∑1-SDD矩陣線性互補問題的最優誤差界

李艷艷

（文山學院 數學學院,云南 文山 663099）

0 引 言

線性互補問題（Lcp(A,q)）的模型是指求x∈ Rn，滿足

其中A是實矩陣，x,q是實向量.

文獻[1]指出，當Lcp(A,q)中的矩陣A是主子式都為正的實矩陣（P矩陣）時，能較容易得到該問題唯一解的誤差界.

2006年，陳小軍等在文獻[2]中給出了Lcp(A,q)中的矩陣A是主子式都為正的實矩陣（P矩陣）時的線性互補的誤差界

其中r(x)=min{x,Ax+q}， ，d=[d1,d2,…,dn]T(0≤di≤1).

本文研究目前少有文獻研究的H矩陣的新子類∑1-SDD矩陣的線性互補問題的誤差界估計.首先給出∑1-SDD矩陣A的逆矩陣無窮范數的上界.其次，利用嚴格對角占優矩陣經典的線性互補誤差界估計式，得到了∑1-SDD矩陣A的線性互補問題的誤差界，進一步對該誤差界的最優值進行了詳細地分析.同時借助數值算例對估計式的優越性進行了說明.

1 預備知識

Pena在文獻[9]中首次給出了H矩陣的新子類∑1-SDD矩陣，定義如下：

定義1[9]對于矩陣A=(aij)∈Rn,n，如果存在非空子集S?N,使得：

成立，則稱A是∑1-SDD矩陣.

引理1[9]設A是主對角元素為正的∑1-SDD矩陣，X滿足定義1.則存在對角矩陣且

對i∈N和γ∈Is，有

引理2[9]設矩陣A嚴格對角占優,則

2 ∑1-SDD矩陣無窮范數的上界估計

本部分利用構造的方法，給出∑1-SDD矩陣僅與矩陣元素有關的無窮范數的上界.

定理1設矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，則

下面分類討論:

接下來，研究∑1-SDD矩陣A的最小奇異值的下界.利用1-范數和∞-范數的關系，易得定理2，定理3.

定理2設矩陣，則

定理3設A=(aij)∈Rn,n，AT和A是∑1-SDD矩陣，則

當γ>1時，

當γ<1時，

3 ∑1-SDD矩陣線性互補問題的誤差界

本部分研究∑1-SDD矩陣線性互補問題的誤差界，同時對最優值進行詳細地分析.

引理3[9]設A=(aij)∈Rn,n是對角元素為正的對角矩陣,且AX是嚴格對角占優矩陣,設

定理4設矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令則對?i,j∈N，有

證明直接應用引理便得結果.

下面分γ>1和γ<1討論誤差界的最優值.當γ>1時， 令若存在，則

定 理 5設 矩 陣A=(aij)∈Rn,n是 ∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令=ID+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ>1，

定理6設矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令=I-D+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ<1，，則

證明(1)若，且γ

因為g′(γ)< 0，則g(γ)在區間上為單調遞減函數，于是

證畢.

4 數值算例

例1設，經驗證當S={1}時，A1為∑1-SDD矩陣，且，應用定理5計算得

例2設經驗證當S={1,2}時，A2為∑1-SDD矩陣，且應用定理5計算得

本文的研究將線性互補問題誤差界研究的矩陣進行了擴充，填補了對于∑1-SDD矩陣該類問題研究的空白.得到的結果，不僅形式簡單，且由于只與矩陣元素有關，易于計算.與已有關于線性互補誤差界問題研究方法相比，定理5、定理6在定理4的基礎上，利用函數的單調性討論確定了含參數誤差界的最優值.這也是對該類問題研究方法的進一步拓展和豐富.