Hom-LPNG代數的相關性質

張永平, 魏 竹, 張慶成

(1. 沈陽化工大學 理學院, 沈陽 110142； 2. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

Hom-型代數是在Hom-Lie代數[1]的基礎上, 增加一個線性映射后得到的一類新代數, 是Hom-Lie代數的一種推廣. 目前, 關于Hom-型代數的研究已有很多成果. 例如： 在一個代數體系中有Hom-Novikov代數[2-3]、 Hom-Leibniz代數[4-5]和Hom-結合代數[6-7]等； 在兩個代數體系中有Hom-Novikov-Poisson代數[3]、 Hom-Novikov-Poisson超代數[8]和Hom-Gel’fand-Dorfmand代數[9-10]等. WANG等[11]在交換結合代數、 李代數、 Novikov代數的基礎上定義了LPNG代數. 受上述Hom-型代數和LPNG代數的啟發, 本文給出三個代數體系中Hom-LPNG代數的概念, 并給出Hom-LPNG代數的相關性質.

1 預備知識

定義1[9]設L是一個線性空間, ·:L×L→L是一個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, 如果下列條件成立：

x·y=y·x, ?x,y∈L,

(1)

(x·y)·σ(z)=σ(x)·(y·z), ?x,y,z∈L,

(2)

則稱(L,·,σ)為Hom-交換結合代數.

定義2[3]設L是一個線性空間, °:L×L→L是一個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, 如果下列條件成立:

(x°y)°σ(z)=(x°z)°σ(y), ?x,y∈L,

(3)

(x°y)°σ(z)-σ(x)°(y°z)=(y°x)°σ(z)-σ(y)°(x°z), ?x,y,z∈L,

(4)

則稱(L,°,σ)為Hom-Novikov代數.

定義3[3]設L是一個線性空間, ·,°:L×L→L是兩個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, (L,·,σ)是一個Hom-交換結合代數, (L,°,σ)為Hom-Novikov代數, 如果下列條件成立：

(x·y)°σ(z)=σ(x)·(y°z), ?x,y,z∈L,

(5)

(x°y)·σ(z)-σ(x)°(y·z)=(y°x)·σ(z)-σ(y)°(x·z), ?x,y,z∈L,

(6)

則稱(L,·,°,σ)為Hom-Novikov-Poisson代數.

定義4[9]設L是一個線性空間, [,]:L×L→L是一個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, 如果下列條件成立：

[x,y]=-[y,x], ?x,y∈L,

(7)

[σ(x),[y,z]]+[σ(y),[z,x]]+[σ(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L,

(8)

則稱(L,[,],σ)為Hom-Lie代數.

定義5[9]設L是一個線性空間, [,]和°:L×L→L是兩個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, (L,[,],σ)是一個Hom-Lie代數, (L,°,σ)為Hom-Novikov代數, 如果下列條件成立：

則稱(L,°,[,],σ)為Hom-Gel’fand-Dorfman代數.

定義6設L是一個線性空間, [,],·,°:L×L→L是三個雙線性映射,σ:L→L是一個線性映射, 且(L,·,σ)為Hom-交換結合代數, (L,°,σ)為Hom-Novikov代數, (L,[,],σ)為Hom-Lie代數, 如果式(5),(6),(9)及下列條件成立:

[x,y]·σ(z)=[x,z]·σ(y)+σ(x)·[z,y], ?x,y,z∈L,

(10)

則稱(L,·,°,[,],σ)為Hom-LPNG代數.即(L,·,°,σ)為Hom-Novikov-Poisson代數, (L,°,[,],σ)為Hom-Gel’fand-Dorfman代數, 且運算·和[,]均滿足式(10).

f°g=f·?(g), [f,g]=f·?(g)-g·?(f),σ(xα)=(x+c)α,

其中c∈是一個定值,α是任意正整數, 則(L,·,°,[,],σ)為一個Hom-LPNG代數.

2 主要結果

證明： 證明分如下4步.

1) 由于

x·σy=σ(x)·σ(y)=σ(x·y)=σ(y·x)=σ(y)·σ(x)=y·σx,

(x·σy)·σσ(z)=σ(σ(x)·σ(y))·σ2(z)=σ2((x·y)·z),

σ(x)·σ(y·σz)=σ2(x·(y·z))=σ2((x·y)·z),

即(x·σy)·σσ(z)=σ(x)·σ(y·σz), 因此式(2)成立.于是(L,·σ,σ)是一個Hom-交換結合代數.

3) 由于

(x·σy)°σσ(z)=σ(σ(x)·σ(y))°σ2(z)=σ2((x·y)°z),

σ(x)·σ(y°σz)=σ2(x·(y°z)),

因此式(5)成立.又由于

(x°σy)·σσ(z)-σ(x)°σ(y·σz)=σ2((x°y)·z)-(x°(y·z)),

(y°σx)·σσ(z)-σ(y)°σ(x·σz)=σ2((y°x)·z)-(y°(x·z)),

因此式(6)成立.于是(L,·σ,°σ,σ)是一個Hom-Novikov-Poisson代數.

4) 由于

故式(10)成立.

命題2設(L,·,°,[,])是一個LPNG代數,σ為(L,·,°,[,])的一個自同態.如果定義運算·σ,°σ,[,]σ如下:

x·σy=σ(x)·σ(y),x°σy=σ(x)°σ(y), [x,y]σ=[σ(x),σ(y)],

則(L,·σ,°σ,[,]σ,σ)為一個Hom-LPNG代數.

證明: 由命題1知(L,·σ,σ)是一個Hom-交換結合代數, (L,°σ,σ)是一個Hom-Novikov代數, (L,·σ,°σ,σ)是一個Hom-Novikov-Poisson代數.由文獻[9]中定理3.5知, (L,°σ,[,]σ,σ)是一個Hom-Gel’fand-Dorfman代數, 因此只需證明式(10)成立即可.由于

[x,y]σ·σσ(z)=σ2([x,y]·z),

[x,z]σ·σσ(y)+σ(x)·σ[z,y]σ=σ2([x,z]·y+x·[z,y]),

故式(10)成立.

綜上, (L,·σ,°σ,[,]σ,σ)為一個Hom-LPNG代數.

命題3設(L,·,σ)為一個交換Hom-交換結合代數,F是特征數為0的域.?λ∈F, ?是L的一個導子, 且?σ=σ?.如果定義運算°和[,]如下:

x°y=x·?(y)+λx·y, [x,y]=x·?(y)-y·?(x),

則(L,·,°,[,],σ)為一個Hom-LPNG代數.

證明: 證明分如下4步.

1) 由文獻[9]中推論3.9知, (L,°,σ)是Hom-Novikov代數.

2) 由于

(x·y)°σ(z)=(x·y)·?(σ(z))+λ(x·y)·σ(z)=σ(x)·(y·?(z))+λσ(x)·(y·z),

σ(x)·(y°z)=σ(x)·(y·?(z)+λy·z)=σ(x)·(y·?(z))+λσ(x)·(y·z),

因此式(5)成立.又由于

(y°x)·σ(z)-σ(y)°(x·z)=-σ(y)·(x·?(z))=-(y·x)·σ(?(z))=-σ(x)·(y·?(z)),

因此式(6)成立.于是(L,·,°,σ)是Hom-Novikov-Poisson代數.

3) 由文獻[9]中定理3.9知, (L,°,[,],σ)是Hom-Gel’fand-Dorfman代數.

4) 由于

故式(10)成立.

綜上, (L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數.

例2若將例1中°定義為f°g=f·?(g)+λx·y(λ是一個固定數), ·和[,]定義不變, 則由命題3知, 新代數(L,·,°,[,],σ)為一個Hom-LPNG代數.

命題4設(L,·,σ)為一個交換Hom-交換結合代數, 且σ2=σ, ?是L的一個導子, ?σ=σ?.如果定義運算°和[,]如下:

x°y=σ(x·?(y)), [x,y]=σ(x·?(y))-σ(y·?(x)),

則(L,·,°,[,],σ)為一個Hom-LPNG代數.

證明: 證明分如下3步.

1) 由文獻[9]中推論3.10知, (L,°,σ)是Hom-Novikov代數, (L,°,[,],σ)是一個Hom-Gel’fand-Dorfman代數.

2) 由于

(x·y)°σ(z)=σ((x·y)·?(σ(z)))=(σ(x)·σ(y))·σ2(?(z))=σ2(x)·(σ(y)·σ(?(z))),

σ(x)·(y°z)=σ(x)·σ(y·?(z))=σ(x)·(σ(y)·σ(?(z))),

且σ2=σ, 所以式(5)成立.又由于

(y°x)·σ(z)-σ(y)°(x·z)=-σ(x·(y·?(z)))=-σ(y·(x·?(z))),

故式(6)成立.因此(L,·,°,σ)是Hom-Novikov-Poisson代數.

3)由于

[x,y]·σ(z)=(σ(x·?(y))-σ(y·?(x)))·σ(z)=σ((x·?(y))·z-(y·?(x))·z),

故式(10)成立.

綜上, (L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數.

例3A是以{e1,e2}為生成元的二維空間, 定義其上的一個雙線性運算*為e1*e1=e1,e1*e2=e2*e1=0, 且A上的同態映射σ1(e1)=e1-e2,σ1(e2)=0, 則(A,*,σ1)是一個Hom-結合代數[7], 且顯然A是交換的.

令L={f|f=(kie1+kje2)xα,i,j,α∈}是一個以A為系數的x冪的代數, 其中x>0, 定義L上的運算如下:

則由命題4知(L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數.

命題5設(L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數, 如果存在ξ∈L, 使得σ(ξ)=ξ, 定義運算*為x*y=ξ·x·y, 則(L,*,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數.

證明: 證明分如下3步.

1) 由于x*y=ξ·x·y=ξ·y·x=y*x, 因此式(1)成立.又由于

故式(2)成立.因此(L,*,σ)是一個Hom-交換結合代數.

2) 由于

故式(5)成立.又由于

故式(6)成立.因此(L,*,°,σ)為Hom-Novikov-Poisson代數.

3) 由于

故式(10)成立.

綜上, (L,*,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數.

命題6設(L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數, 定義一個新運算[,]-為[,]-=x°y-y°x, 則(L,·,°,[,]-,σ)是一個Hom-LPNG代數.

證明: 由文獻[9]中定理3.2知(L,[,]-,σ)是Hom-Lie代數, (L,°,[,]-,σ)是一個Hom-Gel’fand-Dorfman代數.下面只需證明式(10)成立.由于

因此式(10)成立.

綜上, (L,·,°,[,]-,σ)是一個Hom-LPNG代數.

命題7(L,·,°,[,],σ)是一個Hom-LPNG代數, 如果存在ξ∈L, 使得σ(ξ)=ξ, 定義新運算*和[,]為x*y=ξ·x·y, [,]-=x°y-y°x, 則(L,*,°,[,]-,σ)是一個Hom-LPNG代數.

證明: 由命題5知, (L,*,σ)是一個Hom-交換結合代數, (L,*,°,σ)是一個Hom-Novikov-Poisson代數; 由命題6知, (L,[,]-,σ)是一個Hom-Lie代數, (L,°,[,]-,σ)是Hom-Gel’fand-Dorfman代數.下面只需證式(10)成立.由于

因此式(10)成立.

綜上, (L,*,°,[,]-,σ)是一個Hom-LPNG代數.