差速驅動AGV建模和軌跡跟蹤控制研究

郭虎虎，任 芳，龐新宇，金 澤

（1.太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024；2.煤礦綜采裝備山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

1 引言

自動導引車輛（Automated Guided Vehicle，AGV）是一種新型的裝載運輸物料的工業車輛，采用自動或人工方式裝裝卸貨物，并按設定的路徑自動行駛至指定地點。AGV 具有自動化、柔性化和準時性等優點，被廣泛應用于汽車制造、醫藥、倉儲、化工等領域［1］。軌跡跟蹤是AGV 實現運動精確控制和執行任務成敗的決定性因素，是AGV研究的核心問題。AGV是一種非線性、強耦合的多輸入多輸出的復雜系統，在實際應用中AGV 軌跡跟蹤會受到輪胎摩擦、路面情況、負載變化等多種外界因素的影響［2］，導致AGV 的行駛路徑偏離預先設計的參考軌跡。目前，一些科研工作者針對AGV 軌跡跟蹤控制難問題，提出了各種控制算法，如Backstepping 方法［3-4］、自適應控制［4］、滑模控制［5-6］、模糊控制［7］和神經網絡控制［8］等。文獻［3］針對機器人動力學模型，應用了Lyapunov直接法構造了全局穩定軌跡跟蹤控制器，實現了軌跡跟蹤，但為未考慮未知干擾對機器人軌跡跟蹤的影響。文獻［6］針對質心和幾何中心存在偏差的移動機器人，基于動力學模型設計了具有全局穩定的自適應滑模控制器，該控制器滿足軌跡跟蹤要求并消除滑模輸入抖振。文獻［7］針對差速輪式移動機器人軌跡跟蹤存在的問題，提出一種與PD控制相結合的模糊滑模變結構控制，保證了對不確定性和干擾的魯棒性，并可以有效地跟蹤參考軌跡。文獻［9］針對移動機器人軌跡跟蹤，提出一種基于Backstepping 運動學控制器與雙自適應神經滑模動力學控制器，不但可以解決系統不確定性問題，還消除了滑模控制中的抖振現象。考慮到設計的差速驅動AGV將應用于工廠物料運輸，在實際工作中會存在多種不確定因素的影響。為了使AGV能夠在未知環境中能夠具有較高精度的軌跡跟蹤控制，參考文獻中有關算法，提出并設計了一種與Backstepping控制相結合的自適應模糊滑模控制，用自適應模糊邏輯控制器取代滑模控制器中控制信號不連續的部分，避免了滑模控制輸入抖振，滑模控制器保證了系統對參數攝動和外界干擾的魯棒性。基于Lyapunov穩定性理論，分析證明了差速驅動AGV系統的魯棒性和跟蹤誤差收斂性和自適應規律。直線和圓弧軌跡仿真試驗結果表明了所設計控制策略可以有效地跟蹤參考軌跡，并且可以消除由滑模控制引起的輸入抖振。

2 AGV的數學模型

2.1 AGV的運動學模型

只考慮AGV在二維水平面上運動情形，其運動學模型，如圖1所示。坐標系XOY為廣義坐標系，G是AGV車體的質心點，P是AGV左右驅動輪的中心點，也是AGV車體的幾何中心點。取幾何中心點P作為AGV 小車在廣義坐標系中的參考點，用q=[xP，yP，θ]T表示AGV在廣義坐標系中位姿狀態矢量。l為質心點與幾何中心點之間的距離；b為AGV幾何中心點P到驅動輪中心線的距離；2r為AGV小車驅動輪的直徑。[v，ω]為AGV車體的線速度和角速度。

圖1 AGV結構簡圖Fig.1 The Structure of AGV

AGV驅動輪在滿足純滾動、無側向滑動的條件下，AGV小車受到非完整約束，約束方程的形式如下：

由圖1 可知，AGV 車體的質心點G和幾何中心點P并不重合，由點G和點P的位置關系，求得點P的速度為：

AGV小車以點P作為參考點，將AGV小車的線速度和角速度[v，ω]轉化為AGV在廣義坐標系下的廣義速度則AGV小車的運動學模型可描述為：

2.2 AGV的動力學模型

采用Euler-Lagrange 方法構造差速驅動AGV 的動力學模型，分析其動力學特性對系統穩定性及軌跡跟蹤控制性和魯棒性的影響。根據Euler-Lagrange建模方法，AGV小車的動力學模型可由如下Lagrange方程描述：

式中：AT(q)—AGV以點P為參考點時的約束矢量；λ—附加約束力條件即Lagrange乘子；E(q)—以P為參考點時的輸入力矩轉換矩陣；τ=[τL，τR]T—AGV左右驅動輪電機控制輸入力矩矢量。

將點P的廣義坐標和式（3）代入式（4），通過計算并整理，則AGV動力學模型可以描述為：

式中：M(q)—系統以P為參考點時的慣性矩陣，是正定對稱矩陣；B(q，)—系統以P為參考點時的向心力和哥氏力矩陣；F(q，)—系統表面摩擦力；G(q)—系統重力項；τd—系統有界干擾。

對AGV運動學模型式（3）兩邊求微分得：

3 AGV自適應模糊滑模控制器設計

3.1 AGV運動學控制器設計

設AGV的期望位姿矢量為qr=[xr，yr，θr]T，期望速度矢量為Vr=[vr，ωr]T；實際位姿矢量為q=[x，y，θ]T，速度矢量為V=[v，ω]T。則AGV在廣義坐標系的軌跡跟蹤位姿誤差和位姿誤差微分方程分別為：

采用Backstepping技術設計AGV系統運動學控制器[6]，選取的Lyapunov候選函數為：

式中：kɑ、kb—正常數。將式（13）代入式（12），得：

當kɑ＞0，kb＞0，且vr＞0 時，由式（11）和式（14）可知L1≥0，≤0。由此根據AGV軌跡跟蹤位姿誤差模型選取的AGV虛擬控制速度滿足Lyapunov穩定性條件，能使AGV的軌跡跟蹤位姿誤差qe=[xe，ye，θe]T在有限時間內趨向于零。

3.2 AGV動力學控制器設計

選取AGV虛擬控制速度矢量為VC=[vC，ωC]T，定義AGV的速度誤差為：

當AGV系統不存在外部干擾并且模型參數確定時，則等效控制律（18）可使系統穩定在滑模面上[7]。考慮到在現實使用環境中，AGV系統模型存在參數攝動和外部干擾的影響，必須考慮引入切換控制律τsw來進行補償，則等效控制律和切換控制律的聯合控制律為：

3.3 自適應模糊滑模控制器設計與穩定性分析

AGV系統的滑模控制律（19）中存在不連續切換特性，將會引起系統抖振。利用模糊系統的萬能逼近特性，用模糊控制增益G^(S)來逼近滑模控制中的Ksgn(S)項，來消除抖振現象[8]，這樣新的控制律可描述為：

自適應模糊控制器擬采用單值模糊器、中心平均解模糊器、Sugeno型模糊邏輯推理系統和乘積推理機，模糊系統的輸入為系統的滑模面S，模糊系統的輸出為替換模糊增益G^(S)。根據自適應模糊控制器的設計思想，模糊規則設計為：

模糊系統的輸入隸屬度函數選擇高斯函數，并且其參數是預先確定的[10]，則輸入隸屬度函數圖，如圖2所示。其隸屬函數可表示為：

圖2 輸入隸屬度函數圖Fig.2 Input Membership Function

模糊系統的輸出隸屬度函數為單值型，模糊系統的輸出(si)可表示為：

自適應模糊滑模控制器穩定性可通過Lyapunov函數證明，選取總的Lyapunov 函數為：L=L1+L2。AGV 運動學控制器設計中Lyapunov函數L1已得到證明，現在只需要分析Lyapunov函數L2：

4 仿真分析

仿真試驗以圖1 所示的差速驅動AGV 為研究對象，利用MATLAB/Simulink 建立AGV 軌跡跟蹤控制器的仿真模型，驗證所設計的控制算法的有效性。AGV 軌跡跟蹤控制器的結構框架，如圖3 所示。AGV 系統參數為：m=60kg，JG=24kg·m2，r=0.12m，b=0.25m，l=0.25m；控制器參數為：kɑ=kb=1，γ1=γ2=0.05，c=[-1.5，-1.0，-0.5，0，0.5，1.0，1.5 ]，λ1=λ2=1。仿真過程中，在仿真時間為15s時，AGV系統受到外力沖擊（一個矩形脈沖信號，幅值為5，時間寬度為0.5s）。

圖3 AGV軌跡跟蹤控制器結構框圖Fig.3 Block Diagram of AGV Trajectory Tracking Controller

4.1 直線軌跡

選取直線軌跡為參考軌跡，其軌跡方程為：xr(t)=t，yr(t)=t，θr(t)=π/4；參考速度為選取參考軌跡的初始位姿為：xr(0)=0，yr(0)=0，θr(0)=π/4；受控AGV的實際初始位姿為：x(0)=3，y(0)=-1，θ(0)=π。試驗仿真結果，如圖4所示；在未加入外力沖擊前，AGV在初始位姿穩定調節過程中向前移動了約5.6m；當AGV進入穩定狀態后，初始位姿誤差逐漸收斂到零，實際速度收斂到參考速度，電機控制輸入力矩平滑地收斂到穩定狀態。當AGV受到外力沖擊時，AGV系統實際運行軌跡會在參考軌跡附近波動，大約4.8s后再次實現對參考軌跡的跟蹤；其位姿跟蹤誤差、實際運行速度和電機輸出力矩均能夠較快的恢復到原來的穩定狀態。

圖4 直線軌跡仿真曲線Fig.4 Linear Trajectory Simulation Curve

4.2 圓弧軌跡

選取圓弧軌跡為參考軌跡，其軌跡方程為：xr(t)=-sin(t)，yr(t)=cos(t)，θr(t)=t；參考速度為：vr=1m/s，ωr=1rad/s。選取參考軌跡的初始位姿為：xr(0)=0，yr(0)=1，θr(0)=π；受控AGV的實際初始位姿為：x(0)=0，y(0)=0，θ(0)=π/4。

試驗仿真結果，如圖5所示。在未加入外力沖擊前，AGV系統大約在5.4s后進入穩定狀態，沿著期望軌跡運行，位姿誤差收斂到零，電機控制輸入力矩平滑地收斂到穩定狀態；當AGV受到外力沖擊時，AGV會偏離參考軌跡行駛，位姿誤差瞬間增大，大約4.5s后系統達到穩定狀態；其位姿跟蹤誤差、實際運行速度和電機輸出力矩均能夠較快的恢復到原來的穩定狀態。

圖5 圓弧軌跡仿真曲線Fig.5 Arc Trajectory Simulation Curve

5 結論

針對四輪式差速驅動AGV 的軌跡跟蹤問題，首先建立了AGV 的運動學和動力學模型；其次考慮到其動力學模型中存在系統參數攝動和外部干擾等情況，建立了基于Backstepping技術的運動學控制律和基于滑模控制技術的動力學控制律；雖然滑模控制器能有效的克服系統參數攝動和外部干擾，但會出現抖振現象；利用模糊系統的萬能逼近特性，用模糊控制增益來逼近滑模控制中的不連續切換部分，實現自適應調節；最后用Lyapunov穩定性理論證明了所設計的軌跡跟蹤控制律的穩定性和跟蹤誤差的漸進收斂性。仿真試驗結果表明，AGV系統的Backstepping運動學控制器和自適應模糊滑模動力學控制器的混合控制器能夠有效的跟蹤給定的參考軌跡，并且對系統中存在的參數攝動和外部干擾具有較強魯棒性，同時可以消除滑模控制的輸入抖振。