雙棱鏡干涉實驗虛擬仿真系統設計與開發

施美玲，周 天

（曲靖師范學院 物理與電子工程學院，云南 曲靖 655011）

0 引 言

1801年托馬斯·楊完成了著名的雙縫干涉實驗，為光的波動理論發展奠定了堅實的基礎.2002年9月美國《物理世界》雜志將楊氏雙縫干涉實驗評選為物理學史上最美的十個經典實驗之一[1-2].目前楊氏雙縫干涉是每個光學學習者都需要掌握的實驗，也是大學物理實驗教學的難點之一.為了減少縫的衍射對干涉的影響，教學中常用雙棱鏡干涉實驗項目來模擬雙縫干涉.采用雙棱鏡干涉時，需要借助測微目鏡來觀察實驗現象，同步調節單縫寬度、雙棱鏡傾角和橫向位移，借助會聚透鏡成像調節共軸、間接測量虛光源寬度和干涉條紋寬度，從而計算入射光波長.實驗存在的主要問題是：(1)實驗操作要求精細，過程繁瑣耗時，在規定課時內很難達到實驗教學要求；(2)使用測微目鏡觀察,視場小,現象不直觀；(3)在暗室環境中進行實驗,長時間單眼觀察、調整測量，容易視覺疲勞，引起人眼刺痛等身體不適狀況.本文設計并開發雙棱鏡干涉實驗仿真系統來輔助教學.

1 相關工作

在干涉效果仿真方面，前期已有不少工作.中國科學院物理研究所的曹則賢在《物理學的波概念》一文中給出了用現代儀器得到的雙縫干涉條紋圖像[3].何坤娜等人[4]精準推導出了干涉條紋空間分布的雙葉旋轉雙曲面方程并基于該方程對傳播空間和觀察屏上明紋分布進行了理論模擬仿真.翟龍華[5]和李棟玉、時有明等人[6]分別利用LabVIEW編程模擬了雙縫干涉的圖樣和光強分布曲線，并計算條紋間距和對比度.陳華等人[7]用Mathematica軟件繪制出光強分布圖來測量條紋間距.而更多的光學實驗仿真則是用matlab編程模擬的[8-10].其中，毛少娟等人[8]制作了包括干涉、衍射、信息光學、晶體光學實驗在內用于光學理論和實驗教學的光學實驗仿真平臺.李玉波等人[9]利用光強分布、光的量子性和波動性的物理原理對光干涉、衍射、牛頓環等物理實驗進行了仿真.徐春芳等人[10]對光學單色光楊氏雙縫干涉、牛頓環、夫瑯禾費衍射以及邁克爾遜干涉儀等光學實驗進行可視化模擬.

文獻[4-7]只是對干涉現象進行了仿真模擬，在教學中只能用作效果演示.而文獻[8-10]在干涉效果仿真時用GUI界面進行了封裝，能演示干涉效果隨參數的變化，對光干涉理論的教學取到很好的輔助作用.但對光干涉實驗的場景和過程都沒有模擬，對實驗教學沒有幫助.本文結合干涉原理及數字圖像處理知識對干涉實驗進行完整仿真，能同時輔助理論及實驗教學.

2 楊氏雙縫干涉實驗理論基礎

楊氏雙縫干涉實驗模型如圖1所示.光源S發出的光傳播到縫S1和S2上，形成相干光源.通過雙縫S1和S2的光作為波源分別產生一列波動傳播到場點P，并各自在P點引起一個振動，形成干涉效果.場點P疊加后的光波振幅為Ap.公式1描述了任意情況下（包含近場區域、遠場區域）Ap的光強分布函數[4,6,11-12]：

圖1 楊氏雙縫干涉實驗模型

其中，A1和A2為通過縫S1和S2的光強，λ為光源S的波長，d為雙縫S1和S2之間的距離，D為雙縫到光屏的距離，x為P點的坐標.

3 雙棱鏡干涉實驗目的及測量數據

為了減少縫光源的衍射對干涉效果的干擾，實驗教學中經常用雙棱鏡對經過單縫的入射光進行折射形成雙虛光源并用雙虛光源產生干涉效果(見圖2).通過雙棱鏡折射產生的干涉條紋比較窄，需要通過測微目鏡來觀察.此外雙虛光源間的距離d和雙虛光源到測微目鏡的距離D也要借住凸透鏡對虛光源的二次成像結果來計算.

圖2 雙棱鏡干涉實驗環境

光干涉實驗的目的是通過干涉條紋來計算入射光的波長.通過單縫的光經過雙棱鏡后在測微目鏡中形成干涉條紋，測量出干涉條紋寬度Δx后，按公式2計算出光源波長λ：

為了計算雙虛光源間的距離d和雙虛光源到測微目鏡的距離D，在雙棱鏡和測微目鏡中加入凸透鏡，來回移動透鏡，在測微目鏡中生成兩次清晰的虛光源實像，設雙虛光源成放大像的間距為d1和縮小像的間距為d2，則有：

其中，a為虛光源生成放大像和縮小像時透鏡的位置間距.

4 虛擬仿真系統開發中的關鍵技術

4.1 以中心對齊的自適合圖像大小顯示模型

仿真系統中包含大量的圖片顯示內容.在顯示圖像的axes組件大小固定的情況下，matlab自帶的顯示圖像函數會自動將圖像的尺寸縮放到axes組件的尺寸.當圖像尺寸的長寬比與axes組件的長寬比不一致時，圖像顯示過程中就會出現圖像內容被過度拉伸或壓扁的畸變.很多程序開發者經常需要耗時地手動調整組件大小來提高圖像顯示效果.本文提出以中心對齊的自適合圖像大小顯示模型來解決此問題.該模型保持axes組件的中心位置不變，先將組件的長度和寬度分別設置成圖像的長度和寬度，并基于新的大小重新計算axes組件的起點位置坐標，然后按公式(5)模型更新axes組件的位置屬性.如圖3所示，公式(5)中的pos(1)和pos(2)分別為組件起點的x和y坐標，pos(3)和pos(4)分別為組件的寬度和長度.

圖3 以中心對齊的自適合圖像大小顯示原理

此操作解決了圖像長寬比改變縮放引起的圖像顯示畸變問題，同時也保證axes組件的中心位置保持不變.這種解決方式當圖像大小小于axes組件在軟件界面上能顯示的空間位置時，效果非常好.但如果圖像大小非常大，就會使axes組件在軟件界面上影響到其上下方向上的組件顯示.針對這種情況，系統設置了每個axes的最大長度和寬度，只要圖像長度和寬度大于axes的最大長度和寬度，系統就對圖像內容進行保持長寬比的縮放.該模型在保證圖像顯示效果及組件空間利用率的情況下使程序具有axes組件大小與圖像大小的自動適應能力，提高編程效率.

4.2 以實驗儀器中心為中心的局部區域交互

本文在開發用戶交互功能時，通過計算用戶交互的鼠標位置點到各元器件中心的距離是否在以該元器件為中心的矩形或橢圓形區域內來驅動鼠標滑動或點擊事件，實現了局部區域的交互，方便用戶使用.當用戶鼠標在某元器件的識別范圍內時，系統自動將該范圍的圖像內容設置成半透明效果（見圖4），在該區域點擊鼠標左鍵，啟動跳轉事件，用戶交互非常便捷.

圖4 以實驗儀器中心為中心的局部區域交互

4.2.1 矩形區域交互

在矩形區域交互設計時,需要知道落在元器件上的矩形區域的中心在圖像中的坐標位置C(Cx,Cy)，以及矩形區域的長h和寬w.如圖5所示，落在矩形區域內的點P(Px,Py)需滿足如下條件：

圖5 點落在矩形區域內外的示意圖

4.2.2 橢圓形區域交互

在橢圓形區域交互設計時，需要知道落在元器件上的橢圓形區域的焦點在圖像中的坐標位置F1(F1x,F1y)和F2 (F2x,F2y)，以及橢圓形區域的長軸a.如圖6所示，落在橢圓形區域內的點P(Px,Py)需滿足如下條件：

圖6 點落在橢圓形區域內外的示意圖

4.2.3 圖像內容半透明效果的生成

當鼠標移動到元器件的交互區域時，交互區域內的圖像內容呈現半透明效果提醒用戶此時可以進行點擊來查看元器件的詳細信息.這里的半透明效果是由原圖像和一幅純色圖像融合生成的(見圖7).圖像融合模型如下所示：

圖7 圖像融合生成半透明效果示意圖

4.3 實時響應鼠標拖動的實驗儀器位置調整

在實驗儀器擺放和實驗數據測量模塊均需要通過鼠標拖動來調整實驗儀器的位置.鼠標拖動時對于鼠標按下、移動和彈起三種情況分別做不同的響應.如圖8所示，當鼠標被按下時，判斷鼠標的位置是否在儀器的單擊區域內，若在某個儀器的單擊區域內，則將該儀器設置成半透明效果，提醒用戶此時可以通過鼠標拖動該儀器來改變其位置.同時將對應儀器的選中狀態設置成1，記錄下鼠標位置給后面計算鼠標移動距離時使用.

圖8 鼠標按下事件流程圖

如圖9所示，鼠標移動時，先判斷是否有儀器處于選中狀態，若有儀器處于選中狀態，則讀取鼠標位置坐標，然后與前面記錄的鼠標位置信息進行差計算，根據運動的相對性，鼠標的運動距離和儀器的運動距離相同，由此計算得出選中儀器的新位置.重新繪制顯示區中所有的儀器，未選中儀器在原來的位置繪制，選中的儀器在新位置成半透明效果繪制，且通過將選中儀器最后繪制的方法能保證選中儀器總是顯示在所有儀器的最上層.最后，將當前鼠標位置更新為鼠標最近一次位置，以備后面計算鼠標移動距離時使用.鼠標彈起時的響應與移動時的響應非常相似.只是不需要將當前鼠標位置更新為鼠標最近一次位置的操作.但要增加將選中儀器的狀態設置成未選中狀態的操作.

圖9 鼠標移動事件流程圖

4.4 具有相對位置關系判斷的實驗儀器擺放

在實驗儀器擺放模塊，當用戶排列好儀器進行結果提交時，如圖10所示，系統先判斷實驗所需儀器是否已全部添加，如果沒有則彈出實驗所需儀器尚未添加完畢提示框并返回原界面讓用戶繼續完善.如果儀器已添加完成，系統進而判斷儀器間的相對位置關系.儀器間相對位置關系從左往右依次判斷相連兩個儀器的前后關系.若每一對相連儀器的前后位置關系都正確則所有儀器的前后位置關系就正確.在儀器位置關系排列正確后，再具體計算雙棱鏡與單縫的距離，測微目鏡與單縫的距離和所有儀器的高度差.按實驗要求如果雙棱鏡與單縫的距離大于透鏡焦距或是測微目鏡與單縫的距離小于4倍透鏡焦距或是所有儀器的高度差大于預定值則彈出相應出錯提示對話框并返回原界面讓用戶重新排列儀器.如果上述條件都滿足則彈出儀器排列已完成對話框，繼續下一步實驗.

圖10 儀器擺放模塊系統內部數據測試流程圖

4.5 干涉條紋寬度的計算完全正確無誤差

根據干涉條紋的寬度是光干涉成像中兩個波峰或波谷之間的距離的原理，如圖10所示，先對干涉條紋的能量求導，找出導數值發生正負跳變的位置，即為干涉條紋的極值點.再找出干涉條紋中間位置相鄰三個極值點間的距離則為干涉條紋的寬度.根據干涉條紋中波峰和波谷交替出現的特點，三個相鄰極值點對應的位置可以是波峰-波谷-波峰或是波谷-波峰-波谷，兩種情況的寬度是一樣的.

對于連續函數來說，極值點出現在一階導數為0的地方.對于離散的函數來說，極值點出現在相連位置函數差跳變的地方.相反，非極值點中，相連位置的函數差同為正數或是同為負數，故極值點和非極值點的判斷可以通過相連位置函數差乘積的正負來判斷，如公式(8)所示：

干涉條紋寬度是相連三個極值點對應的位置差，如公式(9)所示:

其中xi均為極值點.

4.6 通過索引的灰度圖上色方法來模擬干涉條紋的顯示效果

根據公式(1)楊氏雙縫干涉光強分布函數，能直接繪制出不同參數下的干涉條紋的灰度圖顯示效果.但干涉條紋的灰度顯示與實際效果相差較大，故本文通過索引方式給灰度圖上色來模擬干涉條紋效果.首先，根據實驗室觀察效果來確定上色條中的顏色，如圖11所示.其次，對給定的參數計算楊氏雙縫干涉光強分布值，并對光強分布值進行歸一化,如公式(10)所示.

圖11 上色條及對應的上色顏色值

將歸一化后的光強值從0到1近似平分成64份，并以光強值為索引，到上色條中選擇相應顏色對灰度干涉條紋上色，索引方式如公式(11)所示，如此干涉條紋的灰度顯示就轉變成了彩色顯示，效果更逼真.

5 雙棱鏡干涉虛擬仿真實驗的設計及部分實現效果

雙棱鏡干涉實驗虛擬仿真軟件開始界面如圖12所示.該仿真軟件主要分為兩部分：演示及學習模塊和操作及計算模塊.其中演示及學習模塊又細分為原理闡述、干涉效果演示、實驗內容、實驗儀器及實驗步驟等5個子模塊.操作及計算模塊又分為實驗儀器擺放、實驗數據測量和實驗數據計算等3個子模塊.

圖12 雙棱鏡干涉實驗虛擬仿真軟件主界面

在軟件主界面上單擊原理闡述按鈕則跳轉到如圖13所示的原理闡述首界面.原理闡述首界面分成上下兩部分，上半部分展示的是光干涉現象圖，下半部分展示的是光干涉原理及光干涉中波長的計算公式.原理闡述模塊其他頁面內容、實驗內容和實驗步驟等模塊的子界面布局均與原理闡述模塊的首界面相似.

圖13 原理闡述首界面

干涉效果演示的子界面如圖14所示.左上角是影響干涉條紋寬窄的物理量在實驗中所表示的位置關系示意圖.左下角是影響干涉條紋寬度的五個物理量大小調整區.右邊是視場中的干涉條紋效果顯示區.當拖動滑動條位置調整物理量大小時，相應的干涉條紋顯示效果在右邊的視場中實時改變.

圖14 干涉效果演示模塊界面構成示意圖

圖15是實驗儀器模塊中的儀器詳細介紹子界面.圖4是實驗儀器模塊的首界面，在該界面面中，鼠標移動到儀器上時，儀器成半透明狀，此時點擊鼠標就跳轉到相應儀器詳細介紹頁面.

圖15 雙棱鏡詳細介紹界面構成示意圖

圖16是儀器擺放模塊的子界面.該界面中左側是儀器添加按鈕.點擊該按鈕則在右側顯示區添加儀器，如果實驗儀器添加按鈕多次被點擊，則彈出儀器已添加過的提示對話框.實驗儀器添加到顯示區后，鼠標移動到儀器周圍時儀器呈現出半透明狀，此時按住鼠標左鍵則可拖動儀器來對儀器進行排列，當把儀器排到合適位置時，點擊儀器排列已完成的按鈕，系統內部會進行正確性檢查，即統計添加儀器總數量、對儀器位置關系進行判斷并計算雙棱鏡與單縫的距離、測微目鏡與雙棱的距離和各元器件底部的高度差.若有條件不滿足則彈出對應提示框，如圖15所示.

圖16 實驗儀器之間的位置關系不正確時,系統彈出的對話框示意圖

圖17是干涉條紋寬度測量模塊.其中，上面第一部分是干涉條紋的能量圖，第二部分是干涉條紋的顯示效果圖.第三部分是實驗儀器位置調整區域.在該區域中雙棱鏡和測微目鏡的位置是可以移動的.當鼠標移動到雙棱鏡和測微目鏡上時，儀器呈半透明狀，此時按下位鼠標左鍵拖動能調整雙棱鏡和測微目鏡的位置.同時，干涉條紋的顯示效果和能量圖也會隨之改變.第四部分是參數調整區和實驗數據區.在參數調整區可以通過下拉列表來選擇實驗次數，備選的實驗次數共有三次.在雙棱鏡和測微目鏡位置改變時，參數調整區的顯示框中數據也會相應地發生改變.當把雙棱鏡和測微目鏡調整到合適位置后，在圖上觀察并測量出干涉條紋的相關數據，再點擊保存按鈕.此時系統會檢測單條紋寬度的誤差范圍，并根據誤差范圍是否合適彈出相應提示對話框.干涉條紋寬度測量好后，可單擊“鎖定雙棱鏡和測微目鏡測量大像和小像”按鈕進入虛光源成大小像測量界面.該界面的上面部分是虛光源大小像的成像及測量區域；中間部分是透鏡位置調整區.在這個區域單縫、雙棱鏡和測微目鏡的位置是不能移動的，其位置被鎖定在測量干涉條紋時的位置.但透鏡的位置是可以通過鼠標拖動來調整的.當透鏡調整到合適位置時，上半部分的成像區就能顯示出虛光源的大像或小像，如圖18所示.此時觀察并測量虛光源所成大小像的大小.按公式(3)和公式(4)計算出兩虛光源之間的距離d和虛光源到測微目鏡的距離D，然后保存.保存時，系統檢查各數據的誤差是否在合適范圍.系統會根據誤差情況給出相應的提示.

圖17 干涉條紋寬度測量界面示意圖

圖18 虛光源成大像的測量界面示意圖

圖19是實驗數據計算模塊的界面.該界面包含四個部分.前三個部分分別顯示之前獨立測量的三組實驗數據.這里設計比較靈活，用戶可以根據自己的需要獨立做一次、兩次或三次測量.測量保存成功幾次,這里顯示對應次數的結果.根據前面的測量數據，按照公式 (3)計算光源的波長.點擊生成實驗結果并提交，則對波長進行檢測，并根據波長誤差給出相應地提示.

圖19 實驗數據保存成功時提示對話框示意圖

6 結 論

本文針對雙棱鏡干涉實驗開發了虛擬仿真系統.該仿真系統能通過演示及操作等方式對雙棱鏡干涉部分的理論及實驗教學給予有效的輔助.將仿真系統更廣泛地應用到教學中并根據教學反饋進一步完善本系統是本文接下來要做的主要工作.