4和針輪5構(gòu)成擺線針輪傳動Ⅲ；曲軸3和行星架6構(gòu)成輸出機構(gòu)Ⅳ，如圖1所示。

圖1 RV擺線針輪傳動原理圖Fig.1 The Transmission Theory of RV Reducer

RV減速器的組成部件和功能如下：（1）輸入齒輪軸1：與電機相連，為減速器提供動力輸入，并且與行星齒輪嚙合，進行功率的傳遞與分流。（2）行星齒輪2：與曲柄軸相連，將第一級動力傳遞至第二級傳動系統(tǒng)。（3）曲柄軸3：與擺線輪通過曲柄軸承相連，帶動擺線輪做平面運動，是兩級傳動之間的動力傳遞裝置。（4）擺線輪4和4′：兩片擺線輪相位相差180°，與針齒構(gòu)成擺線針輪傳動，作為第二級傳動的動力輸入的同時對曲柄軸產(chǎn)生反饋進行輸出。（5）針齒5：針輪分為針齒殼和針齒，針齒殼與機架相連，因此固定不動，針齒均勻的布置在針齒殼內(nèi)側(cè)槽內(nèi)，與擺線輪嚙合。（6）行星架6：與曲柄軸通過支撐軸承相連，作為減速器的支撐裝置的同時作為傳動裝置連接輸出軸實現(xiàn)動力輸出。

動力由輸入齒輪軸1輸入通過與行星輪2組成第一級漸開線行星齒輪傳動機構(gòu)Ⅰ進行減速，行星輪2通過曲軸3將動力傳入第二級的擺線針輪傳動機構(gòu)Ⅲ，最后通過擺線輪4反饋作用于輸出機構(gòu)Ⅳ，由輸出軸6進行輸出，傳動比為：

式中：z1—輸入齒輪齒數(shù)；z2—行星齒輪齒數(shù)；zp—針齒數(shù)；zc—擺線輪齒數(shù)，為了獲得大傳動比，RV減速器中的擺線針輪傳動一般取一齒差，即zp-zc=1。

3 RV減速器可靠性分析

實踐表明，RV減速器主要承載部件中的行星齒輪、擺線輪和曲柄軸承易失效[8]，因此對這三個子部件的可靠性展開分析。

（1）齒輪的強度模糊可靠性[9-10]。在計算兩級傳動的強度可靠度時把應(yīng)力作為隨機變量處理，將強度作為模糊變量，根據(jù)應(yīng)力—強度干涉理論，建立模糊可靠度計算模型。齒輪的應(yīng)力服從正態(tài)分布，即：

式中：H，F(xiàn)，c—漸開線齒輪接觸應(yīng)力，彎曲應(yīng)力和擺線針輪接觸應(yīng)力（以下均同）。漸開線齒輪齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、擺線輪齒面接觸應(yīng)力的均值和變異系數(shù)分別為：

其中，各參數(shù)的含義見相關(guān)文獻，在此不再贅述。

齒輪傳動的許用應(yīng)力具有模糊性，采用降半梯形型分布來描述，其隸屬函數(shù)為：

式中：ɑ1，ɑ2—模糊上、下界限，由擴增系數(shù)法，取ɑ1=[σi]，ɑ2=1.1[σi]。令Yi=μi(σi)，則各部件的可靠度為：

由式（2）～式（7），可得齒輪強度模糊可靠度為：

齒輪傳動的疲勞強度會隨著服役時間而衰減[11]，基于非線性假設(shè)的剩余強度可以表示為：

式中：r(0)—初始靜強度；σmax—循環(huán)應(yīng)力峰值；Nf—疲勞壽命；n—載荷循環(huán)次數(shù)；T—與載荷和材料相關(guān)。

聯(lián)立式（8）～式（9），得到齒輪強度的模糊時變可靠度為：

（2）曲柄軸承可靠性分析。曲柄軸承的壽命服從于威布爾分布，三參數(shù)威布爾分布的可靠度函數(shù)為：

式中：γ—位置參數(shù)，對于滾動軸承，γ=0；η—尺度參數(shù)；β—形狀參數(shù)，曲柄軸承一般為滾子軸承，取β=1.5。因此，曲柄軸承的可靠度為：

滾動軸承的疲勞壽命公式為：

式中：L—基本額定壽命；C—基本額定動載荷；P—當量動載荷；nw—軸承轉(zhuǎn)速。

工程中常規(guī)軸承的基本額定壽命的可靠度為0.9，則：

由式（12）～式（14）可得曲柄軸承時變可靠度為：

根據(jù)上述各零部件的可靠性分析模型，模擬其在服役時間內(nèi)的時變可靠度，如圖2所示。

圖2 關(guān)鍵零件在服役時間內(nèi)的可靠度Fig.2 Reliability of the Key Parts in Service Time

可以看出，隨著服役時間的增加，各零部件的可靠度均存在不同程度的衰減，其中，擺線輪接觸疲勞可靠度一直最低，是RV減速器中的最薄弱零件，因此，根據(jù)最薄弱環(huán)節(jié)原則[12]，系統(tǒng)可靠度可以表示為：

4 RV減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計

前文研究了RV減速器的可靠性分析方法，然而單純的可靠性設(shè)計只限于確保或預(yù)測減速器在其壽命期內(nèi)能完成功能的概率，無法使產(chǎn)品在擁有高可靠性的同時具備最佳的工作性能、最低的成本或最高的效益等。因此采用RBDO方法，建立了RV減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計模型。

4.1 設(shè)計變量

考慮影響目標函數(shù)的幾何參數(shù)，以及兩級傳動間參數(shù)的相互影響，取太陽輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、中心距ɑ0、行星輪齒寬b、短幅系數(shù)k1、針徑系數(shù)k2、偏心距e、擺線輪齒寬B這8個獨立參數(shù)作為設(shè)計變量。

4.2 目標函數(shù)

（1）體積。工業(yè)機器人的內(nèi)部空間有限，要求RV減速器具有盡量小的體積。各關(guān)鍵零部件的體積可按式（18）～式（22）計算。

擺線輪的體積為：

式中：Dp—針齒中心距；d1—擺線輪中心孔徑；d2—漸開線花鍵直徑；S1—梯形孔面積。

行星輪的體積為：

式中：d3—行星輪分度圓直徑；d4—行星輪中心孔直徑。

針齒殼的體積為：

式中：D1—針齒殼外薄壁直徑；D2—針齒殼內(nèi)薄壁直徑；Dz—針齒殼外厚壁直徑；Dp—針齒殼內(nèi)厚壁直徑；H1—非工作區(qū)壁厚；H2—工作區(qū)壁厚。

針齒的體積為：

式中：drp—針齒直徑；δ—擺線輪之間的間隔。

式中：d5—擺線輪柱銷孔直徑；L1—曲軸輸入端長度；L1—曲軸固定端長度。

則RV減速器體積為：

（2）可靠度。以RV減速器系統(tǒng)可靠度為目標函數(shù)，零部件可靠度為約束條件，取設(shè)計壽命為5000h，則：

根據(jù)加權(quán)因子法[13]，簡化多目標優(yōu)化函數(shù)為單目標函數(shù)，加權(quán)因子w1、w2分別為體積、可靠度的初始值倒數(shù)，得到總目標函數(shù)為：

4.3 約束條件

（1）可靠性約束。取各構(gòu)件的許用可靠度［R］=0.99，則可靠度條件可以表示為：

（2）擺線輪不產(chǎn)生頂切或尖角的條件[14]。

令q=(zc-1)/(2zc+1)，約束方程為：

（3）短幅系數(shù)限制條件。可按擺線輪齒數(shù)確定短幅系數(shù)k1的范圍為［k1min，k1max］，約束方程為：

（4）針徑系數(shù)限制條件。可按針齒數(shù)確定針徑系數(shù)k2的范圍為［k2min，k2max］，約束方程為：

（5）擺線輪厚度條件。擺線輪的厚度B=（0.05～0.1）DP，約束方程為：

（6）兩級載荷分配條件。為了第二級傳動的輸入轉(zhuǎn)矩不至于過大，第一級行星齒輪傳動的齒數(shù)比應(yīng)該滿足：

（7）結(jié)構(gòu)尺寸條件。為了協(xié)調(diào)兩級傳動之間的結(jié)構(gòu)尺寸，應(yīng)使一級與二級傳動中心距滿足ɑ0=（0.25～0.3）Dp，約束方程為：

（8）一齒差條件。RV減速器的擺線針輪傳動部分采用的是一齒差傳動，并且針齒數(shù)固定為偶數(shù)，約束方程為：

綜上，RV減速器的多目標可靠性優(yōu)化模型可以表示為：

4.4 優(yōu)化流程

優(yōu)化流程，如圖3所示。整個過程采用遺傳算法。先將目標函數(shù)和約束方程通過罰函數(shù)形式結(jié)合作為綜合適應(yīng)度函數(shù)；接著以RV減速器的設(shè)計變量建立初始種群進行算法迭代；最后輸出的最優(yōu)個體即為優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

圖3 優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.3 The Flow Chart of Design Optimization

5 實例分析

基于前文的研究編寫了RV減速器可靠性優(yōu)化程序，并以某企業(yè)設(shè)計的RV-40E型減速器作為實例加以驗證。減速器的輸出扭矩為412N·m，輸入轉(zhuǎn)速為1800r/min，傳動比121，對其分別進行以體積為目標的常規(guī)優(yōu)化設(shè)計和可靠性優(yōu)化設(shè)計，參數(shù)圓整后結(jié)果，如表1所示。

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Parameter Optimization Results

對比兩種優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，可以看出常規(guī)優(yōu)化設(shè)計雖然減少了20.3%的體積，但是大幅降低了可靠度，工程上并不可取；可靠性優(yōu)化設(shè)計方法減少了16.9%的體積，可靠度提高了2.14%，在有效地降低體積重量的同時，延長了減速器使用壽命，顯然這一優(yōu)化方法更為合理。將可靠性優(yōu)化結(jié)果與日本同型號減速器進行對比，設(shè)計參數(shù)中m、e、z1完全相同（行星輪、擺線輪、針輪的齒數(shù)也相同），ɑ0、k1、k2基本相同，b、B略小。

根據(jù)可靠性優(yōu)化方案對各部件強度進行校核，結(jié)果，如表2所示。各關(guān)鍵部件強度滿足要求。

表2 RV減速器設(shè)計結(jié)果校核Tab.2 The Verification of RV Reducer Design Results

6 結(jié)論

基于RV傳動的特點，提出了RV減速器的可靠性優(yōu)化設(shè)計方法：（1）建立了RV減速器主要承載零部件的時變模糊可靠性分析模型，討論了各零部件在服役期間的可靠度變化規(guī)律，結(jié)果表明擺線輪的可靠度較低，是整機的最薄弱環(huán)節(jié)。（2）根據(jù)最薄弱環(huán)節(jié)原則，以擺線輪的可靠度和整機的體積為優(yōu)化目標，考慮影響目標函數(shù)的幾何參數(shù)，以及兩級傳動間參數(shù)的相互影響，選取了設(shè)計變量，提出了RV減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計方法。（3）以某樣機為例進行了對比驗證，結(jié)果表明所提出的可靠性優(yōu)化方法，在有效地降低體積重量的同時提高了整機的可靠性，比常規(guī)優(yōu)化方法更符合工程實際需求。