太陽高度相關計算公式的推導與應用

河南 李躍進

地球運動是高中地理的重點和難點，它對學生的空間想象能力、邏輯思維能力要求很高。其中，太陽高度是指地球表面某地太陽光線與地平面的夾角。如圖1所示，H為A地的太陽高度。太陽高度的大小與該地到太陽直射點的距離呈負相關。如圖2所示，OA∠2>∠3。那么，太陽高度有哪些重要的計算公式？這些計算公式是如何推導出來的？又有哪些實際應用呢？筆者結合多年教學實踐，對太陽高度相關計算公式進行了科學推導，并舉例分析這些計算公式的實際應用，以當引玉之磚，供讀者參考。

圖1 太陽高度的概念示意圖

圖2 太陽高度的大小示意圖

一、正午太陽高度計算公式的推導與應用

正午太陽高度是指地球表面某地正午12時的太陽高度。它是地球表面某地一天中最大的太陽高度，取值范圍為0°≤H≤90°。

【公式】H=90°-|α-β|=90°-緯度差

說明：H表示觀察點的正午太陽高度，緯度差是指觀察點與太陽直射點的緯度差，α表示觀察點緯度(0°≤α≤90°)，β表示太陽直射點緯度(-23.5°≤β≤23.5°)。觀察點與太陽直射點位于同一半球時β取正值，位于不同半球時β取負值。

【推導】

1.理解緯度的概念與緯度差的計算

緯度是指地球表面某地的球半徑(觀察點與地球球心的連線)與赤道平面的夾角。如圖3所示，A點緯度為北緯α，B點緯度為北緯β，C點緯度為南緯γ。緯度差的計算遵循“同緯相減、異緯相加”原則。兩點均是南緯或均是北緯時，緯度差等于兩點緯度的數值差；一點是南緯另一點是北緯時，緯度差等于兩點緯度的數值和。如圖3所示，A點與B點的緯度差為α-β，A點與C點的緯度差為α+γ，B點與C點的緯度差為β+γ。

圖3 緯度的概念與緯度差的計算示意圖

2.推導正午太陽高度計算公式

如圖4所示，A點為觀察點，B點為太陽直射點；α為A點緯度，β為B點緯度；以觀察點在北半球為例。

(1)如圖4甲所示，觀察點、太陽直射點均在北半球，且觀察點緯度大于等于太陽直射點緯度；

(2)如圖4乙所示，觀察點、太陽直射點均在北半球，且觀察點緯度小于等于太陽直射點緯度；

(3)如圖4丙所示，觀察點在北半球，太陽直射點在南半球。

甲

乙

丙

地表的切線為地平面，地平面的垂線為地面法線，箭頭為平行的太陽光線；∠1為A點入射太陽光線與地面法線的夾角，∠2為A點球半徑OA與B點球半徑OB的夾角；H為A點的正午太陽高度。

由圖4可知，太陽光線為一組平行光線，∠1與∠2是平行線同位角，因此∠1=∠2，且∠1=90°-H。

(1)在圖4甲中，α≥β，∠2=α-β，因此90°-H=α-β，即H=90°-(α-β)=90°-緯度差。

(2)在圖4乙中，α≤β，∠2=β-α，因此90°-H=β-α，即H=90°-(β-α)=90°-緯度差。

(3)在圖4丙中，∠2=α+β，因此90°-H=α+β，即H=90°-(α+β)=90°-緯度差。綜上所述，H=90°-|α-β|=90°-緯度差。

同理，觀察點在南半球，公式“H=90°-|α-β|=90°-緯度差”依然成立。

【推論】二分日正午太陽高度計算公式為“H=90°-觀察點緯度”，赤道上正午太陽高度計算公式為“H=90°-太陽直射點緯度”。

【應用】在正午太陽高度計算公式中有正午太陽高度H、觀察點緯度α、太陽直射點緯度β三個量，已知其中兩個量必定能求出第三個量。

【例1】我國某學校地理興趣小組運用簡易方法測量當地正午太陽高度。圖5為該學校二分二至日正午太陽光線與地平面夾角示意圖，圖中∠1-∠2=8°。據圖可知，該學校所處的緯度約是

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圖5 某學校二分二至日正午太陽光線與地平面夾角示意圖

A.25°N B.35°N C.51°N D.61°N

【解析】設該學校所處的緯度約是北緯X，∠1與∠2之間的夾角是Y。由圖5可知，二分二至日正午太陽光線由同一方向射過來，說明該學校位于北回歸線以北，X>23.5°。由題意可知，∠1+Y+∠2、Y+∠2、∠2分別是夏至日、二分日、冬至日的正午太陽高度。由正午太陽高度計算公式可知，∠1+Y+∠2=90°-(X-23.5°)，Y+∠2=90°-X，∠2=90°-(X+23.5°)；由題意可知，∠1-∠2=8°。解方程組可得∠1=23.5°、∠2=15.5°、X=51°、Y=23.5°。故該地所處51°N，選C項。

二、午夜太陽高度計算公式的推導與應用

午夜太陽高度是指極晝地區某地午夜0時或24時的太陽高度。它是極晝地區某地一天中最小的太陽高度，取值范圍為0°≤H0≤23.5°。

【公式】H0=(α+β)-90°

說明：H0表示觀察點的午夜太陽高度，α表示觀察點緯度(66.5°≤α≤90°)，β表示太陽直射點緯度(0°≤β≤23.5°)。

【推導】

1.理解正午太陽高度計算公式的實質

將圖4中的赤道、經線、南極、北極、α角、β角、陰影、晨昏線去掉，可以得到三幅圖解法求任意太陽高度示意圖。如圖6所示，該圖中的圓可以理解為任意地球大圓，H可以理解為地球表面某地的任意太陽高度。

甲

乙

丙

如圖6所示，A點為觀察點，B點為太陽直射點；地表的切線為地平面，地平面的垂線為地面法線，箭頭為平行的太陽光線；∠1為A點入射太陽光線與地面法線的夾角，∠2為A點球半徑OA與B點球半徑OB的夾角；H為A點的任意太陽高度。

由圖6可知，太陽光線為一組平行光線，∠1與∠2是平行線同位角，因此∠1=∠2；又由圖5可知，H=90°-∠1，即H=90°-∠2。因此，地球表面某地的太陽高度等于90°減去觀察點球半徑與太陽直射點球半徑的夾角，這就是正午太陽高度計算公式的實質。

2.推導午夜太陽高度計算公式

以觀察點在北半球極晝地區為例。

圖7 圖解法求午夜太陽高度示意圖

如圖7所示，A點為觀察點，B點為太陽直射點；α為A點緯度(66.5°≤α≤90°)，β為B點緯度(0°≤α≤23.5°)；地表的切線為地平面，地平面的垂線為地面法線，箭頭為平行的太陽光線；OA為A點球半徑，OB為B點球半徑；A點所在經線地方時為0時，H0為A點的午夜太陽高度。

根據“地球表面某地的太陽高度等于90°減去觀察點球半徑與太陽直射點球半徑的夾角”可以推出H0=90°-∠AOB，由圖7可知∠AOB=180°-(α+β)，因此H0=90°-[180°-(α+β)]=(α+β)-90°。

同理，觀察點在南半球極晝地區，公式“H0=(α+β)-90°”依然成立。

【推論】在極晝地區，設H0表示觀察點的午夜太陽高度，H12表示觀察點的正午太陽高度，α表示觀察點緯度(66.5°≤α≤90°)，β表示太陽直射點緯度(0°≤β≤23.5°)。由正午太陽高度計算公式可知H12=90°-(α-β)，由午夜太陽高度計算公式可知H0=(α+β)-90°，由此可以推出H12+H0=2β、H12-H0=(90°-α)×2。

【應用】

【例2】圖8是某地冬至日太陽高度變化曲線圖。據圖示信息可知，圖中X的數值為

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圖8 某地冬至日太陽高度變化曲線圖

A.13° B.14° C.15° D.16°

【解析】由圖8可知，該地冬至日太陽高度一直大于0°，說明該地冬至日出現了極晝現象，因此該地位于南極圈以南地區；且該地正午太陽高度應為圖中曲線數高點，即34°，午夜太陽高度為圖中曲線最低處，即X，太陽直射點緯度為23.5°S。解法一：設該地緯度為Y(66.5°S≤Y≤90°S)，由正午太陽高度計算公式可知，34°=90°-(Y-23.5°)，求得Y=79.5°S。由午夜太陽高度計算公式可知，X=(Y+23.5°)-90°=(79.5°+23.5°)-90°=13°。解法二：由午夜太陽高度計算公式的推論可知，34°+X=23.5°×2，求得X=13°。故A選項正確。

三、正午太陽高度年變化幅度計算公式的推導與應用

正午太陽高度年變化幅度是指地球表面某地一年中最大正午太陽高度與最小正午太陽高度之間的差值。

圖9 正午太陽高度年變化幅度與觀察點緯度關系示意圖

【公式】如圖9所示，可分為以下三種情況：

(1)觀察點位于南北回歸線之間：

ΔH=Hmax-Hmin=X+23.5°；

(2)觀察點位于回歸線與極圈之間：

ΔH=Hmax-Hmin=23.5°×2=47°；

(3)觀察點位于極圈與極點之間：

ΔH=Hmax-Hmin=90°-X+23.5°。

說明：ΔH表示正午太陽高度年變化幅度，Hmax表示一年中的最大正午太陽高度，Hmin表示一年中的最小正午太陽高度，X表示觀察點緯度。

【推導】以觀察點在北半球為例。

圖10 觀察點正午太陽高度最大值與最小值示意圖

(1)觀察點位于赤道與北回歸線之間。如圖10所示，A點位于赤道與北回歸線之間，設A點的緯度為北緯X。一年中A點有太陽直射現象，Hmax=90°；A點冬至日正午太陽高度最小，Hmin=90°-(北緯X-23.5°S)。因此，A點ΔH=Hmax-Hmin=90°-[90°-(北緯X-23.5°S)]=X+23.5°。

(2)觀察點位于北回歸線與北極圈之間。如圖10所示，B點位于北回歸線與北極圈之間，設B點的緯度為北緯X。一年中B點夏至日正午太陽高度最大，Hmax=90°-(北緯X-23.5°N)；B點冬至日正午太陽高度最小，Hmin=90°-(北緯X-23.5°S)。因此，A點ΔH=Hmax-Hmin=[90°-(北緯X-23.5°N)]-[90°-(北緯X-23.5°S)]=47°。

(3)觀察點位于北極圈與北極點之間。如圖10所示，C點位于北極圈與北極點之間，設C點的緯度為北緯X。一年中C點有極夜現象，Hmin=0°；C點夏至日正午太陽高度最大，Hmax=90°-(北緯X-23.5°N)。因此，A點ΔH=Hmax-Hmin=[90°-(北緯X-23.5°N)]-0°=90°-X+23.5°。

同理，觀察點在南半球，上述三種情況的公式依然成立。

【應用】

【例3】圖11是某地地方時12時的太陽周年位置軌跡示意圖。若甲、乙兩個位置的太陽高度之和為90°，則乙位置太陽高度為

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圖11 某地地方時12時的太陽周年位置軌跡示意圖

A.21.5° B.23.5° C.43° D.47°

【解析】由圖11可知，甲位置的太陽高度是該地一年內的最大正午太陽高度Hmax，乙位置的太陽高度是該地一年內的最小正午太陽高度Hmin。由圖可知，Hmin>0°，說明該地不在極圈與極點之間；由題意可知，Hmax+Hmin=90°，Hmin>0°，可推出Hmax<90°，說明該地不在南北回歸線之間。因此，該地位于回歸線與極圈之間，正午太陽高度年變化幅度ΔH=Hmax-Hmin=47°。由Hmax+Hmin=90°、Hmax-Hmin=47°可求得Hmax=68.5°、Hmin=21.5°。故選A項。

四、極點太陽高度計算公式的推導與應用

在極晝地區太陽始終位于地平線以上，一天內太陽直射在同一條緯線，而極點與同一條緯線的距離是不變的，即極點與太陽直射點的距離是不變的。因此，極點一天內太陽高度不變，如圖12所示。

圖12 極晝地區極點太陽視運動示意圖

【公式】H=β

說明：H表示極點太陽高度，β表示太陽直射點緯度，極點與太陽直射點在同一半球。

【推導】以北極地區出現極晝現象為例。

設H0表示北極點的午夜太陽高度，H12表示北極點的正午太陽高度，H表示北極點的任意太陽高度，α表示北極點緯度(α=90°N)，β表示太陽直射點緯度(0°≤β≤23.5°N)。

由正午太陽高度計算公式可知，H12=90°-(α-β)=90°-(90°-β)=β；由午夜太陽高度計算公式可知H0=(α+β)-90°=(90°+β)-90°=β。因此，H0=H12=β。由此可知，極晝地區北極點一天內的太陽高度不變，且等于太陽直射點緯度，即H=β。

同理，南極地區出現極晝現象，公式H=β依然成立。

【應用】

【例4】圖13中L表示北半球某地太陽高度的日變化狀況。據圖示信息可知，此日江蘇省揚州市(32.5°N)的正午太陽高度是

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圖13 北半球某地太陽高度的日變化狀況

A.32.5° B.45.5° C.66.5° D.79.5°

【解析】由圖13可知，北半球該地太陽高度一天內不變，說明該地是北極點；北半球該地太陽高度等于22°，說明北極點太陽高度等于22°。由極點太陽高度計算公式可知，該日太陽直射點緯度是22°N。由正午太陽高度計算公式可知，揚州市的正午太陽高度為H=90°-(32.5°-22°)=79.5°。故D選項正確。

在地理學科中，太陽高度計算是一類重要的地理計算題，主要考查地球運動的地理意義，可以用來解決地理坐標測算、影子長度計算、樓房間距設計、太陽能熱水器安裝等日常問題，運用計算公式會收到事半功倍的效果，因此我們必須熟練掌握太陽高度的相關計算公式。對這些計算公式，若只是死記硬背、機械照搬，則容易出現記憶遺忘、理解偏差，遇到新問題就束手無策；若掌握了推導過程，知其所以然，則可以增強記憶、加深理解，運用起來方能得心應手。