相悖答案的產生與電勢能概念的深層分析

譚東敏 孔令峰 張井衛

[摘? ?要]高中物理教學中，有時會發現：一個問題從不同角度分析解答，會得出不同的結論，兩種分析解答過程似乎都有道理，是否真的如此呢？文章以兩道點電荷在電容器中的電勢能的變化問題為例進行分析探討。

[關鍵詞]點電荷;電容器;電勢能

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0039-04

一線教師在日常的備課、教學、解題及教學反饋等過程中，時常會發現各種各樣的問題。有的問題，真的值得我們一線教師深入探討。本文通過對兩道點電荷在平行板電容器中電勢能變化問題的分析解答，發現得到兩個相悖的結論，并以此為出發點探討產生相悖結論的原因，并在此基礎上對電勢能概念作深層次的分析探討。

一、相悖答案產生與思考

高二上學期的一次月考后，一位實習老師跟我們討論這次月考物理試卷上的一道關于電容器的試題（題目1）。

題目1.一平行板電容器充電后與電源斷開，正極板接地，在兩極間有一正電荷固定在P點，如圖1所示，以U表示兩極板間的電壓，E表示兩極板之間的場強，Ep表示該正電荷在P點的電勢能，若保持負極板不動，而將正極板移至圖中虛線所示位置，仍保持正極板接地，則（）。

A.[U]變小，[Ep]變大 B.[U]變小，[Ep]不變

C.[U]變大，[E]不變 ? D.[U]變大，[E]變大

解析：平行板電容器充電后與電源斷開，因此電容器的電荷量不變，將正極板移到圖中虛線所示的位置時，板間距離d減小，根據[C=εS4πkd]可知，電容器的電容C增大，Q一定，根據[U=QC]可知板間電壓U變小;根據[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯立可得[E=4πkQεS]，可知E與d無關，E不變;P與正極板間的距離減小，上極板與P點的電勢差由公式[U=Ed]可知，P與正極板之間的電勢差減小，且[U=0-φp]，則P點的電勢變大，正電荷在P點的電勢能[Ep]變大，故A正確，BCD錯誤，故選A。

關于電勢能[Ep]的變化，上述解釋是從[P]點的電勢變化著手，分析得出P點的電勢變大，那么在[P]點的正電荷的電勢能變大。

這位實習老師認為，正點電荷固定不動，即點電荷沒有發生位移，那么電場力對其就沒有做功，根據“功是能量變化的量度”來分析，點電荷的電勢能不可能變化。而且這位實習老師還對比了2016年天津高考理綜試卷物理部分的第4題（題目2）。

題目2.如圖2所示，平行板電容器帶有等量異種電荷，與靜電計相連，靜電計金屬外殼和電容器下極板都接地，在兩極板間有一固定在[P]點的點電荷，以[E]表示兩板間的電場強度，[Ep]表示點電荷在[P]點的電勢能，[θ]表示靜電計指針的偏角。若保持下極板不動，將上極板向下移動一小段距離至圖中虛線位置，則（）。

A. [θ]增大，[E]增大 B. [θ]增大，[Ep]不變

C. [θ]減小，[Ep]增大D. [θ]減小，[E]不變

解析：若保持下極板不動，將上極板向下移動一小段距離，則根據[C=εS4πkd]可知，C變大，Q一定，則根據[Q=CU]可知，U減小，故靜電計指針偏角[θ]減小;根據[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯立可得[E=4πkQεS]，可知Q一定時，E不變;根據[U1=Ed1]可知P點離下極板的距離不變，E不變，則P點與下極板的電勢差不變，P點的電勢不變，則[EP]不變;故選項ABC錯誤，D正確。

相悖答案的發現 題目2中，點電荷同樣沒有移動，該題的解析同樣是從點電荷相對接地極板的電勢角度切入，解釋其電勢能不變。該實習老師是從電場力做功的角度分析電荷電勢能變化的：點電荷固定，電場力對該點電荷不做功，故電勢能不變化。從這兩個角度分析得到的結論相同，從電場力做功的角度解釋更為簡潔。

但是我校的這道月考題，如果按照參考答案，從電荷所處的電勢變化來分析，得到電荷的電勢能增大的結論;但是從電場力做功改變電勢能的角度來分析，電勢能則是不變的。眾所周知，一個正確的結論從不同角度分析都應該是自洽的，從不同維度分析同一個問題得到的結論應該也是相同的。出現不同的結論，問題在哪里呢？

二、從電勢能的概念探討“答案相悖”的原因

人教版教材中《電勢能和電勢》這節課的教學中常用類比重力勢能的方式引入電勢能的概念——“由于移動電荷時靜電力做的功與路徑無關，電荷在電場中也具有勢能，這種勢能叫作電勢能，可用[Ep]表示”，“電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移到零勢能位置時靜電力做的功”;又從定義“電勢”[φ=Epq]的式子可演變出電勢能的表達式[Ep=qφ]。關于電勢能的變化，教材中的表述是：“功是能量變化的量度，靜電力做功等于電勢能的減少量”。如果對教材內容的解讀不夠，人們就會產生這樣偏頗的觀點：從“表面”上看，電勢能好像是電荷的，認為其電勢能的變化應由該電荷所受靜電力做的功決定。

其實這位實習老師在這個問題的處理上忽略了兩點。

第一，電勢能的系統性。不管是重力勢能，還是電勢能，都是系統共同具有的，而不是物體或點電荷單獨具有的，但是我們為了表達簡要起見，往往說成“物體的重力勢能”或“電荷的電勢能”，在這樣的習慣性交流表達的大環境中，容易使人忽視勢能的系統性，所以作為教師，對勢能的理解一定要時刻銘記它的“系統性”。既然勢能具有系統性，那么勢能就不是由單個物體或單個點電荷決定的，而是由組成系統的各方共同決定。勢能是否變化也不能只看保守力對所謂的單個物體或單個點電荷做功的情況，而是從彼此之間的相互作用力對彼此各方的做功情況來分析。

在題目1中，由于接地的上極板帶正電與P點的正電荷相互排斥，上極板向下移動是靠近P點的正電荷，點電荷P雖然固定不動，但它們之間的相互作用力對上極板做負功，故點電荷與上極板之間的電勢能增加。這里我們只是討論點電荷與電容器之間的電勢能，撇開了電容器自身系統的靜電能。

第二，忽略了電勢能的相對性。重力勢能和電勢能的多少都是相對零勢能位置而言的。題目1中上極板接地，一般我們習慣認為，上極板電勢為零。雖然在平移上極板的過程中，電場力對P點的電荷沒有做功，但是這個過程中極板間的電場強度沒有變化，P點與上極板的距離d發生了變化，那么P點與上極板的電勢差[U=Ed]一定發生變化，所以P點的電勢也就變化了，電勢能自然也要變化了。從“系統性”分析和從“相對性”分析都得到相同的結論：電勢能是增加的。所以，我們在解決問題的時候不妨嘗試從不同角度切入，嘗試用多種方法解決，在多種思路的交織中，我們會構建更全面、更系統的思維關聯，對我們解決新的問題不斷提供啟發性思考。還有可能挖掘出新的問題，對這些新問題的思考、研究，會使我們對這類問題有更深層次的理解。

該實習老師在解題過程中發現的問題是關于物理概念的，物理概念是客觀事實的共同屬性和本質特征在人腦中的準確反映，是人們在長期認知客觀事物和自然現象的過程中，經過觀察、思考、猜想、建模、實驗驗證、分析比較、歸納總結等環節而得到的抽象化表征。在中學物理概念教學過程中，學生或教師對物理概念認識和理解上難免會出現一些偏差，對概念的廣度和深度認知不夠、不透。但對一個物理概念全面、精準的認知，對物理教師而言至關重要，我們決不能將自己偏頗的認識甚至錯誤的概念傳授給學生，這也是教師上課前要充分備課的重要原因。

三、解決“答案相悖”問題的過程中發現新問題

如果從系統電場力（相互作用力）做功的角度看，題目2中的電勢能也應該是變化的。與上述解析結論是不統一的。上極板與固定在P點的點電荷無論是同種電荷還是異種電荷，兩者間距發生變化時，雖然電場力對P點的電荷沒有做功，但是電場力對上極板的電荷一定做功，那么，P點的電荷與極板之間的電勢能應該發生變化，但是題目2的解析中結論是不變的，該問題不由使我們產生疑慮。關于這個疑慮的新問題，曾向同事請教。

同事認為，點電荷在電場中擁有的電勢能的多少以及變化情況，都應該以零勢面為參考，題目2中參考答案的解析是沒有問題的。至于做功問題，不應該以上極板——非零勢極板，來討論電勢能的變化，因為電勢能是相對于零勢面而言的。關于點電荷與電場之間的電勢能的變化不能“片面”地以單個極板與點電荷之間的相互作用力做功來討論，電容器之間的電場是兩極板共同形成的，那么，電荷在電容器電場中的電勢能是將兩極板共同“貢獻”糅合到以零勢面為參考的條件之中的。

該同事還以我們熟悉的重力勢能為例，類比解釋這個問題。如圖3所示，質量為m的小球相對零勢面的重力勢能[Ep=mgh]，不會以上面的非參考平面a的（上）下移動而改變的，因為小球相對零勢面b做功的“能力”沒有改變。同理，點電荷的電勢能也是相對零勢面而言的，題目2中平移電容器的上極板并不會影響電荷相對下極板（零勢面）的做功“能力”，故電荷的電勢能是不變化的。

該同事很好地用高中教材的相關知識進行解釋，但是依然沒能解決“系統之間的靜電力（保守力）做了功 ，與系統的電勢能卻不變”之間的矛盾。那么，問題在哪里呢？一天放學后，我們針對圖3進行深入探討，探討中發現電荷與電容器之間的電勢能和重力勢能存在一點不同：在地球表面重力場是地球單側形成的，而電容器極板間的電場是兩極板共同激發的。從這個“不同點”切入，找到了這個新問題的根源。

四、平行板電容器電勢能的理論分析

首先，我們要了解接地電容器的兩極板的電荷分布情況，從而確定電容器的電場情況，進而清晰地分析點電荷在電容器兩極板間的電勢能。通過查閱與電容器相關的資料，找到了相關的內容。由于極板接地，兩極板外側表面均無電荷，電容器兩極板面積相對兩極板的間距而言非常大（如圖4）。若忽略邊緣效應，兩極板內側表面均勻分布等量異種電荷，在極板間共同形成勻強電場。根據對稱性，兩極板的電荷在極板間激發的電場相同，合場強為單極板激發電場強度的兩倍[2]。

根據高斯定理，單個極板激發的電場強度[3]： [E+=E-=σ2ε0]? ? ? ? ?①

根據電場疊加，帶電電容器之間的電場強度： [E=E++E-=σε0]? ? ? ? ?②

點電荷靠近或遠離帶電極板[Δd]與帶電極板靠近或遠離點電荷[Δd]的過程中，其電勢能的改變效果是等價的，根據電勢能變化與靜電力做功之間的關系，不難理解，

電勢能均變化：[ΔEp=-W電=-qσ2ε0?Δd]③

①②③式中[σ]為極板電荷面密度，[ε0]為介電常數，q為點電荷的電量，[Δd]是點電荷與極板間距的變化量。

題目1中，因為下極板沒有上下移動，所以點電荷與下極板之間的電勢能沒有變化，那么，點電荷與電容器之間的電勢能的變化只能來源于上極板向下移動而引起的“貢獻”。如果，上極板向下平移[Δd]，那么電量為q的正電荷與電容器的電勢能的增加量就是[ΔEp=qσ2ε0?Δd]。

如果按照題目1參考答案的解題思路去計算電勢能的變化，我們便會發現問題的端倪。若上極板向下平移[Δd]，由于極板間的電場強度[σε0]不變，則點電荷所處位置與上極板之間電勢差的變化量則為[ΔU=σε0?Δd]。因為上極板接地，我們認為其電勢為0，所以，點電荷所處位置P點的電勢變化量為[Δφ=σε0?Δd]，因此點電荷與極板間的電勢能變化了[ΔEp=qσΔdε0]，與此過程中電場力做功不符，且為靜電力做功的兩倍。同樣，根據電勢能變化與靜電力做功之間的關系，題目2中上極板移動[Δd]距離，P點的電勢能也應該變化[qσ2ε0?Δd]，但是按上述解析的思路分析，點電荷在P點的電勢能是不變的。這樣的結果真耐人尋味。

我們認為，對孤立帶等量異種電荷的電容器來說，板間電場的零電勢面不應為接地極板，應與兩個孤立的等量異種點電荷的電場一樣，是與等量異種電荷（極板）等距的中央平面。

由于均勻帶電平面的電勢：[φ=-σ2ε0x]，[x]是到帶電平面的距離[4，5]。那么，帶等量異種電荷的兩極板的電荷面密度相同，均為[σ]。如果極板間距為d，設到正極板距離為x處電勢為零，則滿足：[-σ2ε0x+--σ2ε0（d-x）=0]，可知，[x=d2]。也就是說，帶等量異種電荷的極板共同激發的電場的零勢面為極板間的中央平面（如圖5）。電容器的極板相對它們的間距是很大的，但是一個平行板電容器相對可視的空間而言，則顯得非常小，那么帶電的電容器可看作有限區域內的點電荷系，無窮遠是零勢點的最佳優選點[4]。

以電容器極板間的中央平面為零勢面，題目1、題目2的矛盾也就迎刃而解了。題目1中，當上極板向下平移[Δd]，則中央平面（零勢面）會向下移動[Δd2]，那么，P點到零勢面的電勢差減少了[ΔU=EΔd2=σ2ε0Δd]，顯然，P點電勢就增加了[Δφ=σ2ε0Δd]，那么，正電荷與電容器之間的電勢能增加了[ΔEP=qσ2ε0Δd]，這個結果與靜電力做功完全相符。

題目2的情景中，電荷與電容器之間的電勢能變化量與靜電力做功依然完全相符，這里不再贅述，讀者可以自行推導驗證。

關于電荷與電容器之間的電勢能是高中課程中回避的一個問題，卻是一個值得我們探討的問題，從諸如題目2的高考真題中，我們可以看出，高考真題可能有意無意地避開了它，但面對這樣的問題，我們教師可以深入地思考探究。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 張維善.人教版課程標準實驗教科書《物理》選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 繆鐘英.中學物理教師進修用書《電磁學問題討論》[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2019：8.

[3]? 梁燦彬.大學普通物理學教程《電磁學》[M].北京：高等教育出版社，2018.

[4]? 金仲輝，陳秉乾 .靜電場電位零點的選擇[J].大學物理，1984（8）：44-45.

[5]? 封小超.關于零電位選擇的幾個問題[J].大學物理，1986（7）：13-16.

（責任編輯 易志毅）