美國線性代數(shù)課程教學(xué)研究與啟示

張 莉

（北京聯(lián)合大學(xué)數(shù)理部，北京 100101）

線性代數(shù)課程是國內(nèi)外高等院校中非常重要的一門基礎(chǔ)課， 它也是大多數(shù)研究生入學(xué)考試的一門必考科目。本課程不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。 在20 世紀(jì)后期，計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，推動(dòng)了工程、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域問題的解決。 其中大部分問題的解決需要廣大的技術(shù)人員能夠運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決代數(shù)問題。因此，學(xué)好這門課程能夠讓學(xué)生將理論應(yīng)用于實(shí)踐， 解決社會生產(chǎn)和日常生活中的問題。近年來，隨著高等教育的發(fā)展以及科技的進(jìn)步， 如何提高線性代數(shù)課程的教學(xué)水平與教學(xué)效率成為國內(nèi)外學(xué)者非常關(guān)心的話題。

美國的數(shù)學(xué)教育一直處在改革之中。 1989 年，美國國家研究委員會發(fā)表了《休戚與共——關(guān)于數(shù)學(xué)教育失敗向全國所作的報(bào)告》。 文中提出對數(shù)學(xué)課程必須做重大的改革。 報(bào)告指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問題解決，使學(xué)生達(dá)到能從日常生活中和數(shù)學(xué)內(nèi)部找到數(shù)學(xué)問題， 能發(fā)展和應(yīng)用各種策略去解決各種問題。1990 年，美國線性代數(shù)大綱研究組對線性代數(shù)的課程大綱與教學(xué)提出了五條改革建議。 其要點(diǎn)是：（1）首先要滿足非數(shù)學(xué)專業(yè)面向應(yīng)用的需要；（2）要強(qiáng)調(diào)以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)；（3）要從學(xué)生的水平和需求出發(fā)；（4）要采用最新的軟件工具。 這四條都是為了提高課程的實(shí)用性，降低其抽象性，以利于它的“大眾化”。 為了適應(yīng)少數(shù)人學(xué)高深代數(shù)理論的需求，加了第五條：（5）對想要數(shù)學(xué)學(xué)位的學(xué)生應(yīng)另開一門高年級課程，以提高其抽象性。 這些建議在美國的線性代數(shù)學(xué)界得到了廣泛的支持。 接下來，美國又開展了ATLAST 計(jì)劃，對教師進(jìn)行數(shù)學(xué)軟件的培訓(xùn)。 近幾十年來，美國學(xué)者對線性代數(shù)課程的教學(xué)過程進(jìn)行了大量的研究。

2015 年秋，筆者前往美國亞利桑那州立大學(xué)做了為期一年的訪問學(xué)習(xí)。 亞利桑那州立大學(xué)于1885 年成立，是美國著名的公立大學(xué)，被卡內(nèi)基高等院校分類標(biāo)準(zhǔn)歸類為“高研究活動(dòng)研究型大學(xué)”。 該高校設(shè)有22 個(gè)學(xué)院， 其本科教育為普及教育，2016 年及2017年， 該校連續(xù)兩年被U.S.News & World Report 評為美國最具創(chuàng)新力大學(xué)。 通過近距離接觸美國線性代數(shù)課程的教學(xué)，并與授課教師進(jìn)行交流探討，筆者覺得其中有很多地方值得我們學(xué)習(xí)與借鑒。

1 美國線性代數(shù)課程的教學(xué)特點(diǎn)

亞利桑那州立大學(xué)一方面注重入職教師教學(xué)能力的提升，另一方面，也重視教師的培訓(xùn)工作。 培訓(xùn)內(nèi)容涉及認(rèn)知心理，高等教育等方面。 在上課之前，學(xué)校會對任課教師進(jìn)行教學(xué)方法，教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)大綱，教學(xué)計(jì)劃，有效的課堂管理等方面的培訓(xùn)。 這樣，教師的教學(xué)能力能夠得到很大的提升。 教師在上課前會把課件，作業(yè)等都上傳到個(gè)人的網(wǎng)絡(luò)平臺，每位同學(xué)都可以登錄任課教師的平臺下載所需材料。 在亞利桑那州立大學(xué)，教授線性代數(shù)這門課程的教師師資力量比較雄厚， 而且部分教師的研究方向涉及線性代數(shù)的應(yīng)用。 這樣，在教學(xué)中，教師可以與自己的研究方向相結(jié)合，與同學(xué)們的專業(yè)，線性代數(shù)的應(yīng)用相結(jié)合進(jìn)行講授，而不只是教授書本內(nèi)容，既體現(xiàn)了線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值又增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在亞利桑那州立大學(xué)，通常情況下，三個(gè)學(xué)期（春季、夏季、秋季）都開設(shè)有線性代數(shù)課程。 線性代數(shù)作為入門級的課程，一般側(cè)重于概念，計(jì)算和應(yīng)用，證明不多。 具體開設(shè)的課程類型有：線性代數(shù)基礎(chǔ)、線性代數(shù)、線性代數(shù)的應(yīng)用、工程中的線性代數(shù)等以及一些實(shí)驗(yàn)課。 課程不同，學(xué)分不同，授課的側(cè)重點(diǎn)也不同。在進(jìn)行理論學(xué)習(xí)的同時(shí)，同學(xué)們也學(xué)習(xí)怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題。 由于開設(shè)課程多樣化，時(shí)間也比較靈活，同學(xué)們有較大的自主選擇的空間。

教學(xué)時(shí)，教師根據(jù)David C.Lay 主編的教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》以及所教授學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)特點(diǎn)來定自己的教學(xué)內(nèi)容。 這本教材著重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)理論解決實(shí)際問題的能力，要求學(xué)生理解和掌握基本算法， 但不提倡將更多的精力花在計(jì)算上。包含豐富的應(yīng)用案例，取材廣泛，這有助于加強(qiáng)與專業(yè)課程的聯(lián)系。

在教學(xué)的第一次課， 任課教師會進(jìn)行自我介紹，內(nèi)容包括聯(lián)系方式、辦公地點(diǎn)、個(gè)人網(wǎng)頁。 有的教師也會介紹個(gè)人經(jīng)歷、家庭、愛好等。 然后再介紹這門課本學(xué)期會進(jìn)行哪些方面的學(xué)習(xí)、作業(yè)、講義的下載地址，對課堂的要求、考核要求、在課堂上對學(xué)生的要求等。

在課堂上，學(xué)生可以隨時(shí)對知識點(diǎn)提問，或者提出自己的見解。 任課教師鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)解決問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)中具有很大的主動(dòng)性。 由于線性代數(shù)課程在數(shù)值計(jì)算上具有很大的應(yīng)用性，有的學(xué)生會主動(dòng)搜集數(shù)據(jù)，利用課堂上所學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行建模，并探究其規(guī)律，并將解決問題的方法和所得到的結(jié)論介紹給大家。 在教學(xué)中，教師更加注重線性代數(shù)課程知識與方法的應(yīng)用，大多數(shù)學(xué)生在以后的工作和生活中都能自如地運(yùn)用線性代數(shù)知識。

2 美國線性代數(shù)課程的教學(xué)對國內(nèi)教學(xué)的一點(diǎn)啟示

通過親身接觸，筆者感覺到在線性代數(shù)這門比較抽象的學(xué)科教學(xué)上，美國教師的教學(xué)，有許多值得我們學(xué)習(xí)與借鑒的地方。

2.1 在教學(xué)中傳統(tǒng)教學(xué)方法與多媒體計(jì)算機(jī)相結(jié)合

在線性代數(shù)的課堂中，在講解邏輯性比較強(qiáng)的定理、推論時(shí)，采用傳統(tǒng)的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)方法，如通過板書一步一步地講解， 能夠讓同學(xué)們體會到數(shù)學(xué)的魅力，也有利于理解。 然后利用現(xiàn)代軟件工具幫助學(xué)生理解課堂知識點(diǎn)，熟悉其應(yīng)用。 比如，利用計(jì)算機(jī)演示直觀的線性代數(shù)問題與空間解析幾何問題等。 這樣，能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n堂講解結(jié)合起來，使課堂教學(xué)達(dá)到良好的教學(xué)效果。

2.2 根據(jù)學(xué)生專業(yè)、需求不同，采用分層次教學(xué)

線性代數(shù)課程的教學(xué)目的一般有三個(gè)層次：（1）基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)，通過基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)，掌握線性代數(shù)這門課程的基本概念，基本理論知識；（2）將數(shù)學(xué)軟件與此門課相結(jié)合，進(jìn)行一些數(shù)學(xué)建模以及數(shù)值計(jì)算；（3）為進(jìn)一步專業(yè)領(lǐng)域的知識學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)， 將線性代數(shù)與專業(yè)相結(jié)合。 在教學(xué)中，充分考慮不同專業(yè)，不同層次的學(xué)生的基礎(chǔ)水平和專業(yè)需求，因材施教。整個(gè)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)既重視理論知識的學(xué)習(xí)， 也要側(cè)重于所學(xué)知識和方法的應(yīng)用以及運(yùn)用現(xiàn)代手段解決實(shí)際問題。

2.3 搭建并高效利用自主學(xué)習(xí)平臺

隨著網(wǎng)絡(luò)教育的發(fā)展，很多高校對于課程的資源實(shí)行網(wǎng)絡(luò)化。 一方面同學(xué)們可以在線進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，查閱資料，也可以進(jìn)行模擬測試，課后復(fù)習(xí)，拓展知識等多項(xiàng)活動(dòng)。 另一方面，教師可以在線答疑，跟蹤同學(xué)們的學(xué)習(xí)情況，隨時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與進(jìn)度，節(jié)省了很多課堂時(shí)間。 同時(shí)，將平臺利用最佳化，為同學(xué)們更好、更充分地學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識服務(wù)，在潛移默化中提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

2.4 課上精講與課下應(yīng)用相結(jié)合

錢學(xué)森曾經(jīng)指出“數(shù)學(xué)課不是為了學(xué)生學(xué)會自己去求解， 而是為了學(xué)生學(xué)會讓電子計(jì)算機(jī)去求解，學(xué)會理解電子計(jì)算機(jī)給出的答案，知其所以然”。 在課堂上，精講，既要講知識，也要講思想與方法，介紹用什么樣的方法解決問題。 在教學(xué)的過程中，加強(qiáng)知識的應(yīng)用介紹，提高同學(xué)們的興趣。 在課下，布置一些與專業(yè)知識，社會熱點(diǎn)等相關(guān)的應(yīng)用課題，以小組的形式進(jìn)行研討， 既增加同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情與思考熱情，激發(fā)自主學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性，提高教學(xué)效果，也提高了同學(xué)們的團(tuán)隊(duì)合作能力。

3 結(jié)語

用線性代數(shù)方法解決實(shí)際問題已經(jīng)滲透到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，線性代數(shù)課程的重要性日漸顯現(xiàn)。因此，在科技迅猛發(fā)展與經(jīng)濟(jì)全球化的今天， 吸取國外的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，以培養(yǎng)高素質(zhì)新世紀(jì)人才，應(yīng)用型人才為目標(biāo)對國內(nèi)的線性代數(shù)課程進(jìn)行課程建設(shè)與課程改革尤為重要。