關(guān)于一維非線性晶格熱傳導(dǎo)的有限時間漲落定理

李金鴻，賀達海

（廈門大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 361005）

1 研究背景

與平衡態(tài)的情況相比，非平衡統(tǒng)計力學(xué)缺乏統(tǒng)一的原理.因此，作為近年來非平衡統(tǒng)計物理的重要進展，漲落定理受到了大量關(guān)注.即使系統(tǒng)處于遠離平衡態(tài)的情況下漲落定理也是成立的.任意時間窗口下熵產(chǎn)生的漲落關(guān)系首次在二維剪切流驅(qū)動的恒溫流體粒子系統(tǒng)的數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)[1]，并可基于混沌性假設(shè)給出證明[2].對于隨機動力學(xué)漲落關(guān)系[3]，Kurchan[4]討論了朗之萬方程的情況，并且Lebowitz和Spohn[5]將此拓展到了廣義馬爾可夫過程.在這些早期工作中，漲落關(guān)系只在長時間極限下漸近成立，稱之為傳統(tǒng)SSFT,所考慮的物理量為環(huán)境中的熵產(chǎn)生（其等價于系統(tǒng)的熱耗散），有著如下形式：

在前人的研究中，較少有人討論在溫度梯度驅(qū)動下的多體系統(tǒng)的SSFT.對于首末兩端與不等溫?zé)釒爝B接的一維鏈模型，簡諧鏈熱流的累積生成函數(shù)（CGF）滿足特定的對稱性[8]，事實上這種對稱性在非線性鏈中也是滿足的[9].根據(jù)大偏差定理[9]，如果CGF處處可導(dǎo)那么熱流漲落的大偏差函數(shù)（LDF）可以經(jīng)過CGF的勒讓德變換得到，從而也可證明長時間極限下熱流的漲落滿足傳統(tǒng)SSFT（1）.此外，與Nosé-Hoover熱庫耦合的FPUT-β模型的總熱流的漲落符合傳統(tǒng)的SSFT得到了數(shù)值驗證[10].然而，還存在兩個較少有人討論的問題：（1）對于由溫度梯度驅(qū)動的的多體相互作用系統(tǒng)，與Rt是否等價；（2）對于任意給定的溫差和非線性，隨著時間窗口的增加，的廣義SSFT如何趨近于傳統(tǒng)SSFT.本文研究了非平衡穩(wěn)態(tài)下一維φ4鏈的主泛函、總熵產(chǎn)生與環(huán)境熵產(chǎn)生的漲落.首先，時間反演不具有對稱性，從而與Rt不等價，使得在有限時間窗口下不滿足漲落關(guān)系；對于任意給定的溫差或非線性，隨著時間窗口的增大，的廣義 SSFT[7]均單調(diào)趨近于傳統(tǒng)SSFT，而且對于一定的時間窗口，動力學(xué)過程不可逆性越強，廣義SSFT與傳統(tǒng)SSFT的差別越小.

2 理論分析

考慮一維非線性晶格，首末兩端分別連接不同溫度的郎之萬熱庫.其動力學(xué)方程為：

其中，所有粒子具有相同的質(zhì)量m=1，它們與最近鄰的粒子通過相互作用勢進行耦合，且每個粒子上允許存在在位勢，相互作用勢與在位勢均由勢函數(shù)U(X)描述.x=(x1,x2,…,xN)和v=(v1,v2,…,vN)分別表示粒子偏離平衡位置的位移和粒子的速度（N表示系統(tǒng)尺寸或者粒子個數(shù)），則X=(x,v)表示系統(tǒng)在相空間中的狀態(tài).ξi(τ)是高斯白噪聲，其滿足〈ξi(τ)〉=0 和〈ξi(τ)ξi(τ')〉=2δ(τ-τ')，γi是的黏性系數(shù) (γi=δi1+δiN)，噪聲強度

接下來，我們考慮原始動力學(xué)的共軛動力學(xué)——時間反演動力學(xué)，其映射為：

任何時間窗口t下均符合穩(wěn)態(tài)漲落關(guān)系的物理量是由共軛路徑權(quán)重的對數(shù)比率給出的主泛函：

其由邊界項和與過程相關(guān)的體項組成[6-7]，邊界項為動力學(xué)軌道 [X(τ)]t和對應(yīng)的時間反演軌道[X(τ)]t的兩個初態(tài)的概率分布之比，方程（5）中P0表示系統(tǒng)的初始分布函數(shù)，且有P0=P1（P1表示系統(tǒng)的末態(tài)分布函數(shù)）.由Rt的定義（5）可知Rt[X(τ)]=-Rt[X(τ)]，即主泛函滿足時間反演奇對稱，那么根據(jù)廣義漲落定理[7]可知，對于任意時間窗口，Rt應(yīng)該滿足如下漲落關(guān)系：

在郎之萬方程路徑積分表示中，體項能夠容易地計算如下：

其中，qL、qR為系統(tǒng)熱耗散，為環(huán)境熵產(chǎn)生，從而有

原始動力學(xué)對應(yīng)的福克-普朗克方程為：

假設(shè)Ps(X)=Ps(X?)，由方程（9）（10）和（11）可知：

Ps(X)同時滿足方程（12）和方程（13），但由于D1≠DN，方程（12）不具有關(guān)于v1和vN的置換對稱性，說明除了平凡解（Ps(X)≡0）之外方程（12）的解Ps(X)不具有關(guān)于v1和vN的置換對稱性，而方程（13）由于不含任何Di從而具有關(guān)于v1和vN的置換對稱性，說明方程（13）的解Ps(X)具有關(guān)于v1和vN的置換對稱性，前后互相矛盾說明系統(tǒng)的非平衡穩(wěn)態(tài)分布不滿足時間反演對稱性（Ps(X)≠Ps(X?)）.因此對于由溫度梯度驅(qū)動而處于非平衡穩(wěn)態(tài)的一維非線性晶格，在有限時間窗口下ΔS ttot不滿足時間反演奇對稱性，同時也不滿足漲落關(guān)系.我們的數(shù)值模擬結(jié)果證實了這點（見圖1）.

圖1 關(guān)于rt或者的對數(shù)比率函數(shù)ft

所以在有限時間窗口下ft(p)≠p，即不滿足漲落關(guān)系，數(shù)值模擬的圖2體現(xiàn)了這一點.根據(jù)大偏差定理[9-10]可知，在長時間極限下，應(yīng)滿足形如方程（1）的傳統(tǒng)SSFT（或漲落關(guān)系），這與數(shù)值模擬給出的圖2、圖3和圖4結(jié)果一致.

溫差越大或者非線性越小，系統(tǒng)的熱耗散速率越大（偏離平衡態(tài)的程度越大），這意味著動力學(xué)過程的不可逆性越強，關(guān)于的廣義SSFT更快趨近于傳統(tǒng)SSFT.

3 數(shù)值模擬

一維φ4鏈?zhǔn)欠蔷€性晶格的經(jīng)典模型，本文將其作為物理模型進行數(shù)值模擬，證實了對于任意時間窗口，Rt滿足漲落關(guān)系，而不滿足.同時研究了的廣義SSFT隨著時間窗口的增加而趨近于傳統(tǒng)SSFT的過程.

一維φ4鏈的運動方程（3）中的勢能項U(X)應(yīng)為：

在以下計算中我們固定彈性系數(shù)k=1.并讓k’=1以表示固定邊界條件.

圖2顯示，對于任意給定的溫差，有限時間窗口下的環(huán)境熵產(chǎn)生并不符合漲落關(guān)系，這與形如方程（14）的廣義SSFT的預(yù)測一致.然而，當(dāng)時間窗口逐漸增加時，環(huán)境熵產(chǎn)生的廣義SSFT趨近于形如方程（1）的傳統(tǒng)SSFT.

圖2 不同相對溫差下ft( p)對p的依賴關(guān)系圖

為了描述的廣義SSFT如何隨著時間窗口增加而趨近于傳統(tǒng)SSFT的過程，我們定義偏離函數(shù)（7）式給出了有限時間窗口t下廣義SSFT與傳統(tǒng)的SSFT的相對差別，其中pB表示環(huán)境熵取值的上限.從方程（1）可知

我們研究了不同溫差和非線性對Dt的影響.由圖3和圖4可知，對于任意給定的溫差或者非線性，的廣義SSFT均隨著t增加而單調(diào)趨近于傳統(tǒng)SSFT，也意味著=0.此外，在一定的時間窗口下，溫差越大或者非線性越小，平均環(huán)境熵產(chǎn)生速率

圖3 不同相對溫差下Dt對t的依賴關(guān)系圖

圖4 非線性對Dt的變化行為的影響

越大（動力學(xué)過程的不可逆性越強），則Dt越小，亦即的廣義SSFT與傳統(tǒng)SSFT的差別越小，這與前文的理論分析結(jié)果一致.

4 總 結(jié)

本文研究了在溫度梯度驅(qū)動下一維非線性晶格的主泛函、總熵產(chǎn)生與環(huán)境熵產(chǎn)生的漲落性質(zhì).首先，我們通過理論分析證實了系統(tǒng)的非平衡穩(wěn)態(tài)分布時間反演不對稱.這導(dǎo)致主泛函Rt與總熵產(chǎn)生不等價.我們進而用數(shù)值模擬驗證了該理論分析，發(fā)現(xiàn)在有限時間窗口下一維φ4鏈的主泛函Rt符合漲落關(guān)系，而總熵產(chǎn)生并不符合.此外，通過數(shù)值模擬計算，我們發(fā)現(xiàn)對于任意給定的溫差或者非線性，一維φ4鏈的環(huán)境熵產(chǎn)生的廣義SSFT隨時間窗口的增加均單調(diào)趨近于傳統(tǒng)SSFT.結(jié)果表明動力學(xué)過程不可逆性越強，廣義SSFT越快趨近于傳統(tǒng)SSFT.