基于數學史的數學試題題根教學探索

張婷

【摘要】數學史是數學科學發展的歷程，學習數學史，能夠幫助學生形成系統、科學的的思維和方法。高考題、競賽題本質上就是數學史中的精典問題。所以我們在教學中重視題組式教學，深層研究它們的共性，不能把它們當成一些孤立的問題，而應該追根溯源。本文以兩個案例為例，從數學史的角度對數學問題的題根進行探索，將問題串聯起來，由點及面，找到它們的本質聯系。

【關鍵詞】數學史;題根;題組式教學;高考

2017版《普通高中數學課程標準》提出“數學文化應融入數學教學活動。在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值。”近些年高考強調數學文化內容，而其中大多數內容是以數學史為載體。數學史是數學科學發展的歷程，它詮釋了數學科學從簡單到復雜，從低級到高級不斷發展進步的過程，蘊含極大的文化價值。將數學史融入高中數學課堂教學是新課程標準的一個重要突破，能夠幫助學生形成系統、科學的的思維和方法。

數學史，不應該只是教學中的背景板。一線教師應該熟悉數學史，挖掘數學文化在教學中的新的生長點。在高考題中，并不是僅僅有以數學文化為背景的試題，更多的高考題、競賽題本質上就是數學史中的精典問題。研討、熟悉數學史可以高屋建瓴地深究某些數學問題的題根。倘若我們對數學史茫然不知，在數學探究中就很可能起點低、做無用功。我們通過數學史來研究題根題源就是登高而望遠，站在巨人的肩膀上。所以我們在教學中重視題組式教學，深層研究它們的共性，不能把它們當成一些孤立的問題，應該追根溯源，對數學問題的題根進行探索，將問題串聯起來，由點及面，找到它們的本質聯系。

本文以兩個案例為例進行探討研究.

案例1：阿波羅尼斯圓：

例1 （2018年高考數學江蘇卷第13題）在△ABC中，AB=2， CA= ?2 ?CB，求△ABC面積的最大值.

常規解法：本題的常規解法是運用解三角形的方法解題。

設BC=a，則AC= 2 a，利用余弦定理可求得cosB= ? ? ?，則cos2B= ? + ? - ? ?，則sin2B=1-cos2B= ? ?- ? ?- ? ?，再利用三角形面積公式S△ABC=a sinB，繼而可求S△ABC2=- ? （a2-12）2+8，當a2=12，即a2=2 ? 3 ?時，S△ABC有最大值2 ?2 .

這種解法轉化思想是關鍵，其中由余弦到正弦的運算，由于形式復雜，難以預知下一步演算的結構，學生不敢進入運算，屬于難題。

然而，這雖然是解三角形問題，但也屬于平面幾何問題，從解析幾何范疇去探討C點的軌跡，會發現C點的軌跡是一個圓，即是阿波羅尼斯圓。

阿波羅尼奧斯（約前262年至前190年），古希臘幾何學家。著有《圓錐曲線論》八卷等。俗稱的阿波羅尼斯圓是以下定理：平面上到兩個定點的距離之比等于定值（且該定值不為1）的動點軌跡是一個圓。

由CA= ?2 CB，得到C點的軌跡是一個圓，因此運用坐標法可以求得C的軌跡方程，則?△ABC是以AB為底，以C點到AB的距離為高的三角形，所以當C點到AB的距離為圓的半徑時，S△ABC有最大值。

同樣我們很容易破解以下問題：

變式：在平面直角坐標系xOY中，O為坐標原點，動點M到點P（1，0）與到點Q（4，0）的距離之比為 ? ?，已知A（ 2 ，0） ，則∠OMA的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

案例2：極點與極線：例2（2010年高考文科數學湖北卷第15題）已知橢圓： ? +y2=1的兩個焦點F1，F2，點P（x0，y0）滿足0< ? ? +y02< 1，則|PF1|+|PF2|的取值范圍為 ? ? ? ? ?，直線 ? ? ?+y0y=1與橢圓C的公共點個數是 ? ? ? ? ? ? .

關注焦點在第二個空，依題意可知，點P在橢圓內部且不是坐標原點，常規解法有兩種，方法1是特值法，取P（0， ? ），根據x0的范圍，數形結合可以得到直線與橢圓相離;方法2是將直線與橢圓聯立，根據判別式△判斷，對小題而言這個方法運算量大。然而，根據 ? ? ? +y0y=1直線的形式，讓我們聯想到了極點與極線。

法國數學家笛沙格在《圓錐曲線圖論稿》（1639年）中提出了極點極線的概念。極點與極線是高等幾何中的重要概念，雖然不是高中數學課程標準中規定的內容，但由于極點與極線是圓錐曲線的一種基本特征，也常作為高考試題的題源。

極點與極線：已知圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點P（x0，y0）和直線l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圓錐曲線Γ的一對極點和極線。事實上，在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以 ? ? ? ? 替換x（另一變量y也是如此）即可得到點P（x0，y0）極線方程。

極點與極線作法：

（1）當點P在圓錐曲線Γ上，則過P點的切線即為極線。

（2）當點P在圓錐曲線Γ外，從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在的直線）即為極線。