一維離散平均曲率方程Neumann問題解的存在性

段 磊, 陳天蘭

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

平均曲率問題來源于微分幾何與物理學, 在力學、 天體物理、 相對論及非線性分析中應用廣泛, 關于其解的存在性和多重性研究目前已有許多結果[1-4]. 非線性差分方程在計算機科學、 經濟學、 神經網絡、 控制論等的離散模型中應用廣泛[5-7], 但關于離散平均曲率問題的研究目前報道較少[8], 且主要采用拓撲度理論、 上下解方法、 變分法、 臨界點理論等方法. 本文用上下解方法和緊向量場方程的解集連通理論討論一類離散平均曲率問題解的存在性.

對任意的整數a,b(a

文獻[9]用緊向量場方程的解集連通理論和上下解方法研究了一類二階三點邊值問題

解的多重性結果, 其中常數α∈(0,∞),η∈(0,1)滿足共振條件αη=1, 函數f: [0,1]×→連續.文獻[10]用上下解方法和單調迭代理論研究了非線性二階離散Neumann邊值問題

解的存在性, 其中f: [0,T-1]××→連續且滿足單邊Lipschitz條件,T≥2,A,B∈.文獻[11]用拓撲度理論、 上下解方法及臨界點理論研究了一類帶平均曲率算子的離散邊值問題

多個正解的存在性, 這里λ>0為參數,n>4,q>1,μ: [2,n-1]→(0,+∞)是連續的.受上述研究結果啟發, 本文用緊向量場方程的解集連通理論給出一維離散平均曲率方程Neumann問題

的上下解方法, 進而獲得該問題解的存在性.

本文總假設:

(H1) 函數f: [1,T]×→連續;

(H2)φ: (-1,1)→,是一個遞增的同胚映射, 且φ(0)=0.

1 預備知識

定理1[12]設C為Banach空間X的非空有界閉凸集,T: [a,b]×C→C(a

S={(λ,x)|T(λ,x)=x,λ∈[a,b]}

包含一條連接{a}×C與{b}×C的連通分支Σ.

定義1如果β: [0,T+1]→滿足

則稱β(t)是問題(1)-(2)的一個上解.

同理, 若改變式(3)和式(4)中不等號的方向, 則可定義問題(1)-(2)的下解為α(t).如果不等式是嚴格的, 則稱β(t),α(t)分別為問題(1)-(2)的嚴格上解和嚴格下解.

下面引入本文使用的空間.記

X={u|u: [0,T+1]→, Δu(0)=Δu(T)=0},

Y={y|y: [1,T]→},

其范數分別為

定義算子L:D(L)?X→Y為

Lu=Δ[φ(Δu(t-1))],u∈D(L),

(5)

其中D(L)={u|u∈X}.令

Δ[φ(Δu(t-1))]=φ(Δu(t))-φ(Δu(t-1)),t∈[1,T],

其中Δu(t-1)=u(t)-u(t-1)是前向差分算子.記φ的逆算子為φ-1, 對任意l,m∈且m>l, 有

引理1設L由式(5)定義, 則

Ker(L)={c|c∈},

(6)

(7)

證明: 設Lu=0,則

Δ[φ(Δu(t-1))]=0,t∈[1,T],

從而可得

φ(Δu(t))=φ(Δu(t-1)),

即Δu(t)=Δu(t-1), 再結合邊界條件(2), 易得式(6)成立.

若y∈Im(L), 則存在u∈D(L), 使得

Δ[φ(Δu(t-1))]=y(t),t∈[1,T],

從而有

故Δu(0)=Δu(T)=0成立, 即u∈D(L).而Δ[φ(Δu(t-1))]=y(t), 故y∈Im(L), 于是式(7)得證.證畢.

引理2設L由式(5)定義, 線性連續的投影算子P:X→Ker(L)和Q:Y→Y/Im(L)分別定義為

(Pu)(t)=u(0),t∈[0,T+1],u∈X,

則由

證明: 設Im(P)=Ker(L), 由于

P2u=Pu,u=(u-Pu)+Pu,X=Ker(P)+Ker(L),

顯然Ker(P)∩Ker(L)={0}, 所以X=Ker(P)⊕Ker(L), 其中Ker(P)={u∈X|u(0)=0}.

由于Y/Im(L)和Ker(L)是[1,T]上常值函數構成的線性空間, 因此可將其視為實數空間.對任意y∈Y, 有

Q2y=Q(Qy)=Qy.

Qy∈Im(Q),y1(t)=y(t)-Qy∈Ker(Q)=Im(L),

則Y=Im(L)+, 且Im(L)∩Im(Q)={0}, 所以Y=Im(L)⊕Im(Q).

反之, 對任意u∈D(L)∩Ker(P), 有

對任意u∈X, 有唯一分解u(t)=ρ+ω(t), 這里ρ∈,ω∈Ker(P),t∈[0,T+1], 記KPQ=KP(I-Q), 其中I:Y/Im(L)→Ker(L)是恒等映射.定義非線性算子N:X→Y為

N(u)(t)=f(t,u(t)),t∈[1,T],

則問題(1)-(2)可寫成算子方程

Lu=Nu.

易證KP(I-Q)N:X→X是全連續的, 且問題(1)-(2)等價于系統

引理3KP(I-Q)N:X→X是全連續的.

證明: 記G=KP(I-Q)N.由φ-1和f的連續性可知G在X上是連續的, 且QN(X),G(X)是一致有界的.此外, 存在一個常數M>0, 使得對任意u∈X, 有

‖(I-Q)Nu‖X≤M,

因此, 根據Arzela-Ascoli定理, 只需證明G(X)?X是等度連續的.設ε>0,t1,t2∈[1,T], 且則對u∈X, 有

故G是等度連續的.因此G是全連續的.證畢.

假設β(t)和α(t)分別為問題(1)-(2)的嚴格上解和嚴格下解, 并且β(t)>α(t)于[0,T+1].記集合

D={u|α(t)≤u≤β(t),t∈[0,T+1]}.

定義輔助函數f*: [1,T]×→為

考慮輔助問題：

定義非線性算子N*:X→Y為

N*(u)(t)=f*(t,u(t)),t∈[1,T].

由引理3可知,KP(I-Q)N*:X→X是全連續的.

引理4如果u是問題(8)-(9)的解, 則

α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,T+1],

即u是問題(1)-(2)的解.

證明: 首先證明u(t)≤β(t),t∈[0,T+1].

令v(t)∶=u(t)-β(t), 證明對任意的t∈[0,T+1],v(t)≤0.反設對某個t0∈[0,T+1],v(t0)=max{u(t)-β(t)|t∈[0,T+1]}>0.下面分3種情形討論.

情形1) 如果t0∈[1,T], 則v(t0)>0, Δv(t0-1)≥0, Δv(t0)≤0, 從而

Δu(t0-1)≥Δβ(t0-1), Δu(t0)≤Δβ(t0),

由于φ是增同胚, 所以

φ(Δu(t0-1))≥φ(Δβ(t0-1)),φ(Δu(t0))≤φ(Δβ(t0)),

于是

Δ[φ(Δu(t0-1))]≤Δ[φ(Δβ(t0-1))],

故

Δ[φ(Δβ(t0-1))]≥f*(t0,u(t0))=f(t0,β(t0)),

這與β(t)為問題(1)-(2)的嚴格上解矛盾.

情形2) 如果t0=0, 則v(0)>0, Δv(0)≤0.此時, 有如下情形:

① 如果Δv(0)=0, 則t0=1也是最大值點, 同情形1)的討論, 易得矛盾；

② 如果Δv(0)<0, 但Δv(0)=Δu(0)-Δβ(0)≥0, 故矛盾.

情形3) 如果t0=T+1, 則v(T+1)>0, Δv(T)≥0.此時, 有如下情形:

① 如果Δv(T)=0, 則T也是最大值點, 類似情形1)可得矛盾;

② 如果Δv(T)>0, 但Δv(T)=Δu(T)-Δβ(T)≤0, 故矛盾.

綜合情形1)～3)可得u(t)≤β(t),t∈[0,T+1].同理可證u(t)≥α(t),t∈[0,T+1].

2 主要結果

定理2假設(H1)和(H2)成立, 若β和α分別是問題(1)-(2)的嚴格上下解, 且β(t)≥α(t),t∈[0,T+1], 則問題(1)-(2)存在解u∈D, 其中D={u|α(t)≤u≤β(t),t∈[0,T+1]}.

證明: 由引理4可知, 只需證明問題(8)-(9)存在解.由引理3可知,KP(I-Q)N*:X→X是全連續的, 而問題(8)-(9)等價于系統

由f*定義可知,f*有界.由式(10)和Schauder不動點定理可知, 對任意ρ∈, 集合

W(ρ)∶={ω∈Ker(P)|(ρ,ω)滿足式(10)}≠?.

再由定理2可知, 對任意a,b∈,a

S∶={(ρ,ω)∈×Ker(P)|(ρ,ω)滿足式(10)}

包含一條連接{a}×W(a)與{b}×W(b)的連通分支Σ.令

W∶={ω∈Ker(P)|(ρ,ω)∈S},

則由式(10)可知, 存在不依賴于ρ的常數M*>0, 使得‖ω‖X≤M*(ω∈W), 因此, 可選擇ρ1∈且ρ1>0充分大, 使得對所有的ω∈W(ρ1), 均有

ρ1+ω(t)>β(t),t∈[0,T+1],

即f*(t,ρ1+ω(t))恒等于f(t,β(t)), 而且

即W(ρ1)變成單點集{KP(I-Q)f(t,β(t))}.對每個ω∈W(ρ1), 有

同理, 可以選擇ρ2∈且ρ2<0充分小, 使得ρ2<ρ1, 并且對每個ω∈W(ρ2), 均有

ρ2+ω(t)<α(t),t∈[0,T+1],

表明f*(t,ρ2+ω(t))恒等于f(t,α(t)), 且W(ρ2)變成單點集{KP(I-Q)f(t,α(t))},

由Σ的連通性及QN*的連續性知, 存在ρ0∈[ρ2,ρ1]及ω(t)∈W(ρ0), 使得(ρ0,ω(t))∈Σ, 并且QN*(ρ0+ω(t))=0, 故ρ0+ω(t)是邊值問題(10)-(11)的一個解.因此, 問題(1)-(2)至少存在一個解.證畢.