加權(quán)Morrey空間上多線性奇異積分的振蕩及變分算子的有界性

朱 敏, 陶雙平

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)K(x,y)為Ω={(x,y)∈×:x≠y}上的連續(xù)函數(shù), 滿足

(1)

且對(duì)任意的x,x0,y∈, 當(dāng)|x-y|>2|x-x0|時(shí), 成立

(2)

其中0<β<1.滿足條件(1)和條件(2)的K(x,y)稱為標(biāo)準(zhǔn)的C-Z核.給定K(x,y)和局部可積函數(shù)b, 相應(yīng)的算子和交換子分別定義為

(3)

(4)

設(shè){ti}是一列遞減趨于0的正數(shù)序列, 文獻(xiàn)[1]定義了相應(yīng)于{Tε}的振蕩算子:

相應(yīng)于{Tε}的ρ-變分算子定義為

并記

由文獻(xiàn)[2]知, O′(Tf)≤O(Tf)≤2O′(Tf).

Campbell等[3]證明了Hilbert變換的振蕩和變分不等式在Lp(1

則有

記

Φ={β:β={εi},εi∈,εi0}.

V(T)f(x)={Tεi+1f(x)-Tεf(x)}β=εi∈Φ.

因此, Vρ(T)f(x)=‖V(T)f(x)‖F(xiàn)ρ.

給定正整數(shù)m和上的m階可微函數(shù)b, 用Rm+1表示b(x)在y點(diǎn)m階展開(kāi)的Taylor余項(xiàng), 即

多線性奇異積分算子定義[4]為

(5)

設(shè)ω為局部可積函數(shù), 1

則稱ω∈Ap,q.一個(gè)局部可積函數(shù)b屬于加權(quán)BMO空間是指

其中I為中的區(qū)間,

定義1[5]設(shè)1≤p<∞, 0

本文主要結(jié)果如下:

定理1設(shè)K(x,y)滿足條件(1)和條件(2),ρ>2,T∶={Tε}ε>0和Tb∶={Tε,b}ε>0分別由式(3)和式(4)給出.若O(T)和Vρ(T)對(duì)于1

‖O(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),C>0,

‖Vρ(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),C>0.

‖O(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),C>0,

‖Vρ(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),C>0.

2 定理的證明

引理1[9]對(duì)任意的區(qū)間I?, 若ω∈Ap,p≥1, 則存在一個(gè)常數(shù)C>0, 使得ω(2I)≤Cω(I), 進(jìn)一步, 對(duì)于所有的λ>1, 有ω(λI)≤Cλpω(I), 其中C與I,λ無(wú)關(guān), 且

引理3[1]對(duì)任意的區(qū)間I?, 若ω∈Δ2(滿足雙倍條件的函數(shù)集合), 則存在一個(gè)常數(shù)D>1, 使得ω(2I)≥Dω(I).

引理4[11]令b∈,b(m)∈Lq(), 則對(duì)任意的m∈和任意的p, 有

其中I(x,y)=(x-5|x-y|,x+5|x-y|).

引理5[5]令K(x,y)滿足條件(1)和條件(2),ρ>2,T∶={Tε}ε>0和Tb∶={Tε,b}ε>0分別由式(3)和式(4)給出.若O(T)和Vρ(T)對(duì)于1

‖O′(Tbf)‖Lq(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp(ωp),C>0,

‖Vρ(Tbf)‖Lq(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp(ωp),C>0.

2.1 定理1的證明

由于O′(Tb)和Vρ(Tb)的證明類似, 因此本文只給出O′(Tb)的證明.對(duì)任意的區(qū)間I=(x0-l,x0+l)及任意的f∈Lp,k(ωp,ωq), 記f=f1+f2, 其中f1=fχ2I.則有

先估計(jì)I1.對(duì)于I1, 由引理5有

下面估計(jì)I2.由文獻(xiàn)[1], 有‖{χ{ti+1<|x-y|

對(duì)于I3, 利用定義1、 權(quán)函數(shù)和BMO函數(shù)的性質(zhì)及引理2, 有

下面估計(jì)I4.對(duì)于I4, 有

因此,

I5≤C‖b‖BMO(ωp(2i+1I)(1-p′))1/p′=C‖b‖BMOω-1(2i+1I)=C‖b‖BMOωq(2i+1I)-1/q.

對(duì)于I6, 由文獻(xiàn)[11]有|b2i+1I-bI|≤2(i+1)‖b‖BMO.因此,

由John-Nirenberg引理知, 存在正常數(shù)C1和C2, 使得對(duì)任意的I和α>0, 有

|{y∈I: |b(y)-bI|>α}|≤C1|I|exp{-C2α/‖b‖BMO}.

當(dāng)b∈BMO時(shí), 由引理2知, 對(duì)任意的δ>0, 有

ω({y∈I: |b(y)-bI|>α})≤Cω(I)exp{-C2αδ/‖b‖BMO},

即

從而

因此,

更進(jìn)一步, 有

|b2i+1I,ωp(1-p′)-bI,ωq|≤C(i+1)‖b‖BMO.

由引理3, 有

綜合上述估計(jì), 有

‖O(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),C>0.

定理1證畢.

2.2 定理2的證明

對(duì)于任意的區(qū)間I=(x0-l,x0+l)及任意的f∈Lp,k(ωp,ωq), 記f=f1+f2同定理1的證明.對(duì)f1的估計(jì)同定理1.注意到

對(duì)于x∈I,k=1,2,…,m∈,y∈(2I)c, 有由文獻(xiàn)[11]知, 對(duì)于任意的y, 有Rm+1(bk;x,y)=Rm+1(b;x,y).由文獻(xiàn)[10]知, 當(dāng)b∈BMO時(shí), 有

因此, 有

與定理1的證明過(guò)程類似, 可得

‖O′(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq),

‖Vρ(Tbf)‖Lq,kq/p(ωq)≤C‖b‖BMO‖f‖Lp,k(ωp,ωq).

定理2證畢.