適時質疑引領學生自主探究

張敬君

培養和發展學生深度思維，成為現代教學的核心價值和教學目標追求?！稊祵W課程標準》指出：數學教學要讓學生初步學會用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常其他學科中的問題。數學深度思維能力是指發生在數學活動中的較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，它在數學教學目標中主要表現為分析、評價和創造。如今的部分數學習慣于死板的聽講，低級的模仿，缺乏發現問題和解決問題的意識和能力，培養學生的質疑意識與習慣，讓他們敢于質疑，敢于創新，成為當務之急。下面筆者就復習課"運動路徑問題"，探尋如何用"問題"引領學生深度思維。

一、適時設問 引領學生自主探究

教學片斷1如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D為線段BC上一動點，從B運動到C，以AD為直角邊且在AD的右側作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE.求出點E運動的路徑長。

學生運用動點路徑問題的通性通法，先確定起點、過程點和終點的位置，探索出點E的大致形狀，從而求出點E運動的路徑長為2[2]。教師設問：大家有沒有疑惑的地方？

學生1：怎么來說明點E的運動路徑是線段？

學生2：可以運用“SAS”證明△ABD≌△ACE。

學生3：根據全等三角形性質得出∠ACE=∠ABD=45°，因為線段AC固定，而∠ACE始終等于45°，即E點沿著線段運動。

學生4： 可以通過瓜豆原理來理解，主動點是D，從動點是E，點E是點D繞A逆時針旋轉90°得到，點D的運動路徑是線段BC，所以點E的運動路徑就是線段BC繞A逆時針旋轉90°得到的線段，它的路徑長就等于線段BC的長。

教師適時設疑，學生們你一言，我一語，引發學生自主釋疑，讓學生對運動路徑的感性認知上升為理性認識。學生之間的思維方式更接近，對知識的本質的理解更容易接受，從而營造全員參與、主動探究的課堂氛圍，喚醒學生的自主意識，促進學生的認知情感，由消極被動狀態轉向積極主動狀態。

二、適時合作 引領學生多維探究

教學片斷2 如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是BC邊上一定點，且CD=1，點E是線段DB上一動點，連接AE，以AE為斜邊在AE的右側作等腰直角△AEF.當點E從點D出發運動至點B停止時，點F的運動的路徑長為____。

學生分組交流后發現，問題的關鍵又聚焦到如何說明點E的運動路徑是線段。

方法1：全等變換

如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N.先證明△FNA≌△FME（AAS），可得FM=FM，AN=EM，又由四邊形CMFN是正方形，可知∠FCN=45°是一個定角，再加上定線段CA，所以點F沿線段運動，從而求得點F的運動的路徑長為[322]。

方法2：相似變換

先確定起始位置[△ADF1]和運動過程中任一位置△AEF，連結 [F1]F，先證明△ADE和△A[F1]F相似，故∠A[F1]F=∠ADE，而∠ADE是 定角，從而∠A[F1]F是定角，再加上定線段[F1]A，所以點F的運動路徑是線段。

方法3：組合變換

本題是一個雙動點問題，主動點E的運動路徑是線段DB，從動點F是繞A逆時針旋轉45°，再以A為位似中心，按位似比[2]：1縮小得到，所以點F的運動路徑就是：線段BD繞A逆時針旋轉45°，并縮小到原來的[2]分之一，從而求得點F的運動的路徑長為[322]。

通過小組釋疑，靈活運用幾何性質確定圖形運動過程中不變的幾何量，從全等變換、相似變換、四點共圓、函數思想、組合變換等多種角度，去審視題目的本質，從而判定出軌跡的幾何特征，潛移默化中，學生的問題意識和質疑能力得以提升。

三、適時延伸 引領學生深度探究

教學片斷3 如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，點M的運動路徑長為_____。

借助軌跡思想，學生先抓牢題中的不變量，很明顯平面直角坐標系、點A（2，0）與點B（5，0）是本題中的不變元素;題中涉及兩個動點P和M，其中主動點是點P，從動點是點M，它隨著動點P的運動而運動。

主動點P的軌跡是：以定點A為圓心，2為半徑的⊙A，即動點P的軌跡是一個整圓⊙A，如圖1所示。

每給定一個點P，從動點P就繞點B順時針旋轉45度，再以定點B為位似中心，按位似比1：[2]放大，得到點M，如圖2和圖3所示，從而得到點M的運動路徑依然是一整圓。

我們先確定點M所在圓的圓心，把⊙A的圓心A繞點B順時針旋轉45度，再以B為位似中心，按位似比1：[2]放大（先旋轉，后位似——捆綁變換），得到M所在的圓的圓心，記為C，則圓心C的坐標

為（2，3）;再確定半徑，半徑是⊙A的半徑的[2]倍，故⊙C的半徑長為2[2]。從而點M的運動路徑是：以點C為圓心，以2[2]為半徑的圓，如圖4所示，最后求得其運動路徑長為4[2]π。

通過本題的拓展延伸，有利于鞏固運動軌跡問題的通解通法，更重要的是能提煉問題本質，深化數學思想。在此過程中，學生學會發現、學會創造，從而培養了學生的科學探究能力。

四、教學啟示

關于學生探究的重要性，溫伯格曾言：最好的學生與次好的學生的區別不在于知識的多少，而在于對未知領域的探究能力。這就要求我們摒棄從前灌輸式的固化教學形式，合理設計問題，適時質疑，驅動學生主動探究、深入探究，感悟數學思維過程，積累數學活動經驗，提升數學核心素養，發展數學創新能力。讓質疑成為一種能力，成為一種習慣，在主動探究的數學課堂中，享受教學相長的快樂。