例談求線段長的方法

鄧元勝

【摘要】在初中階段，無論在數學課本或數學考試的試題中常常會出現求線段長的問題，掌握求線段長的方法是初中學生的基本技能，本文通過舉例闡述了求線段長的幾種方法，并對如何靈活使用這幾種方法提出自己的看法和體會。

【關鍵詞】中學數學;舉例;線段長;方法

求線段長的方法分散在初中不同階段的教材中，由于學生學習求線段長的方法比較零散，學習時間跨度比較大，所以學生往往對求線段長的方法掌握得不好，在九年級中考復習第二階段—專題復習中，設求線段長的方法作一個專題復習，對于學生靈活掌握求線段長的方法很有必要，當考試中碰到求線段長的題目時才能得心應手，并且課本中沒有把求線段長的各種方法充分展示，因此需要教師幫助學生對該方法進行歸納和提煉，達到靈活掌握目的。下面，筆者介紹幾種求線段長的方法：

一、利用直角三角形求線段長

直角三角形中三邊滿足勾股定理，知道其中兩邊可以求第三邊，邊與角之間存在三角函數關系，知道一個銳角和一條邊可以求剩下的兩邊，因此在直角三角形中可以有兩種思路來求線段長：1. 勾股定理，2. 三角函數。在直角三角形中，若已知兩邊就用勾股定理來求第三邊，若已知一邊和一銳角就用三角函數求另一邊。

但是有些題目的圖形中，常常沒有直角三角形，需要添加輔助線來構造直角三角形，因此如何構造直角三角形往往成為解題的關鍵。現在來談一下構造直角三角形的幾種輔助線方法：

方法1：通過連線段來構造

在人教版九年級上冊《圓》這一章與切線有關的計算題中，往往需要利用切線的性質定理“圓的切線垂直于經過切點的半徑”來構造直角三角形。

例1.如圖1，已知在△OAB中，OA=OB，AB=6，∠A=30°，⊙O與 AB相切于點C，則⊙O的半徑等于 ? ? ? ? ? ?.

解題方法：如圖2，連接OC，構造直角△OAC（或△OBC），由等腰三角形性質得AC=3，再運用三角函數得，OC=AC·tan30°= ?3 ，從而求出⊙O的半徑為 ?3 。

方法2：通過畫垂線來構造

通過畫垂線來構造直角三角形是初中階段最常見的一種輔助線的方法，在多邊形（通常是四邊形）背景下有關邊的計算題中常常需要畫垂線，把多邊形轉化為若干個直角三角形，從而把所求問題轉化為直角三角形求邊長問題來解決。

例2.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=4，AD=6，BC=9，求CD的長.

解題方法：如圖4，可以過點D作DE⊥BC于點E， 構造直角△DEC，先求出DE=4，CE=3，再通過勾股定理，CD= ?DE2+CE2 ?，求得CD的長為5。

當然，本題也可以過點A作AF∥CD， 構造直角△ABF，先用勾股定理求出AF的長，再利用AF=CD求得結果，這是后面所講的其中一種方法。

方法3：通過作變換來構造

初中數學的幾何變換有平移、旋轉、對稱等，對于一些比較綜合的題目，有時需要把題目的圖形的某一部分作幾何變換，把原來是分散的三邊構造在一個直角三角形，利用直角三角形把問題解決，旋轉變換是一種比較常見的幾何變換，通常要把某三角形繞某一點旋轉一定的角度到新位置，把已知邊和所求邊構造在一個直角三角形。

例3.如圖5，AB=AC，∠CAB=90°，

∠ADC=45°，AD=4，CD=3，求BD的長.

解題方法：如圖6，把△ADC繞點A逆時針旋轉90°到的位置，連接DE，得△ADC≌△ABE，△ADE是等腰直角三角形，用勾股定理求出DE=4 2 ，因為∠AED=∠AEB=45°， ?所以∠DEB=90°，從而構造出直角△DBE，利用勾股定理就可以求出BD的長為 41 ，解決本題的關鍵是作旋轉變換，構造出直角三角形，旋轉變換的口訣是“等邊長共端點”。

二、利用列方程求線段長

運用列方程求線段長是一種常見的方法，這種方法的步驟：把線段長看作為一個未知數，找出等量關系建立方程，通過解方程得到所求的線段長。這種求線段長方法最關鍵的環節是找出等量關系建立方程，等量關系往往不是已知條件，需要自己去發掘，這是解題的難點。一般來說，求線段長有以下幾種建立方程的方法：

方法1：通過線段相等建立方程

這種方法主要通過兩條線段相等或一條線段長等于幾條線段長的和或差來建立方程 。

例4. 如圖7，已知⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，BC=2， AC=3，AB=4，則AF的長是 ? ? ? ? ?。

解題方法：設AF=AD=x，則BD=BE=4-x，CF=CE=3-x，由BC=CE+BE，建立方程：2=3-x+4-x，解得：x=2.5，得到AF的長是2.5。本題是通過一條線段長等于幾條線段長的和建立方程 。

方法2：通過面積相等建立方程

這種方法主要通過兩個圖形面積相等或一個圖形面積等于幾個圖形的面積和或差來建立方程 ，通常稱為“等積法”，有時也會由一個圖形面積的不同計算方法來建立方程。

例5. 如圖8，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC= ?5 ，則CD的長是 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解題方法：先用勾股定理求出AB的長為3，再利用△ABC面積的不同計算方法，建立方程：

S△ABC= ? AB·CD= ? ?AC·BC，建立方程：