3-李代數(shù)T的結(jié)構(gòu)

白瑞蒲, 劉 培

(河北大學 數(shù)學與信息科學學院, 河北省機器學習與智能計算重點實驗室, 河北 保定 071002)

1 引言與預備知識

3-李代數(shù)在數(shù)學物理等領(lǐng)域應用廣泛, 關(guān)于其結(jié)構(gòu)的研究目前已有許多成果. Bai等[1]給出了3-李代數(shù)的表示及其形變； 文獻[2-3]研究了3-李代數(shù)的辛結(jié)構(gòu)、 積結(jié)構(gòu)和復積結(jié)構(gòu). 作為Hamilton力學系統(tǒng)的推廣, 3-李代數(shù)在Nambu力學系統(tǒng)中的研究也得到廣泛關(guān)注[4-9].

3-李代數(shù)L是域F上的向量空間, 且具有3-元斜對稱線性運算[,,][10], ?x1,x2,x3,y2,y3∈L, 滿足

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+[[x2,y2,y3],x3,x1]+[[x3,y2,y3],x1,x2].

對于任意一個交換結(jié)合代數(shù)A及3個可交換導子D1,D2,D3,A按下列運算構(gòu)成3-李代數(shù):

[x1,x2,x3]=(D1∧D2∧D3)(x1,x2,x3),

且稱其為Jacobi代數(shù).因此, 如果A是實數(shù)域上3-元任意次可微函數(shù)全體構(gòu)成的向量空間, 則A按運算

構(gòu)成3-李代數(shù), 該代數(shù)及其子代數(shù)稱為典型Nambu 3-李代數(shù).

是實數(shù)域上的線性空間, 則?f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)∈T,T按下列運算構(gòu)成3-李代數(shù):

將3-李代數(shù)仍記為T.為方便, 記

Ll=ysin(lx),Mr=zcos(rx), ?l∈且l>0, ?r∈且r≥0,

則有

L0=0,Ll=-L-l,Mr=M-r, ?l,r∈.

可以驗證, ?l,m,n,r,s,t∈,T是以 {Ll,Mr|l∈且l>0,r∈且r≥0}為基, 具有如下乘法的3-李代數(shù):

(1)

2 3-李代數(shù)T的可解性和冪零性

為方便, 記

Φ={L2q-1-(2q-1)L1,L2q-qL2|q∈且q>1},

Ψ={M2q+1-M1,M2q-M0|q∈且q>0}.

定理1向量組Φ∪Ψ構(gòu)成3-李代數(shù)T的導代數(shù)T1的一組基.

證明: 由式(1)可知,

所以

pL2q-qL2p∈L1, (2p-1)L2q-1-(2q-1)L2p-1∈L1, ?q>p≥1.

因此Φ∪Ψ?T1.再由式(1), 有

所以對任意l≠m,l,m≥0,l′≥0,m′≥1,s≥1,t≥0,s′≠t′,s′,t′≥1, 有

因此?l,m∈, [Ll,Lm,Mm]是Φ中向量的線性組合.

同理, 對任意l∈且l>0,s,t∈且s,t≥0, [Ll,Ms,Mt]是Ψ中向量的線性組合, 且Φ∪Ψ是線性無關(guān)組.證畢.

為方便, 對任意的n≥2, 記

定理23-李代數(shù)T是非冪零的3-李代數(shù).

證明: 首先證?n∈且n≥2, 有Tn=[T1,T,T]=T1.由式(1), 對任意l,m,n∈,l≥2, 有

所以

定理3T是非2-可解的3-李代數(shù).

證明: 易見T(0,2)=T,T(1,2)=[T(0,2),T(0,2),T]=T1.由定理1可知,

類似定理3可得如下結(jié)論.

定理4T是非3-可解的3-李代數(shù).

3 內(nèi)導子代數(shù)ad T的結(jié)構(gòu)

引入下列符號:

Wr,s=ad(Lr,Ms),Xr,s=ad(Lr,Ls),Yr,s=ad(Mr,Ms), ?r,s∈,

(2)

Γ={W1,r,Ws+1,0-Ws-1,0,Xr+1,1-Xr-1,1,Yr,0|r∈,r>0,s≥0},

(3)

W=〈pr|r∈且r≥0〉,V=〈qr,xr,yr|r∈且r>0〉,

(4)

Wr,s=-W-r,s=Wr,-s,Xr,s=-Xs,r=-X-r,s=-Xr,-s,Yr,s=-Ys,r=Y-r,s=Yr,-s,

pr=p-r,qr=-q-r,xr=-x-r,yr=-y-r,q0=x0=y0=0.

定理5adT具有基Γ={p0,pr,qr,xr,yr|r∈且r>0}, 并且?r,t∈且r,t≥0及?l,s∈且l,s>0， 乘法為

證明: 先證明Γ是adT的一組基.由式(1)和式(2)知, ?r,s,t∈, 下列等式成立：

(5)

如果存在ai1,bi2,ci3,di4∈F且ai1,bi2,ci3,di4≠0, 0≤r1<…

則由式(5)可得

從而

因為

所以ti3≥1,an1=cn3=0,Λ=2b1W1,0=0, 因此b1=0, 矛盾.于是Γ線性無關(guān).

由式(5)知,

Xr+1,s+1-Xr+1,s-1-Xr-1,s+1+Xr-1,s-1=0,r=±s;

因此, 若r=1, 則當s=±1時, 有

其他情形有

假設(shè)當m≤r時, 對?s∈,Wm,s可由Γ線性表示.則對任意r∈, 有

Xr+1,2-Xr-1,2=0,r=±1;

因此對s用歸納法,Xr+1,s-Xr-1,s(?r,s∈)可由Γ線性表示.同理對?r,s∈,Wr,s,Xr,s可用Γ線性表示.所以Γ是adT的一組基.

由式(4)知, {p0,pr,qr,xr,yr|r∈且r>0}線性無關(guān), 并對任意的r,s∈, 有

Xr+1,1-Xr-1,1=rxr,Yr,0=ryr.

再由式(5)知,

因此由式(4)可得結(jié)論.證畢.

定理6設(shè)W是adT的非可解子代數(shù), 導代數(shù)為W1=〈p2n+1-p1,p2n-p0|n∈且n>0〉, 且V的導序列V(n)=[V(n-1),V(n-1)](n≥1)是adT的所有理想, 其中V=V(0).則

V1=〈λ2n-1-(2n-1)λ1,λ2n-nλ2|n∈且n>1,λ=q,x,y〉, 0≠V(n+1)V(n), ?n≥0.

(6)

若r+s=2n, 則

若r+s=2n+1, 則

從而可得W1.

對任意n∈且n>0, 定義由定理5可知, 對任意n∈且n>0, 有

再由定理5知, 對?r,s∈,則

因此q5-5q3∈V1.又

對n用歸納法可得

q2n+3-(2n+3)q1∈V1, ?n∈且n≠-1;q2n-nq2∈V1, ?n∈且n≠1.

類似可知式(6)成立.對?r∈,n∈且n≠1, 有

因此, 若r=2s, ?s∈, 則有

同理, 若r=2s+1, 則?s∈, [p2s+1,q2n-1-(2n-1)q1],[p2s+1,q2n-nq2]∈V1, 因此[W,V1]?V1,V1是adT的理想.

定理73-李代數(shù)T的內(nèi)導子代數(shù)adT沒有極小理想, 因此是非可解李代數(shù), 且adT是子代數(shù)W和理想V的半直積, adT的導代數(shù)為W1⊕V.

證明: 由定理6可知adT是W和V的半直積.因為?n∈且n≥0, 0≠V(n+1)V(n), 所以adT是非可解李代數(shù)且沒有極小理想.根據(jù)定理5和式(6), 可得

因此q1-3q3,3q3-5q5∈adT1.對n用歸納法, 假設(shè)(2m+1)q2m+1-q1∈adT1,m≤n.由于

則?n∈且n≠-1,q2m+1∈adT1,m≠0, 有(2n+3)q2n+3-q1∈(adT)1.于是q1,q2∈adT1.類似可得x1,x2,y1,y2∈adT1.再由定理6可得adT1=W1⊕V.證畢.