極小Frobenius范數廣義雙對稱求解一類矩陣方程

張 峰

（安徽交通職業技術學院 航海系，安徽 合肥 230051）

0 引 言

在21世紀，數學不僅作為一門工具被其它科學領域所使用，數學引領著其它學科的發展.方程作為線性代數領域的基礎核心問題，是通過在一定的函數約束條件下建立線性代數集合，利用所構建的矩陣集合求得矩陣方程的解.依照不同的矩陣方程亦或是利用不同函數約束條件，以更好地求得不同矩陣方程的最優解[1-3].在具有特定約束條件的矩陣集合中，矩陣方程解獲取是數值代數中的主要內容，其在信號處理與數碼處理的過程中具有重要的作用.由于矩陣方程的求最優解問題甚至是雙對稱解問題在有限元、參數識別以及線性最優控制理論等領域中起著決定性的作用，其進一步刺激了矩陣方程理論迅猛發展，故將能否求得矩陣方程最優雙對稱解的問題提升至數學計算領域最熱門課題核心.因此，如何利用未知矩陣方程中所提供的特征值、特征向量與數據要求確定相應的方程矩陣集合，并利用集合中有效解的等價條件以及幾何性質、表達式等設計出可行性計算方法作為研究一類矩陣方程的雙對稱求解核心.

范數作為線性代數與泛函分析內的所有矢量在其矢量空間中被賦予的不小于零的一個函數.而Frobenius范數則針對于矩陣函數來說，是矩陣中每個元素的平方和的開平方運算，更確切地說Frobenius范數就是衡量一類矩陣方程到其所對應的零矩陣方程之間的距離，類似于在二維空間中，平面內的某個固定點到其原點之間的直線距離即為固定點的Frobenius范數[4-5].Frobenius范數很好地衡量了該矩陣的大小.隨著線性代數的不斷發展，傳統的矩陣方程求解方法不能更好地解決線性代數矩陣方程的極小范數中雙對稱解問題.文章利用在一類矩陣方程中引入Frobenius范數，利用Frobenius范數的特點將原矩陣方程中出現的廣義逆問題成功轉化為無約束條件求解問題，并進一步求出極小Frobenius范數的廣義雙對稱解.

1 極小Frobenius范數廣義雙對稱解求解設計

對于一類矩陣方程，近年來對其的研究較為豐富.在此部分文獻中利用矩陣分解求出了此類矩陣方程的約束解、約束最小二乘解及其最佳逼近解.在以往的一類矩陣方程的極小Frobenius范數雙對稱解求解方法使用過程中，多使用此種迭代計算方法，得到最佳逼近解.但此種方法在使用的過程中，具有一定的不足.因此，在此次研究中就針對其不足，優化原有求解方法中的不足.為有效控制優化過程，設定對應的流程完成求解方法設計過程.

1.1 一類矩陣方程中心對稱約束條件設定

設定矩陣表示為A∈Rn*n，Rn*n表示n×n階實矩陣集合，在此矩陣運算過程中具有一定的約束條件，在此次研究中將約束條件設定如下：

如矩陣滿足上述約束條件，則稱此矩陣為中心對稱矩陣[6-7].此矩陣中的n階中心對稱矩陣集合可寫作CSRn*n.假設此矩陣中各元素滿足約束條件，則稱此矩陣為中心反對稱矩陣.在此矩陣中的n階反中心對稱矩陣集合可寫作CASRn*n.在此環節中，將對下述兩個問題進行求解，具體問題如下所示.

設定研究對象矩陣為B∈Rn*n，C∈Rn*n,求得A∈CSRn*n,則有：

Xi表示已知矩陣，Ei表示未知矩陣,f(Z)表示連續可微凸函數.假設存在Z*=Rn*n，使得當且僅當Δf(Z*)=0.

如果（2）及約束條件成立，則說明，當前的函數的一類矩陣方程解是振動的，判定條件如下：

根據上述公式，設定ki表示n階單位矩陣yn的第i列，i=1,2,…,n.則Tn可稱為n階單位矩陣，有=Tn.

通過文獻研究可知，矩陣A∈CSRn*n成立的首要條件是Tn*Tn=A[8-9].其次，若A∈Rn*n，則有A+Tn*Tn∈CSRn*n.將上述約束條件整合處理，可得到下述公式：

對上述公式進行分析可知，如果B,C∈CSRn*n,α1,α1∈ R,則α1B+α2C∈ CSRn*n.對此公式進行分析可知，CSRn*n為Rn*n的子空間.則有：

通過上述公式，對一類中心對稱矩陣方程求解過程進行約束，且此方程必有中心對稱解，此求解結果為一類矩陣方程的最小二乘解，即上述問題的解.將此結果作為下述計算過程的數據基礎.由于矩陣問題常應用于結構力學、固體力學、結構設計等領域中[10-12]，在上述求解過程中根據應用環境設定取值方式，以此保證取值結果的可靠性.

1.2 矩陣方程迭代求解過程設定

使用上述設定的約束條件作為迭代求解過程的基礎，將矩陣方程轉化為方程組的形式，具體如下所示：

則矩陣函數的解可理解為方程組的解，由此可知，此方程組的最小二乘解[13-14]為矩陣方程解，將此方程組按列處理后，得到對應的線性方程組.定義(E,F,Δ)表示Menger PN空間，Δ為連續，那么概率分布函數f為下半連續，即隨機t∈B，若n→∞存在qn→q、pn→p，那么：

通過上述公式可知，定義無限維Menger PN空間(E,F,Δ)中存在M開子集，隨機t∈[0,1]，t-范數Δ符合以下要求：Δ(t,t)≥t.T:M→E為連續緊算子符合兩點要求：

還原成公式（7）的形式，已知一類矩陣方程具有對應的數據解，則矩陣公式（7）也應具有數據解，為證實其具有數據解，設定此數據解為J，則有：

對上述公式等式兩端進行轉置處理，再進行較差減法可以得到對應的等式，也就是矩陣方程組（7）的數據解.根據公式（8）設定相應的迭代算法，對公式（7）進行求解.通過文獻研究可知，在以往的研究中，對此公式解法的設計較為豐富，在此次研究中，將主要對矩陣的處理部分展開優化，以此提高數據運算能力.對于給定的一類對稱矩陣，經過多次迭代后可以得到矩陣函數對應的解，由于矩陣方程有限維空間的限制，導致數據解序列進行正交處理，得到相應分量數列[15-17]，由于迭代處理中公式的等價性，使用此迭代方法得到的數據解可作為一類矩陣方程的極小Frobenius范數雙對稱解的數據計算來源，在接下來的處理中，將設定相應的計算過程得到極小Frobenius范數雙對稱解，完成方法優化過程.

1.3 廣義雙對稱解逼近

根據上述設定的求解過程，考慮到方程組的廣義雙對稱解情境.在此次研究中構造一個對應的求解過程.如果在1.2設定的迭代求解過程中可證實此矩陣方程組中具有廣義雙對稱解[18-19]，則在不考慮計算誤差的情況下，對于任意給定的初始一類矩陣方程，利用上文中設計的求解迭代算法，均可以在有限的迭代次數中得到對應的方程解.由此方法的迭代得到的數據解可視作矩陣方程組的極小Frobenius范數廣義雙對稱解，因此，在此環節中將極小Frobenius范數雙對稱解逼近問題作為其求解過程，設定相應的方法完成基礎運算，具體計算過程如下.

使用上述計算過程中得到的相容線性方程組[20]Ky=b的通解，定義條件設定t0≠0同時同α滿足條件相斥，所以t0∈(0 ,1).結合公式（7）（8）得到公式（9）：

在上式中，z表示此方程組中的任意向量.由此同時可得到相應的范數解Q1、Q2，且此兩組數據具有正交性，因此可知，K+b為上述方程組Ky=b的極小范數解.假設，且S為n階中心對稱方程，設定CSRn*n，使用上述中設定的迭代求解法能得到唯一的范數解，則此范數解可表示為：

根據此公式，在接下來的計算過程中證實此數據解為極小Frobenius范數對稱解.通過公式（10）可知，上述公式具有中心對稱解，因此只要證實此數據為公式（10）的最小范數解即可.使用傳統的求解過程，得到矩陣方程的等價線性方程組，具體如下所示：

由上述公式可知，公式（12）是相容線性方程組的唯一極小范數解.對上述公式進行拉直映射同構處理可知，公式（12）為極小Frobenius范數雙對稱解.定義Menger PN空間(E,F,Δ)中存在開子集的緊性連續算子.當T符合如下要求時：

那么一類矩陣方程Tx=Jx+u在中有解.

由上可知，矩陣方程公式(13)具有相應的數據解，通過迭代算法可得到此公式的一個解.使用上述設定條件，可得到迭代問題中的唯一極小范數中心對稱解，至此，求解計算過程結束.

將上文中設計部分進行整合，將其與原有的求解方法相結合.至此，一類矩陣方程的極小Frobenius范數廣義雙對稱解求解方法設計完成.

2 實驗論證分析

2.1 實驗環境設計

在上文中完成了一類矩陣方程的極小Frobenius范數廣義雙對稱解求解方法的設計過程，為驗證此求解方法的計算效果，在此環節中對比文中設計方法與傳統求解方法的使用效果，以此對文中設計方法展開全面的分析.為了提高實驗效率，降低實驗計算難度，使用計算機作為實驗平臺，完成數據計算處理過程.在此次實驗中，選取高計算性能PC機作為實驗平臺，現將其參數設定如表1.

使用以上設定的實驗平臺參數，完成實驗平臺的組建過程.除上述設計的實驗平臺外，在此次實驗中，涉及到大量的一類矩陣方程作為計算對象.在實驗中共使用了1000個一類矩陣方程，將其每100個方程整合為一個方程實驗組，使用文中設計方法與傳統方法對其進行求解，并對相應的實驗指標進行對比.

2.2 實驗方案設計

在此次實驗過程中，使用上文中設計的實驗平臺作為計算過程中的硬件基礎.根據文中設計方法與傳統方法的使用需求，在實驗過程中，主要對此兩種方法在計算過程中的迭代次數，方程式的逼近精準度以及計算響應時長作為實驗的對照指標.通過文獻研究可知，大部分的一類矩陣方程的極小Frobenius范數雙對稱解求解過程較為復雜且計算速度較為緩慢.因而，在此次實驗過程中，對文中設計方法與原有方法的上述部分使用性能指標進行研究，通過上述指標的測試結果，分析文中設計方法與傳統方法在使用中的差異.由于每個實驗方程集合中具有多個方程，因此，將實驗方程組的實驗指標量化結果平均值作為實驗最終結果.

2.3 計算迭代次數實驗結果分析

由實驗結果（圖2）可知，在多個方程計算過程中，文中設計方法在計算中的迭代次數波動較小，且迭代次數基本控制在20次之內，具有較高的計算性能.與此同時，對圖像進行分析可以看出，傳統方法1 與傳統方法2在計算過程中的迭代次數波動較大.使用統計學方法對上述實驗結果進行分析可知，到實驗結束時，文中設計方法的基礎迭代次數為15次，且上下波動未超過5次，在實驗的后期，此方法的迭代次數略有下降.傳統方法1 與傳統方法2的迭代次數均勻分布在25~30次之間，在部分方程組中具有小幅度波動的情況，可見此方法在計算過程中穩定性較差.通過文獻研究可知，在求解過程，求解方法計算迭代次數對于計算結果的準確性具有直接的影響.因此，根據上述實驗結果可知，文中設計方法的使用效果優于其他兩種傳統方法.

圖2 計算迭代次數實驗結果

2.4 方程式解逼近精準度實驗結果分析

對實驗圖像（圖3）進行分析可知看出，文中設計方法在求解過程中的逼近計算精準度較高，在使用的過程中可在較短的時間內完成計算過程，并得到相應的計算結果.相較于文中設計方法的使用效果，傳統方法1與傳統方法2在使用的過程中，對于方程式解的逼近精度較差，通過數據分析可以看出，在部分實驗組中出現計算異常問題，由此可知此兩種方法的使用效果較差.將此部分實驗結果與計算迭代次數實驗結果綜合分析可知，文中設計方法的基礎性能優于傳統方法，根據此實驗結果可初步判斷文中設計方法的使用效果將優于傳統方法.

圖3 方程式解逼近精準度實驗結果分析

2.5 方程式求解響應時長實驗結果分析

根據上兩部分實驗結果可知，文中設計方法具有較好的使用效果，為了保證此次研究的全面性，在此部分中對方程式求解響應時長進行研究，通過此指標研究結果（圖4）可以看出，文中設計方法的求解計算實驗較短，隨著實驗次數的不斷增加，文中設計方法的計算速度不斷提升.與文中設計方法相比，傳統方法1與傳統方法2求解速度較慢，且隨著實驗次數的不斷增加，此兩種方法的計算速度出現下降的情況，可見此兩種方法的計算能力較差，無法將其應用于大量的數據運算過程中.根據上述實驗結果可知，文中設計方法的使用效果較為優異.

圖4 方程式求解響應時長實驗結果

將此次研究中得到的計算迭代次數實驗結果、方程式解逼近精準度實驗結果以及方程式求解響應時長實驗結果進行整合分析可知，文中設計方法的使用效果優于傳統方法.在日后的計算過程中，可使用文中設計方法作為主要方程式求解方法，提升一類矩陣方程極小Frobenius范數求雙對稱解求解速度與質量.

3 結束語

一類矩陣方程的極小Frobenius范數廣義雙對稱解的問題就是在既定的矩陣集合中求得相容的該矩陣方程的雙對稱解或者可以說是不相容的方程中最小二乘解的過程.Frobenius范數定義了矩陣方程的長度性質，在滿足行和范數的條件下，求得線性矩陣方程雙對稱解向量絕對值之和的最大值.通過矩陣方程的相關度量性構建方程實際結構信息，并利用線性矩陣方程間各行的強關聯性，將方程投影到更低維度的線性矩陣方程子空間，簡化方程的線性表達向量，并通過低秩矩陣對冗余信息進行數據修復，進而對數據進行特征提取.通過對上文關于一類矩陣方程的極小Frobenius范數廣義雙對稱解問題的研究，雖然Frobenius范數能有效地將矩陣方程逼近問題進行分析研究，但很難驗證其與非凸函數甚至其他矩陣范數之間的雙對稱解問題，需要在今后的研究中針對這一問題進行更深層次、更系統的理論研究.