一類半正橢圓方程徑向正解的存在性

符 謙

(廣西師范大學 數學與統計學院, 廣西 桂林 541006)

1 引言及主要結果

考慮下列半正橢圓方程徑向正解的存在性與不存在性：

(1)

其中Ω?N(N≥2)是一個環A或者單位球B, 參數λ>0,f∈C([0,∞),)且f(0)<0(半正),k: [a,b]→[0,∞)且k(|x|)不恒為0.此外, 當Ω為球時,k為線性映射; 當Ω為環時,k為單調增函數.環A和單位球B分別定義為

A∶={x∈N:a<|x|

由于f(0)≠0,k(|x|)不恒為0, 故u(x)恒為0一定不是方程(1)的解.本文總假設N≥2, 考慮方程(1)的正徑向解, 令r=|x|,u=u(r), 則方程(1)可改寫為

(2)

其中: 當Ω為單位球時,a=0,b=1; 當Ω為環時, 0

u(a)=u(b)=0,Ω=A,

(3)

u′(0)=u(1)=0,Ω=B.

(4)

本文總假設：

(H1)f∈C([0,∞),)且滿足f(0)<0;

(H2) 存在S>0, 使得F(S)>0;

(H3) 若F(s)>0, 則f(s)>0;

(H5)k: [a,b]→[0,∞)且k(|x|)不恒為0; 此外, 當Ω=B時,k為線性映射; 當Ω=A時,k為單調增函數;

(H6) 若Ω=B, 則存在常數p,c>0, 使得|f(s)|≤c(sp+1)(當N=2時, 0

此外, 可將條件(H4)減弱為：

條件(H6)表明, 當Ω=B時,f(s)在無窮遠處具有次臨界增長階; 條件(H4)強于條件(H7), 條件(H7)強于條件(H8).由條件(H1)和(H2)知,f(s)在(0,∞)上有零點, 記f(s)的第一個(最小的)零點為z, 則有

f(s)<0,s∈[0,z);f(z)=0.

(5)

定義

Z∶=sup{s>0:F(t)≤0,t∈[0,s]}.

(6)

因此0

F(s)≤0,s∈[0,Z];F(Z)=0;

(7)

F(s)>0,f(s)>0,s∈(Z,∞).

(8)

本文主要結果如下.

定理1假設條件(H1),(H5),(H7)成立, 則當λ>0充分小時, 方程(1)沒有非負解.

定義集合：

(9)

其中Ω?N(N≥2)是一個環A或者單位球B.定義泛函

(10)

其中： 當Ω=B時,a=0,b=1; 當Ω=A時, 0

(11)

其邊界條件為: 當Ω=B時,v′(0)=v(1)=0; 當Ω=A時,v(a)=v(b)=0.定義

(12)

如果f∈C1[0,∞), 則線性化算子L(uλ)的所有第一特征值均非負.

2 極小值點的存在性

下面除非特殊說明, 總假設條件(H1)～(H6)成立.定義范數‖u‖p, 其中1≤p≤∞,

(14)

任意地固定λ>0, 由式(14)知, 對?ε>0, 存在一個常數M1=M1(ε)>0, 使得

|F(s)|≤εs2+M1,s∈.

(15)

由引理1知,i(λ)能由式(12)定義且i(λ)>-∞.如果u∈H*(Ω)且滿足

則稱u是I在H*(Ω)中的極小值點.下面尋找I的極小值點u, 并證明其為方程(2)的正徑向解.由于I(0,λ)=0, 因此I的下確界非正.若其下確界為0, 則其極小值點可能是u恒為0, 但其并不是方程(2)的解, 故其下確界是負的.

證明： 首先證明存在一個函數V(x)滿足V∈H*(Ω),V(r)不恒為0, 且

(17)

引理3若i(λ)<0, 則當λ′>λ時,i(λ′)<0.

證明： 令i(λ)<0, 則存在一點u∈H*(Ω), 使得I(u,λ)<0, 即

因此

當λ′>λ時, 有

即i(λ′)≤I(u,λ′)

引理4假設條件(H1),(H8)成立, 則存在一個λ1>0, 使得當λ∈(0,λ1)時, 有I(u,λ)≥0(u∈H*(Ω)),i(λ)=0.

證明： 由于f(0)<0, 則對較小的s>0, 存在常數c>0, 使得F(s)≤-cs, 結合條件(H8)知, 存在常數M3=M3(s)>0, 使得F(s)≤M3s2(s≥0), 再結合條件(H5)可得

定義

λ*∶=inf{λ>0:i(λ)<0}.

(18)

由引理2～引理4知,λ*>0.

引理5[12]當λ≤λ*時,i(λ)=0; 當λ>λ*時,i(λ)<0.

定理3若λ>λ*, 則I(·,λ) 在H*(Ω)中存在極小值點.

證明： 若λ>λ*, 則由引理5知i(λ)<0.由引理1知,I(·,λ)在H*(Ω)中有下界且其下確界是負的.定義

|F(s)|≤C(s2+1),s∈.

因此F(vn)的積分收斂到F(v0)的積分[21], 即

(19)

結合I(u)的定義和I(vn)→I0及式(19), 知

其中I0是I(u)的下確界.表明

(20)

因為在H*(Ω)中vn?v0, 所以

(21)

雖然找到了I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點, 但并不能確定其是否為I(·,λ)的一個臨界點.對于極小值點u, 令h(t)∶=I(u+tv,λ), 其中v∈H*(Ω)為任意的試驗函數.由于u是一個極小值點, 則對于t≥0, 有h(0)≤h(t), 因此h′(0)≥0.若對于一個較小的ε>0, 有

h(0)≤h(t),t∈(-ε,ε),

(22)

則h′(0)=0且u為I的一個臨界點.

3 極小值點的性質

對于a≤ri-1

(23)

(24)

當λ>λ*時, 由引理5知,i(λ)<0.由定理3知,I(·,λ)在H*(Ω)中有極小值點.

引理7若λ*≤λ<∞且u是I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點, 滿足u不恒為0, 則有:

1) 存在r∈(a,b), 使得u(r)>Z;

2) 若存在a≤r1≤r2≤b, 使得u(r1)=u(r2)=0,u(r)>0(r∈(r1,r2)), 則存在r3∈(r1,r2), 使得u(r3)>Z.

證明： 當λ>λ*時,I(u,λ)=i(λ)<0, 顯然u不恒為0; 而當λ=λ*時,i(λ*)=0, 極小值點可能是u恒為0, 而題設條件排除了這樣的極小值點.

1) 用反證法.假設對?r∈(a,b), 有u(r)≤Z, 則F(u(r))≤0.由于u(r)不恒為0, 因此u′(r)不恒為0.又因為0≤k(r)≤M2, 故I(u,λ)>0.這與I(u,λ)=i(λ)≤0矛盾, 故1)成立.

2) 假設u(r1)=u(r2)=0,u(r)>0(r∈(r1,r2)).用反證法.若對?r∈(r1,r2),u(r)≤Z, 則F(u(r))≤0, 由于u′(r) 不恒為0, 0≤k(r)≤M2, 故有

定義當r∈[a,b](r1,r2)時,v(r)∶=u(r); 當r∈(r1,r2)時,v(r)∶=0, 則v∈H*(Ω), 且

I(v;r1,r2)=0,I(v;a,r1)=I(u;a,r1),I(v;r2,b)=I(u;r2,b).

由式(24)知,

這與u是I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點矛盾, 故存在r3∈(r1,r2), 使得u(r3)>Z.證畢.

引理8若λ*≤λ<∞且u是I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點, 滿足u不恒為0, 則存在一串序列tn∈(a,b), 使得u(tn)>0且tn→b(n→∞).若Ω=A, 則存在一串序列sn∈(a,b), 使得u(sn)>0且sn→a(n→∞).

證明： 令Ω=B, 則a=0,b=1, 證明存在序列tn∈(0,1), 使得u(tn)>0,tn→1(n→∞).

用反證法.假設tn不存在, 則對任意固定的δ∈(0,1), 有u(r)恒為0(r∈[δ,1]).定義v(r)∶=u(δr)(r∈[0,1]), 顯然v∈H*(B).利用變量代換s=δr, 并結合條件(H5), 計算

令

則有I(v)=h(δ)且I(u)=h(1)=P-Q.由于I(u)=i(λ)≤0, 因此有P≤Q, 由于u不恒為0, 所以P>0.對于t∈(0,1], 當N=2時,h(t)=P-Qt-3,h′(t)=3Qt-4>0; 當N≥3時，

因此h(t)在(0,1]上遞增, 且有I(v)=h(δ)0,tn→1(n→∞).

令Ω=A, 證明存在序列tn∈(a,b), 使得u(tn)>0且tn→b(n→∞).用反證法.假設對任意固定的δ∈(0,1), 有u(r)恒為0(r∈[δb,b]).延拓u(r), 令u(r)恒為0(r∈[a,b]).定義v(r)∶=u(δr)(r∈[a,b]), 則v(a)=v(b)=0且v∈H*(A).余下證明與Ω=B情形相同, 故略.從而存在序列tn∈(a,b), 使得u(tn)>0且tn→b(n→∞).

當Ω=A時, 證明存在序列sn∈(a,b), 使得u(sn)>0且sn→a(n→∞).用反證法.假設對某個r0>a, 有u(r)恒為0(r∈[a,r0]), 由引理7中1)知, 存在一個點r1, 使得r0

v(r)∶=u(r-a+r0)(r∈[a,a1]),v(r)∶=Z(r∈[a1,r1]),v(r)∶=u(r)(r∈[r1,b]),

則v∈H*(A).利用變量代換t=r-a+r0, 有

由于當t∈[r0,r1]時,F(u(t))≤0且F(u(t))不恒為0,u′(t)不恒為0, 0≤k(t)≤M2, 因此被積函數是正的.又因為k(r)單調遞增, 所以

由于I(v;a1,r1)=0,I(u;a,r0)=0,I(v;r1,b)=I(u;r1,b), 因此有

矛盾, 故存在一串序列sn∈(a,b), 使得u(sn)>0且sn→a(n→∞).證畢.

引理9[12]令λ*≤λ<∞且u是I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點, 滿足u不恒為0.則當Ω=B時,u(r)>0(r∈(0,1)); 當Ω=A時,u(r)>0(r∈(a,b)).

4 主要結果的證明

4.1 定理1的證明

若Ω?N(N≥2)是一個環或單位球, 則由f(0)<0及條件(H7)知, 存在M4=M4(s)>0, 使得f(s)≤M4s(s≥0).由條件(H5)知, 存在M2=M2(Ω)>0, 使得0≤k(|x|)≤M2.用反證法.假設當λ>0充分小時,u是方程(1)的一個非負解.令μ1是-Δ帶有Dirichlet邊界條件的第一特征值, 且φ是其對應的特征函數, 滿足φ(x)>0, 則有

-Δu=λk(|x|)f(u)≤λM2M4u,

(25)

將式(25)兩邊與φ做L2內積, 得

μ1(u,φ)L2≤λM2M4(u,φ)L2,

定理4令λ>λ*且uλ是I(·,λ)在H*(Ω)中的極小值點, 則其為方程(2)的一個正解, 且屬于C2[a,b]并滿足I(uλ,λ)=i(λ)<0.

故u是方程(2)的一個弱解.當Ω=B時, 由橢圓正則性理論及假設條件(H6), 可得u∈W2,q(Ω)(?q∈[1,∞)); 當Ω=A時, 由引理6知,u∈C1/2[a,b], 結合橢圓正則性理論可知,u∈W2,q(Ω)(?q∈[1,∞)).此外, 由于方程(2)是一個常微分方程, 且f(u(r))∈C[a,b], 則u∈C2[a,b].證畢.

定理5對于λ=λ*, 方程(2)有一個正解u*(u*∈C2[a,b]), 且滿足I(u*,λ*)=i(λ*)=0.

證明： 令λn是一串序列,λn>λ*且λn→λ*(n→∞).設un是由定理4得到的相應λ=λn的極小值點.由于I(un,λn)<0, 因此

結合式(15)及0≤k(r)≤M2, 有

當n→∞, 有

因此,u*是方程(2)的弱解, 再結合定理4的證明過程, 可得u*∈C2[a,b].由于un是相應λ=λn的極小值點, 因此有I(un,λn)≤I(v,λn)(v∈H*(Ω)).當n→∞時, 有I(u*,λ*)≤I(v,λ*), 因此u*是I(·,λ*)的極小值點, 即I(u*,λ*)=i(λ*)=0.由于u*是方程(2)的解且u*不恒為0, 再結合引理9和引理10知,u*在Ω中嚴格正.證畢.

4.2 定理2的證明

若f∈C1[0,∞), 下面證明線性化算子L(uλ)的所有第一特征值均非負.固定λ∈[λ*,∞), 令u=uλ, 則二階導數I″(u)具有雙線性形式