類比動力學模型突破電磁學建模難點

黎就圖

[摘? ?要]學生對抽象的物理情境建模需依托熟悉的情境模型。引導學生類比熟悉的模型對抽象的物理情境進行建模，將會收到事半功倍的效果，同時對學生創造性思維的培養也起到積極的作用。類比熟悉的力學模型對電磁學中的物理情境進行建模，可使電磁學建模變得更具體、簡單，更有利于學生構建電磁學知識體系。

[關鍵詞]電磁學;力學;類比;模型

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0043-03

電磁學是高中物理的重要內容，在高考中的地位不言而喻，是高考考查的重中之重。但對電磁學的學習，高中生普遍感到非常抽象，難以尋找學習電磁學的規律，不易找到它與熟悉物理知識的聯系。而解決物理問題常常要將抽象的物理情境轉化成熟悉的物理模型，將復雜的物理過程簡單化，將未知的物理關系具體化。倘若教師在教學中引導學生借助熟悉的力學模型對電磁學中抽象的物理情境進行建模，讓學生找到熟悉的模型，激發學生的創造思維，將大大降低學生學習電磁學的難度，有效解決電磁學問題。本文從以下三方面談談如何類比熟悉的力學模型對一些電磁學中的物理情境進行建模。

一、類比熟悉的力學斜面模型

力學斜面模型是高中生熟悉的基本模型，把抽象的電磁學模型轉換為力學斜面模型，符合學生的認知水平，即由抽象變為具體，將陌生變為熟悉，從而降低電磁學問題的學習難度。

1.光滑斜面模型

[例1]已知質量為m的帶電塵埃沿平行板電容器極板中線，由邊緣P點以初速度為零運動到邊緣Q點，極板與水平面成[α]角，板間距離為d，板長為l，電容為C，不計邊緣效應，如圖1。求：（1）塵埃的電荷量q;（2）到Q點時塵埃速度的大小。

解析：（1）在垂直[PQ]方向，由于電場力等于重力在該方向的分力，故有：[q?Ud=mgcos α]

由電容器的知識有[U=q0C]，可得：[q=cmgdcos αq0]

（2）沿[PQ]方向有[mgsinα=ma]，[v2=2al] ，聯立解得： [a=gsin α， v=2glsin α]

或由 [mglsin α=12mv2]? ?解得：[v=2glsin α]

評析：此題建模需要較強的立體空間想象能力，若將帶電塵埃沿極板的中線由P點以初速度為0運動到Q點類比為一物體沿光滑斜面從斜面頂端由靜止出發運動到斜面底端的力學斜面模型，帶電塵埃受到的電場力等效于斜面對物體的支持力（如圖2），此模型便轉換成高中生熟悉的物體沿光滑斜面下滑的力學斜面模型，可讓學生快速找到解決問題的切入點。

2.平衡狀態模型

[例2]如圖3，上端接電源和滑動變阻器R的寬度是d的平行導軌，導軌與水平面成q角。導電棒ab質量為m，放在導軌上，棒與導軌動摩擦因數是[μ]，可認為棒受到的靜摩擦力等于滑動摩擦力。場強為B的勻強磁場垂直導軌平面向下。滑動[R]的滑片，保持棒不動，試分析流過棒的電流的取值范圍。

解析：當棒受到沿導軌平面向下的靜摩擦力達到最大時，棒受到沿導軌平面向上的安培力[F1]為最大值，此時棒的電流[Imax]最大;同理，當棒受到沿導軌平面向上的靜摩擦力達到最大時，棒受到沿導軌平面向上的安培力[F2]為最小值，棒的電流[Imin]最小。兩種情況下的受力圖如圖4所示。

情況一，對棒進行正交分解有：沿導軌平面方向[F1-mgsinθ-f1=0]，垂直導軌平面方向[FN1-mgcosθ=0]，又摩擦力[f1=μFN1]，安培力[F1=BImaxd]。

解上述方程得：[Imax=mgsinθ+μmgcosθBd]

情況二，對棒進行正交分解有：沿導軌平面方向[F2-mgsinθ+f2=0]，垂直導軌平面方向[FN2-mgcosθ=0]，又摩擦力[f2=μFN2]，安培力[F2=BImind]。

解上述方程得： [Imin=mgsinθ-μmgcosθBd]

則通過ab桿的電流范圍為：

[mgsinθ-μmgcosθBd≤I≤mgsinθ+μmgcosθBd]

評析：此題可類比如圖5所示的斜面模型，棒中的電流為[a→b]，棒所受的安培力方向沿導軌平面向上（類似物體受到沿斜面向上的拉力[F]）。當流過棒的電流為最大值[Imax]時，安培力達最大值[F1]（拉力[F]達最大值），此時棒受到沿導軌平面向下的靜摩擦力（物體受到沿斜面向下靜摩擦力）也達到最大值;當電流為最小值[Imin]時，棒受到沿導軌平面向上的最大靜摩擦力（物體有沿斜面向上的最大靜摩擦力），此時安培力記為[F2]（拉力[F]達最小值）。截面圖如圖4（a）、（b）。

二、將電磁場中的旋轉類運動模型與勻加速直線運動模型及圓周運動模型類比

帶電粒子在電磁場中的旋轉運動對高中生來說是很抽象的問題，若能把此類問題類比轉換為學生熟知勻加速直線運動模型，定會起到化繁為簡、化曲為直的效果。

[例3]如圖6甲，在圓柱形區域內存在一方向豎直向下、磁感應強度大小為[B]的勻強磁場，在此區域內，沿水平面固定一半徑為[r]的圓環形光滑細玻璃管，環心[O]在區域中心。一質量為[m]、帶電量為[q（q>0）]的小球，在管內沿逆時針方向（從上向下看）做圓周運動。已知磁感應強度大小[B]隨時間[t]的變化關系如圖6乙，其中[T0=2πmqB0]，設小球在運動過程中電量保持不變，對原磁場的影響可忽略。

（1）在[t=0]到[t=T0]這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，求小球的速度大小[v];

（2）在豎直向下的磁感應強度增大的過程中，將產生渦旋電場，其電場線是在水平面內一系列沿逆時針方向的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等。試求[t=T0]到[t=1.5T0]這段時間內：①細管內渦旋電場的場強大小[E];②電場力對小球做的功W。

解析：（1）對小球，有[qvB=mv2r]，故有：[v=qB0rm]

（2）①磁場變化引起圓管處產生勻強電場[E=Ud=B0rT0]，由法拉第感應定律得電勢差[U=ΔφΔt=2B0-B0×πr21.5T0-T0=2B0πr2T0]，又[T0=2πmqB0]，所以[E=qB20r2πm]

②小球加速度為：[a=Fm]，又[F=Eq]，小球在[T0-1.5T0]時間為做內加速直線運動，末速度為：[v=v0+at]

小球做功為：[W=12mv2-12mv20]

故電場力做功為：[W=5q2B20r28m]

評析：此題（2）①問中，在[T0-1.5T0]時間內，產生的渦旋電場（圓環形的場）可等效為平行板勻強電場，把抽象的曲線模型轉化為直線模型，轉化為熟悉的力學模型（勻強電場的受力），學生對這樣的問題便能迎刃而解了;②問中，在[T0-1.5T0]時間內，小球在圓環形光滑細玻璃管內，在感生電場力的作用下被加速，其運動可以運用化曲為直的思想，把小球的運動等效為勻加速直線運動模型，加速度的大小為：[a=qEm] ，最終速度為[v=v0+at]，電場力做的功為：[W=12mv2-12mv20]

[例4]兩個D形金屬盒放在磁感強度B大小不變、方向垂直于盒底面的磁場中，兩盒與使盒間窄縫形成勻強電場的交流電相連，可讓離子穿過狹縫時都得到加速。能射出比荷是[q/m]的離子源放于盒圓心附近，D形盒最大半徑為[Rm]，其運動軌跡如圖7，設兩D形盒間的電勢差為[U]，盒間距離為d，其電場均勻，求（1）離子最大速度為多大？最大動能為多少？（2）加速到最大動能所需要的時間。

解析：（1）已知D形盒最大半徑為[Rm]，故有：[qvmB=mv2mRm]

所以[vm=RmqBm]，最大動能[Ek=12mv2m]，得[Ek=q2B2R2m2m]。

（2）粒子加速到最大動能所需要的時間可分為在兩個D形盒中做圓周運動的時間和在縫隙中加速運動的時間。離子每旋轉一周增加的能量為[2qU]，提高到[Ek]的旋轉次數為：[n=Ek2qU=qB2R2m4mU]

在磁場中運動時間為：

[t0=nT=qB2R2m4mU·2πmqB=BR2mπ2U]

其中粒子在窄縫中的運動可等效為初速度為零的勻加速直線運動，其加速度為[a=Uqdm]，粒子速度從零加速到[vm]的時間就等于粒子在窄縫中運動的時間t，[t=vma=RmBdU]。故加速到最大動能所需要的時間為：[t0+t=πBR2m2U+RmBdU]

評析：此題為復雜的曲線運動，粒子在兩個D形盒中做周期性的圓周運動，其時間為旋轉[n]周的時間;粒子在縫隙中旋轉加速運動可等效為初速度為零的勻加速直線運動，這樣時間的計算就變得簡單了。此題的電磁學情境中旋轉圓周運動和旋轉加速運動模型，學生很難把握，具體解題時，需要把抽象的信息有效地提取出來并建模，轉化為熟悉的初速度為零的勻加速直線運動和周期性的圓周運動模型。

三、將電磁學中的雙桿運動模型與雙球完全非彈性碰撞模型類比

兩個小球在光滑水平面上發生完全非彈性碰撞的模型，學生較為熟悉，而電磁學中雙桿運動模型與兩個小球在光滑水平面上發生完全非彈性碰撞模型極為相似，兩者進行類比，有利于學生借鑒已有的熟悉模型，構建電磁學雙桿運動模型。

[例5]如圖8，放在磁感強度為[B]的豎直向上的勻強磁場中的導軌由斜軌部分和水平部分組成（導軌的斜軌部分在磁場以外），其水平部分光滑且足夠長，電阻可忽略，導軌間距為[L]。質量為m的金屬棒a，從斜軌上高[h]處靜止釋放，質量為[m2]的金屬棒b放在水平軌上，棒a、b不發生碰撞。求棒b的最后運動速度及損失的機械能。

解析：設棒a剛進入水平軌道時速度為[v0]，在水平軌道上，棒a受到水平向左的安培力，棒b受到水平向右的安培力，故棒a、b作為整體，在水平方向所受的合力為零，故整體動量守恒。設棒a、b運動的共同速度為[v]，根據機械能守恒定律有：[mgh=12mv02]

由動量守恒有：[mv0=m+m2v]

由功能關系有：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

解得：[v=232gh]，[Δ][E=13mgh]

評析：在水平軌道上棒[a]受到水平向左的安培力，棒[b]受到水平向右的安培力，故棒[a]、[b]作為整體，水平方向合力為零，整體動量守恒。[a]、[b]整體損失的機械能轉化為電阻發熱的內能。此過程可類比光滑水平面上發生完全非彈性碰撞的兩個小球模型，兩球碰后以共同速度一起運動，系統損失的機械能轉化為內能。如圖9，質量為[m1]、[m2]的兩個大小相同的球， [m1]靜止在光滑水平面上，[m2]以速度[v0]沿同一直線運動，兩球碰撞，碰后黏合在一起以速度[v]一起運動。

碰撞前后動量守恒，故有：[m2v0=（m1+m2）v]

碰撞后系統損失的機械能為：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

由此可見，此題就是典型的“完全非彈性碰撞”模型。兩物體完全非彈性碰撞過程具有以下特點：①相互作用后兩物體具有共同速度;②作用前后系統動量守恒;③作用后系統有機械能損失，損失的機械能轉化為其他形式的能。

因此，類比熟悉的力學模型，對電磁學中抽象的物理情境建模，可讓學生快速解答相關電磁學問題，也有利于學生構建電磁學知識體系，進而提升學生解決電磁學問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 朱聯星.2012年福建高考理綜物理題壓軸題的鑒賞與另解拓展[J].中學物理，2012（11）：57-58.

（責任編輯 易志毅）