乳膠氣球浮力變化分析與垂直運動軌跡模擬

朱華健，李凡珠，諶志鵬，何 紅，肖迪娥，張立群

（1.北京化工大學 有機無機復合材料國家重點實驗室，北京 100029；2.北京化工大學 機電工程學院，北京 100029；3.中國化工株洲橡膠研究設計院有限公司 臨近空間探空氣球材料與技術湖南省重點實驗室，湖南 株洲 412000）

臨近空間通常是指離地面20～100 km范圍的空域，其下是傳統航空器的活動空間，其上是航天器的運行范圍。臨近空間浮空器是一種主要依靠浮力對重力進行平衡，能夠長時間滯空并執行任務的飛行平臺，主要包括高空氣球和平流層飛艇兩大類[1]。其中高空氣球不需要推進裝置，具有飛行高度大、成本低、準備時間短、使用靈活等特點。目前廣泛應用的高空氣球主要有零壓氣球、超壓氣球和乳膠氣球[2]。

零壓氣球的底部設有排氣管道，當達到最大體積后，產生自由升力的浮升氣體從排氣管道排出，氣球高度隨之保持穩定。但是由于浮升氣體的密度隨大氣的晝夜溫度差而變化，零壓氣球內的浮升氣體不可逆地排出，導致浮力減小，滯空時間有限。超壓氣球采用封閉結構，蒙皮為高強度塑料，升空過程中可以承受浮升氣體與大氣之間的壓力差而使氣球體積不變，因此浮力基本穩定，可以實現超長時間滯空，但其成本昂貴（超過數萬美元[2-3]）。乳膠氣球是以天然膠乳為主要原料，再配合適量助劑加工而成，其拉斷伸長率極高。乳膠氣球在升空過程中不斷膨脹，直至球皮的拉伸強度超過極限，氣球破裂，探測結束。乳膠氣球具有成本低廉、施放方便、使用靈活的特點，探測高度在30 km左右，如中國化工株洲橡膠研究設計院有限公司2010年研制開發的750Ⅱ型氣象乳膠氣球的平均升空高度在29 km以上。本研究正是基于此型號乳膠氣球而展開[4]。

世界很多科研機構在研究高空氣球，如美國國家航空航天局（NASA）、法國國家空間研究中心、日本宇宙科學研究所、中國科學院光電研究院氣球飛行器研究中心等。其中NASA在1989年就開始對長時滯空氣球進行研究。1989—1994年，NASA進行了長時氣球（LDB）[5]工程，旨在開發能在南極和中緯度地區飛行的長時零壓氣球。1994年，NASA開始了長時氣球飛行器（LDBV）[6]的研究計劃，對氣球蒙皮材料和超壓技術進行研究，大大減小了晝夜浮升氣體溫度差導致的超壓氣球飛行高度變化。1997年，NASA開展超長時氣球（ULDB）[7]的研發，通過采用新型的材料和結構設計，提高了超壓氣球的超壓承受能力和延長了飛行時間。

盡管零壓氣球和超壓氣球具有更長的滯空時間和更大的負荷能力，但是成本遠遠高于乳膠氣球。因此仍然有研究團隊在對乳膠氣球進行開發和改進，目前國內的氣象臺站也基本采用乳膠氣球作為探空儀器的載體進行高空探測。

斯坦福大學的Sushko等開發了一種乳膠氣球（ValBal），通過控制ValBal向外排氣和向下拋重物，使其在10～25 km范圍內任意高度保持穩定，并大大延長了滯空時間。在2016年11月的試驗中，其飛行時間達到79 h，從美國加州飛至加拿大的魁北克，飛行里程達到5 633 km（3 500英里）[2]。2017年，該團隊通過對ValBal的機械結構和控制系統進行改進，于12月創下了121 h的最長飛行時間記錄。至此，該團隊已先后5次打破乳膠氣球飛行時間的世界紀錄。ValBal的成本在1 000美元以下，遠低于同等性能的零壓氣球和超壓氣球[8]。而目前國內對乳膠氣球的研究仍然不夠。

本課題組聯合臨近空間探空氣球材料與技術湖南省重點實驗室對乳膠氣球進行研究，基于理想氣體狀態方程對乳膠氣球浮力進行推導計算，分析乳膠氣球內外氣壓差以及晝夜浮升氣體溫度差對其浮力及運動產生的影響；通過對中性浮力的推導和計算，得到中性浮力高度與浮重比的關系，確立乳膠氣球在特定高度水平漂浮的原理和條件；在合理假設的基礎上，建立乳膠氣球的幾何模型、大氣模型以及動力學模型，利用開發的算法，結合施放試驗數據，對乳膠氣球的垂直運動軌跡進行模擬預測，分析阻力系數對模擬結果的影響，從而為乳膠氣球的進一步研究和實際施放提供參考。

1 乳膠氣球浮力變化分析

對于乳膠氣球浮力變化的分析，從最基本的理想氣體狀態方程開始：

式中：P，V，n和T分別表示氣體的壓力、體積、物質的量和溫度；R為理想氣體常數，取值8.314 J·（mol·K）-1。

1.1 乳膠氣球內外氣壓差對浮力的影響

圖1所示為試驗測得的10 km海拔高度范圍內乳膠氣球內外氣壓差與海拔高度的關系曲線。從圖1可知，在10 km海拔高度范圍內氣球內外氣壓差在0～150 Pa之間，這與A.Sushko等[2]的研究中乳膠氣球內外氣壓差保持在150 Pa范圍內的要求吻合。故將氣球的內外氣壓差設為150 Pa，并求出氣球內外氣差與大氣壓的比值。

圖1 乳膠氣球內外氣壓差與海拔高度的關系曲線Fig.1 Relationship curve of gas pressure difference inside and outside latax balloon and altitude

圖2所示為乳膠氣球內外氣壓差、大氣壓以及兩者的比值。

從圖2可以看出，氣球內外氣壓差在25 km高度范圍內比大氣壓小1個數量級以上，故可忽略。則根據式（4），乳膠氣球浮力幾乎不受內外氣壓差的影響，保持恒定。

圖2 乳膠氣球內外氣壓差與大氣壓的比值Fig.2 Ratio of gas pressure difference inside and outside latex ballon to atmospheric pressure

1.2 晝夜浮升氣體溫度差對乳膠氣球浮力的影響

溫度也是影響乳膠氣球運動的重要因素。在忽略氣球內外氣壓差的條件下，結合理想氣體狀態方程，氣球浮力可以表示為：

式中，T0和T分別表示變化前后的溫度，FB0和FB分別表示溫度變化前后的氣球浮力。

圖3所示為乳膠氣球內浮升氣體（氫氣）晝夜溫度的測試值。由圖3可知，高空中夜晚的氫氣溫度明顯低于白天的氫氣溫度，這主要由白天的太陽輻射導致。由式（6）可知，氫氣溫度的變化將導致乳膠氣球的浮力產生同等比例的變化。因此若乳膠氣球在高空中漂浮，晝夜交替產生的氫氣溫度差會導致氣球運動狀態發生改變。對于普通的乳膠氣球，難以實現在高空滯留過夜。因此，若要使乳膠氣球實現長達數天的滯空，需要加裝排氣和拋下配重裝置：夜晚溫度降低導致浮力減小，適量拋下配重進行平衡；白天溫度升高，則需排出一定量的浮升氣體，以減小浮力。

圖3 乳膠氣球浮升氣體晝夜溫度的測試值Fig.3 Day and night temperature test data of lifting gas of latex balloon

1.3 乳膠氣球中性浮力

結合經典的美國標準大氣1976年模型[1，9]，對乳膠氣球達到中性浮力的具體高度進行計算。試驗中采用氫氣作為浮升氣體。

不考慮氣球內外溫度差，設氣球內外氣壓差為150 Pa。根據大氣模型，利用Matlab軟件編寫程序，對式（10）進行求解，得到實現中性浮力的海拔高度為44 377 m。而普通乳膠氣球的最大飛行高度約為30 km，在達到中性浮力前氣球即發生了破裂。

當浮重比等于0時，乳膠氣球在地面即達到中性浮力。取不同的浮重比，即改變凈舉力，得到中性浮力高度與浮重比的關系曲線，如圖4所示。

圖4 乳膠氣球中性浮力高度與浮重比的關系曲線Fig.4 Relationship curve of equilibration hight and buoyancy to weight ratio of latex balloon

對于乳膠氣球的中性浮力高度，圖4的結果與A.Sushko等[8]的研究結果呈現一致性。由圖4即可根據實現中性浮力的目標高度得到所需的氫氣充氣量，如若要使乳膠氣球在30 km高度處達到中性浮力，則地面的浮重比約為0.13，即需要控制FL為0.19 kg。而乳膠氣球若要在更大的高度實現平衡，則需要進一步提高球皮材料的拉斷伸長率，保證其在達到中性浮力前不發生破裂。

通過理論推導，分析氣球內外氣壓差和晝夜浮升氣體溫度差對乳膠氣球浮力的影響，討論了乳膠氣球運動的特點以及難以長時間滯空和過夜的原因；再通過對中性浮力的計算，得到中性浮力高度與浮重比的關系，這對乳膠氣球的施放工藝具有指導意義。以上研究均基于理論推導，只能對乳膠氣球在某一特定條件下的狀態進行表征，而不能直觀地預測其運動軌跡。下面通過建立算法模型對乳膠氣球升空過程中的垂直運動軌跡進行模擬預測。

2 算法模型的建立

為了實現對乳膠氣球垂直運動軌跡進行模擬預測，在如下假設的基礎上，建立了幾何模型、大氣模型和動力學模型。

（1）乳膠氣球的形狀始終為球形。

（2）乳膠氣球內外溫度和氣壓均相等，Pgas＝Pair，Tgas＝Tair。

（3）浮升氣體采用純氫氣，且上升過程中不存在漏氣。

（4）不考慮大氣濕度、風等其他因素的影響。

2.1 幾何模型

根據地面處的受力分析，乳膠氣球初始體積為：

2.2 大氣模型

本算法采用施放試驗中實際測得的大氣溫度與大氣壓數據（如圖5和6所示）。大氣溫度隨海拔高度呈現出先降低后升高的趨勢，最低溫度低于－70 ℃。當海拔高度在0～16 km范圍內，每升高1 km，大氣溫度下降約5.7 ℃；當海拔高度在16～27 km范圍內，每升高1 km，大氣溫度升高約2.2 ℃。

圖5 大氣溫度與海拔高度的關系曲線Fig.5 Relationship curve of atmospheric temperature and altitude

圖6 大氣壓與海拔高度的關系曲線Fig.6 Relationship curve of atmospheric pressure andaltitude

根據理想氣體狀態方程，即可由大氣溫度與壓力得到大氣密度為：

2.3 動力學模型

高空乳膠氣球的浮力由浮升氣體與周圍大氣的密度差產生，以幫助探測系統克服重力和阻力升空并駐留。系統在垂直方向上的運動微分方程為[10-11]：

阻力系數為氣球系統形狀以及雷諾數（Re）的函數；虛擬質量系數由氣球的尺寸和形狀決定，取值范圍為0.25～0.5。本算法參考I.V.Dosselaer[12]的研究，取值為0.37。

3 模擬結果分析

基于上述模型，采用Matlab軟件開發的算法可對乳膠氣球垂直運動軌跡進行模擬預測，同樣采用乳膠氣球高空探測數據。

阻力系數為算法模型中重要的影響因素，存在多種取值方法。將氣球形狀簡化為球形后，阻

除了以上根據雷諾數進行阻力系數的取值方法外，也有部分研究阻力系數取定值，如ACHAB算法[16-17]和SINBAD算法[18]中阻力系數取值為0.45，BADS算法[12]中阻力系數取值為0.55。

根據雷諾數（102～106）對阻力系數進行取值的方法如圖7所示。根據A.Gallice等[19]的研究，對于地面半徑約為1 m的探空氣球，在其升空過程中，雷諾數從地面的8×105～9×105逐漸減小至30 km處的6×104～9×104。

圖7 根據雷諾數對阻力系數進行取值的方法Fig.7 Methods to determine values of drag coefficient based on Reynolds number

將動力學模型中的阻力系數分別按以上方法取值，基于本算法，得到的乳膠氣球垂直運動軌跡如圖8所示。

圖8 不同阻力系數取值對應的乳膠氣球垂直運動軌跡模擬結果Fig.8 Simulation results of vertical trajectory of latex balloon corresponding to different drag coefficients

分別計算以上各阻力系數取值方法得到的結果與試驗結果的相對平方誤差（E），計算公式如下：

式中，N為數據點數量，Hsimulation為模擬得到的高度，Htest為試驗測得的高度。

Carlson模型、Morris模型、Conner模型、阻力系數為0.45和阻力系數為0.55的E分別為34.80，76.44，1 785.82，12.35和72.15。

根據誤差計算結果，當阻力系數為0.45時，模擬得到的乳膠氣球垂直運動軌跡與試驗數據最為吻合。從圖8可以看出，與試驗結果相比，模擬結果具有較高的精確度，說明建立的模型可以用于對乳膠氣球垂直運動軌跡的模擬預測。當阻力系數為0.45時，程序運行得到的乳膠氣球狀態（浮力、阻力、速度、加速度）變化如圖9和10所示。

圖9 乳膠氣球升空過程中浮力和阻力的變化Fig.9 Changes of buoyancy and drag force of latex balloon during lift-off process

圖10 乳膠氣球升空過程中速度和加速度的變化Fig.10 Changes of velocity and acceleration of latex balloon during lift-off process

對浮力、阻力和加速度的均值進行求解，并計算其方差，以衡量離散程度，計算結果如下：浮力、阻力和加速度的均值分別為26.83 N，13.64 N和0.002 8 m·s-2；均值方差分別為0.011 8 N2，0.035 1 N2和0.005 2 m2·s-4。

綜上可以看出，乳膠氣球升空過程中，其浮力和阻力基本保持不變，與1.1節中理論推導的結果一致。乳膠氣球升空過程中的加速度同樣幾乎恒定，速度隨高度增大而增大。

4 結論

（1）在25 km高度范圍內，當溫度恒定，乳膠氣球內外氣壓差對浮力的影響可以忽略，浮力幾乎恒定。

（2）由晝夜浮升氣體溫度差導致乳膠氣球浮力變化，這是普通乳膠氣球難以在高空滯留過夜的原因，可以通過控制氣球排氣和拋重物延長滯空時間。

（3）乳膠氣球在未破裂的前提下，必定在某一高度達到中性浮力，從而實現水平漂浮。可以通過控制乳膠氣球凈舉力與系統總質量的比值來控制這一高度。

（4）將乳膠氣球形狀簡化為球形，忽略氣球內外溫度差和氣壓差，在不考慮氣體純度、漏氣、大氣濕度、風速等因素的前提下建立的算法模型，可以較好地模擬預測乳膠氣球的垂直運動軌跡，且阻力系數為0.45時得到的模擬結果精確度最高。乳膠氣球升空過程中的浮力、阻力和加速度幾乎不變，速度增大。

（5）通過理論推導分析了乳膠氣球浮力的變化，為深入探討乳膠氣球運動的特點提供了借鑒。通過建立算法模型，對乳膠氣球升空過程中的垂直軌跡進行了模擬，可以直觀地預測其運動狀態，從而指導實際施放工藝。但是本研究在理論推導和模型建立過程中進行了一系列假設和簡化，包括乳膠氣球形狀、氣球內外氣壓差和溫度差、大氣中其他要素的影響等，這些因素對試驗結果的影響仍然有待分析和研究。